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每年的高考都离不开平面向量题的“捧场”，尤其是与单位向量有关的平面向量取值范围问题更是命题的“热点”和“亮点”.这类题的构造形式“动感十足”，充分体现了平面向量的几何特征，它的求解思路更是洋溢着数形结合思想的光辉.
众所周知，单位向量对应的几何对象是单位圆，那么在解题中借助单位圆就可以起到化繁为简、化抽象为直观的效果.如果说平面向量为解决数学问题提供了有力工具的话，那么单位圆就为解决这类问题提供了广阔的“舞台”.向量在单位圆的舞台上翩翩起舞，清楚向量运动的轨迹，明确向量跳的是什么舞就是解决此类问题的“解题秘方”.
一、 跳起“直线单人舞”
例1 （2011浙江理）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是.
解析：如图1所示，在单位圆中，不妨令OA=α（A点别是单位圆与x轴的交点）.设OB=β，B(x,y).由于S△AOB=12|OA||y|=12|y|=14y=±12，所以B点在直线y=±12上运动，又因为|β|≤1，所以B点线段PQ或P′Q′上运动（其中P、Q、P′、Q′是直线y=±12和单位圆的交点）.因此θ的取值范围是［∠AOQ,∠AOP］，即θ=π6,5π6.
图1
点评：此题的关键是要抓住运动中的不变量，即无论向量β如何运动，“平行四边形的面积为12”始终不变.通过单位圆可以明确面积不变，则平行四边形的高不变，即向量β的纵坐标不变.利用轨迹思想得知向量β跳的是“直线舞”.
二、 跳起“圆形单人舞”
例2 （2011辽宁理）若a、b、c均为单位向量，且a•b=0，(a-c)•(b-c)≤0，则|a+b-c|的最大值为（）
解析：如图2所示，在单位圆中，不妨令OA=a，OB=b （A、B两点分别是单位圆与x轴、y轴的交点），OC=c，则CA=a-c，CB=b-c，a+b=OD，|a+b-c|=|OD-OC|=|CD| .因为(a-c)•(b-c)≤0，所以点C的运动轨迹为劣弧AB，易知当点C与点A或B重合时|CD|取到最大值为1.不仅如此，当点C与OD共线时|a+b-c|取到最小值2-1.
例3 （2011全国理）设向量a、b、c满足|a|=|b|=1，a•b=-12，〈a-c,b-c〉=60°，则|c|的最大值等于（）
A． 2B． 3
C． 2D． 1
解析：如图3所示，在单位圆中，不妨令OA=a，OB=b（A、B两点分别是单位圆与x轴、y轴的交点），其中∠AOB=120°.设OC=c，因为〈a-c,b-c〉=60°，所以A、O、B、C四点共圆，则点C在四边形AOBC的外接圆上运动，易求这个圆的半径也为1.所以当OC恰为这个外接圆的直径是|c|取到最大值2.
例4 （2010浙江理数）已知平面向量α，β(α≠0,α≠β)，满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则|α|的取值范围是.
图4
解析：如图4所示，在单位圆中，不妨令OB=β（B点是单位圆与x轴的交点）.设OA=α，则AB=β-α.因为α与β的夹角为120°，所以∠AOB=60°，那么点A就在以OB为一边的正三角形的外接圆上运动.易知当OA恰好是这个外接圆的直径时|α|的最大，当A点和O点重合是|α|的最小，求得|α|∈0,233.
点评：以上例题，向量跳的都是“圆形舞”.有在本身单位圆上跳的，也有另起炉灶在新的圆上跳.解题的关键是要充分利用圆的定义和性质.
三、 跳起“直线、圆形双人舞”
例5 已知向量α，β，γ满足|α|=1,|α-β|=|β|,(α-γ)•(β-γ)=0.若对每一确定的β,|γ|的最大值和最小值分别为m,n,则对任意β，m-n的最小值是（）
解析：如图5所示，在单位圆中，不妨令OA=α（A点是单位圆与x轴的交点）.设OB=β，OC=γ，因为|α-β|=|β|，所以点B在线段OA的垂直平分线上运动，又因为(α-γ)•(β-γ)=0，所以点C在以AB为直径的圆上运动.则当OC恰好过这个圆的圆心时，|γ|取到最值，且m-n=|AB|2.要使m-n最小，则只需|AB|最小.易知当B点恰好是线段OA的中点时|AB|最小，即m-n的最小值为14.
点评：在本题中有两个动向量，这就使问题变得比较复杂.解题的关键是先分别明确两个向量的运动轨迹，即所跳舞的类型，然后固定一动向量，以静制动，找到问题的突破口.
（责任编辑：钱德平）
众所周知，单位向量对应的几何对象是单位圆，那么在解题中借助单位圆就可以起到化繁为简、化抽象为直观的效果.如果说平面向量为解决数学问题提供了有力工具的话，那么单位圆就为解决这类问题提供了广阔的“舞台”.向量在单位圆的舞台上翩翩起舞，清楚向量运动的轨迹，明确向量跳的是什么舞就是解决此类问题的“解题秘方”.
一、 跳起“直线单人舞”
例1 （2011浙江理）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是.
解析：如图1所示，在单位圆中，不妨令OA=α（A点别是单位圆与x轴的交点）.设OB=β，B(x,y).由于S△AOB=12|OA||y|=12|y|=14y=±12，所以B点在直线y=±12上运动，又因为|β|≤1，所以B点线段PQ或P′Q′上运动（其中P、Q、P′、Q′是直线y=±12和单位圆的交点）.因此θ的取值范围是［∠AOQ,∠AOP］，即θ=π6,5π6.
图1
点评：此题的关键是要抓住运动中的不变量，即无论向量β如何运动，“平行四边形的面积为12”始终不变.通过单位圆可以明确面积不变，则平行四边形的高不变，即向量β的纵坐标不变.利用轨迹思想得知向量β跳的是“直线舞”.
二、 跳起“圆形单人舞”
例2 （2011辽宁理）若a、b、c均为单位向量，且a•b=0，(a-c)•(b-c)≤0，则|a+b-c|的最大值为（）
解析：如图2所示，在单位圆中，不妨令OA=a，OB=b （A、B两点分别是单位圆与x轴、y轴的交点），OC=c，则CA=a-c，CB=b-c，a+b=OD，|a+b-c|=|OD-OC|=|CD| .因为(a-c)•(b-c)≤0，所以点C的运动轨迹为劣弧AB，易知当点C与点A或B重合时|CD|取到最大值为1.不仅如此，当点C与OD共线时|a+b-c|取到最小值2-1.
例3 （2011全国理）设向量a、b、c满足|a|=|b|=1，a•b=-12，〈a-c,b-c〉=60°，则|c|的最大值等于（）
A． 2B． 3
C． 2D． 1
解析：如图3所示，在单位圆中，不妨令OA=a，OB=b（A、B两点分别是单位圆与x轴、y轴的交点），其中∠AOB=120°.设OC=c，因为〈a-c,b-c〉=60°，所以A、O、B、C四点共圆，则点C在四边形AOBC的外接圆上运动，易求这个圆的半径也为1.所以当OC恰为这个外接圆的直径是|c|取到最大值2.
例4 （2010浙江理数）已知平面向量α，β(α≠0,α≠β)，满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则|α|的取值范围是.
图4
解析：如图4所示，在单位圆中，不妨令OB=β（B点是单位圆与x轴的交点）.设OA=α，则AB=β-α.因为α与β的夹角为120°，所以∠AOB=60°，那么点A就在以OB为一边的正三角形的外接圆上运动.易知当OA恰好是这个外接圆的直径时|α|的最大，当A点和O点重合是|α|的最小，求得|α|∈0,233.
点评：以上例题，向量跳的都是“圆形舞”.有在本身单位圆上跳的，也有另起炉灶在新的圆上跳.解题的关键是要充分利用圆的定义和性质.
三、 跳起“直线、圆形双人舞”
例5 已知向量α，β，γ满足|α|=1,|α-β|=|β|,(α-γ)•(β-γ)=0.若对每一确定的β,|γ|的最大值和最小值分别为m,n,则对任意β，m-n的最小值是（）
解析：如图5所示，在单位圆中，不妨令OA=α（A点是单位圆与x轴的交点）.设OB=β，OC=γ，因为|α-β|=|β|，所以点B在线段OA的垂直平分线上运动，又因为(α-γ)•(β-γ)=0，所以点C在以AB为直径的圆上运动.则当OC恰好过这个圆的圆心时，|γ|取到最值，且m-n=|AB|2.要使m-n最小，则只需|AB|最小.易知当B点恰好是线段OA的中点时|AB|最小，即m-n的最小值为14.
点评：在本题中有两个动向量，这就使问题变得比较复杂.解题的关键是先分别明确两个向量的运动轨迹，即所跳舞的类型，然后固定一动向量，以静制动，找到问题的突破口.
（责任编辑：钱德平）