[摘要]Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法是求解线性方程组常用的两种迭代法，但是这两种方法对方程组的收敛性要求很严，大部分方程组均不能用以求解。介绍一种新的收敛准则可以放宽对方程组的收敛性要求，通过实例证明这种收敛准则具有较强的应用性。
　　[关键词]Jacobi迭代法 Gauss-Seidel迭代法 线性方程组 收敛性
　　中图分类号：O1-0 文献标识码：A 文章编号：1671-7597（2009）0110165-01
　　
　　在数值计算中，经常有求解线性方程组的问题。解线性方程组的方法可归纳为直接法和迭代法。迭代法有Jacobi迭代法（以下简称J法）、Gauss-Seidel迭代法（以下简称GS法）和逐次超松弛法（SOR法）等。然而并不是所有的线性方程组均能采用迭代法求解，迭代法只能解一小部分具有收敛性的方程组。但迭代法有其优点，对于高阶方程组和稀疏方程组，用迭代法比直接法来得快些。本文仅就J法与GS法收敛性作了探讨，给出一些基本技巧：对于简单的二阶方程组，若J法与GS法均发散，可交换其两行求得其解；对一般性方程，给出一个应用性较强的定理，将方程
　　，可以用GS法求得任何|A|≠0的方程组的解。
　　
　　一、J法和GS法的基本收敛准则
　　
　　定理1. 对任意初始向量和右端b，J法收敛的充要条件是：
　　为B的谱半径。
　　定理2. 若迭代矩阵B满足 ，则J法收敛。
　　定理3. 若系数矩阵A严格对角占优或不可约弱对角占优，则GS法收敛，J法亦收敛。
　　定理4. 若系数矩阵A对称正定，则求解时，GS法收敛。
　　
　　二、J法和GS法的新收斂准则
　　
　　三、结束语
　　
　　在应用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组时，常常由于对方程组收敛性的要求很严无法解之。定理5给出：将方程
　　 ，可以用Gauss-Seidel求解任何的线性方程组。该定理具有较强的应用性。对于简单的2阶方程组，定理6指出：若Jacobi法与Gauss-Seidel法均发散，可交换其两行求得其解。
　　
　　参考文献：
　　[1]徐萃薇、孙绳武等，《计算方法引论》[M].北京：高等教育出版社，2002.
　　[2]蒋尔雄、赵风光等，《数值逼近》[M].上海：复旦大学出版社，1996.
　　[3]黄铎、陈兰平王凤等，《数值分析》[M].北京：科学出版社，2000.
　　
　　作者简介：
　　周乾智，男，湖北荆州人，陕西理工学院数学系助教，主要从事数值计算方法教学及研究工作。
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”