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【摘 要】数的认识是“数与代数”领域的重要内容，自然数的概念更是其中的启蒙知识。合理选择和使用学习材料将使自然数概念教学更为有效：十以内数的认识要用多元性、对比性、序列性的材料，通过整体学习，凸显数的现实意义，强化序数意义。千以内数的认识要选择生活化、图形化、结构化的材料，体会位值制，理解十进制，感悟数的多维度和多表征。大数的认识要重视材料的逻辑性、操作性和拓展性，培养抽象推理能力，建立良好的数感。
【关键词】数的认识 概念 数感 材料 策略
“数与代数”是小学阶段数学教学的重要内容，其中数的认识又在“数与代数”中占有重要地位。在“数与代数”的教学中，应帮助学生准确建立数的概念，懂得这些数包含的实际意义，培养数感，渗透符号意识，能用所学的数的知识表示、分析、交流生活中的一些事物。合适的学习材料的选择和使用，将促进学生更好地学习“数的认识”。 那么，教师该怎样帮助学生选择合适的学习材料呢？笔者通过对相关典型案例的分析來加以说明。
一、十以内数的学习材料的选择和使用
（一）提供多元性材料，凸显数的现实意义
借助生活中出现的数据，可以帮助学生在具体的情境中理解数的意义，建立数的存在感。
以“0的认识”为例，教师在教学时，引导学生思考：小猴子吃桃子，可以用怎样的数来表示。在桃子与数一一对应的过程中，体会0可以表示一个也没有。
接着教师进一步引导学生思考：你还在生活中哪些地方见到过0，它表示什么意思呢？学生回答道：在尺子上见到过0，在温度计上见到过0，在电话机上见到过0，在门牌号码上见到过0，在账单上见到过0，等等。教师和学生一起探讨，每一种情况下0表示的不同意思。
除了教材提供的情境，收集补充大量的生活情境，尤其是学生生活的素材，可以有效激起学生学习的共鸣。
（二）提供对比性材料，强化数的序数意义
自然数既包含基数意义也包含序数意义，在小学数学的教学中，我们比较强调数的基数意义，对于序数意义的理解相对比较薄弱。在教学时应该让学生同时形成基数与序数的概念。提供一些对比类的材料，可以帮助我们较好地处理这一问题。
以“6、7的认识”一课为例，教师首先让学生寻找生活中的6，然后呈现一些收集的材料，让学生说说这里的6分别表示什么？进而追问：左边框里的这些6和右边框里的这些6有什么不同？学生体会到左边的6表示一共有6个，右边的6表示第6个。通过对生活材料的对比，进一步感受数的基数意义和序数意义。
[6个][第6]
如果教师能抓住教学中的每一个点有意识地渗透基数意义和序数意义的对比强化，而不是仅仅把教学的重心落在“几和第几”这节课上，相信学生对于数的序数意义一定会理解得更为深刻。
（三）提供序列性材料，体会数的整体构成
数的学习涉及很多知识，数的读写、大小、顺序、书写、基数意义、序数意义、数数、数的分与合等等，有没有一种有效的方法，能够帮助学生整体性学习数的相关知识？我们在实践中进行了有效的尝试。
以“10的认识”一课为例，呈现了主题图之后，教师问：你能在图中找到哪些数学信息？学生找到了图中有很多有关10的信息；教师追问：你知道10和我们以前学习的数有什么不同吗？学生回答：10是一个两位数，它比我们以前学习的数都要大。教师提出一个开放性的问题：10这么与众不同，你想用哪些方法来介绍10呢？学生通过讨论，得出用写、摆、拨、找、分等方法来介绍10。
[写一写][摆一摆][拨一拨][找一找][分一分][十位 个位][10]
教师提供学习单和操作材料，让学生按照这样的思路，进行有序的研究，然后逐一反馈，通过“怎样介绍10？”就把有关10的学习内容整合起来了，同时也给学生提供了后续学习的基本框架。
二、千以内数的学习材料的选择和使用
十进位值制记数法是自然数表示的核心。它是古代世界中最先进、科学的记数法，对世界科学和文化的发展有着不可估量的作用。有了十进制就可以逻辑地构造和表示数，包括数的组成和分解，也就是逻辑地认识数。
（一）提供生活化材料，构建数的直观形态
以“千以内数的认识”为例，教师设计了这样的环节。
师：一千还能表示什么呢？请同学们借助桌上的材料，4人合作，自己摆一摆，数一数。
学生汇报成果。
组1：我们小组是用小棒来向大家介绍的，一捆是100根，100，200……900，1000，10捆100根的小棒就是1000根。
组2：我们小组是这样介绍的，报纸上这篇文章的这个框，框里的字大约是200个，200，400……1000，这篇文章的字数大约1000个。
组3：我们小组是借助袋装糖来介绍的，这里一包糖是500克，2包500克的糖就是1000克。
师：看来同样的数量，不同的物体，带给我们的感受各不相同！
对1000大小的感知并不是一蹴而就的，选择的材料虽然各有不同，但都是1000在不同形态上的拓展，对于数的意义的建构是非常有效的。
（二）提供图形化材料，构建数的维度生成
对于学生的数学学习来说，数形结合是非常重要的，借助图形能帮助学生更深刻地感受数概念的建立过程。
以“百以内数的认识”一课为例，教师设计了一个数小方块的操作活动。先给每个小组一堆小方块，请学生猜猜自己面前的这堆小方块有几个。 学生猜测，答案不统一。教师追问：到底有多少呢？你有什么好办法来验证？（数一数，摆一摆）教师继续追问：怎样让大家一眼就看出你们小组的小方块有几个呢？学生再次操作，数摆小方块，师生一起点评学生的作品。（小方块的个数不固定，有100，99，102，93等各种情况）接着课件展示整理小方块的过程。 通过数小方块的活动，让学生体验有序数数的价值，再用整理小方块的活动推动数形的结合，得到思维的深化。在后续的教学中我们也可以延续这一思路，帮助学生数形结合。
（三）提供结构化的材料，体验数的多种表征
经过一系列对数的认识的学习积累，我们已经学会了用多种材料和方式来表征一个具体的数。我们还可以呈现一些结构化的材料，帮助学生进行梳理和建构。
以“千以内数的认识练习课”为例，教师设计了这样的环节。
教师提问：我们都知道一年有365天，想一想，如果请你来表示365这个数，你会采用哪些方法？学生先进行讨论：可以用摆小棒、拨计数器、数直线上的表示等。然后学生在练习纸上进行尝试，教师进行材料的收集和反馈。最后，将所有呈现的方法进行简单的分类。
教师所提供的材料不仅是学生已经熟悉的，而且充满趣味，通过用各种不同的方式表示365这个数的学习过程，不仅培养了学生的数学学习素养，也增强了知识之间的联系。
三、大数的认识学习材料的选择和使用
（一）提供逻辑性材料，比较数的位值意义
我们通常所说的“大数”是指千以上的数。我们生活在三维空间，可以将大的数目，按照三位一节形象地表示出来。借助计数器等工具帮助学生理性思考数的生成方式，让他们学会用逻辑思维去推断数的建构。
以“大数的认识”一课为例，教师设计了这样一个复习导入的环节。
教师出示了4个“1”。
教师提问：仔细观察这四个计数器上的珠子分别表示什么数？学生回答：1，10，100，10000。教师追问：为什么同样的一颗珠子却表示不同的数呢？学生回答：1在个位上，表示1个一；1在十位上，表示1个十；1在百位上，表示1个百；1在万位上，表示1个万。接着教师板书数位顺序表的一部分，并总结道：原来不同数位上的珠子表示的数大小是不一样的。
利用计数器可以帮助我们更直观有序地体会位值制，将其与数位顺序表对应起来，更是从形象到抽象的有效提炼，对于后续认识更大的数有着积极的铺垫作用。
（二）提供拓展性材料，经历数的基本推算
对于小的数来说，我们的操作材料是丰富多样的。一旦到了大数的教学，我们常常苦于如何选取操作的素材和如何设计操作的活动。事实上，借助一定的拓展性材料，我们完全可以实现操作学习的理念。
以“万以内数的认识”一课为例，教师设计了一个小组合作讨论的环节。
教师提问：说来说去，1万到底有多大呢？老师这里有几组数学信息。结合这些材料，你能想象一下，1万究竟有多大吗？
学生小组合作讨论并思考：
1.瓶子里大约有5000粒米，那么10000粒米大概到瓶子的哪儿？
2.学校操场的跑道一圈是200米，绕操场跑5圈是1000米，你估计你跑完10000米后会是怎样的状态？
3.这里是1000张纸，你来抱抱看，重吗？那10000张纸大约有多重呢？1000张纸叠起来大约有9厘米左右高，10000张纸叠起来有多高呢？
4.报纸上红线框出的部分大约有2000个字，10000个字大约需要多大的版面？你读完这一个版面大约需要多少时间？
材料的选择遵循了三个维度：现实性，是生活中可感可知学生常见的素材；便利性，是相对比较小便于携带和呈现的素材；多元性，有表示颗数的米，有表示长度的跑道，有表示厚度的纸张，还有表示面积的报纸。对于数的不同形态进行了多元的呈现。
（三）提供序列性材料，抽象数的内在含义
让学生体验一个很大的数的时候，可以提供一些序列性材料，让学生从形象中逐步抽象出数的意义，综合运用推理能力来感受从量到形的提升过程。
以 “大数的认识”一课为例，教师呈现了三个层次的材料。
第一层次：初步形象感知大数。提供了教材中的漫画图片，想象这些数是很大的。1万张纸摆在一起大约有1米高，10万张纸摆在一起大约有3层楼高。1亿个小学生手拉手可以绕地球赤道3圈半。
第二层次：联系生活体会大数。例如提供一些社区或者城市建筑中的资料，感受大数在生活中的实际运用。出示社区示意图：我们求智社区共有常住居民约10000人。出示体育馆图片：黄龙体育馆一次可以容纳5万人观看比赛。
第三层次：结合图形感悟大数。用长方形表示手上的细菌，如果用冷水只能冲洗掉一格的细菌，约40000个；而用温水加肥皂搓洗1分钟以上时，能洗掉9格的细菌；你知道9格的细菌是多少吗？
从教材图片中的具体形象，过渡到整体呈现的生活场景，再到更为抽象的几何图形，这是一个学生思维不断提升、想象不断拓展的过程，生动诠释了“形无数难入微，数无形少直观”的含义。
自然数概念的教学贯穿整个小学数学学习体系，是计算、图形学习的基础。静心选择学习材料，精心组织教学过程，用心设计拓展练习，是我们孜孜不倦的追求。材料是死的，课堂是活的，在灵动的课堂里让有限的资源发挥最大的价值，是我们正在做的事情。自然数概念的教学内涵深刻、外延丰富，需要我们在课堂实践中不断前行，不断思考，不断提升。
参考文献：
[1]林崇德.小学儿童数概念与运算能力发展的研究[J].心理学报，1981（3）.
[2]林崇德.学龄前儿童数概念与运算能力发展[J].北京师范大学学报，1980（2）.
[3]張奠宙，孔凡哲，黄建弘，等.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2009（1）.
（浙江省杭州市育才外国语学校 310000）
【关键词】数的认识 概念 数感 材料 策略
“数与代数”是小学阶段数学教学的重要内容，其中数的认识又在“数与代数”中占有重要地位。在“数与代数”的教学中，应帮助学生准确建立数的概念，懂得这些数包含的实际意义，培养数感，渗透符号意识，能用所学的数的知识表示、分析、交流生活中的一些事物。合适的学习材料的选择和使用，将促进学生更好地学习“数的认识”。 那么，教师该怎样帮助学生选择合适的学习材料呢？笔者通过对相关典型案例的分析來加以说明。
一、十以内数的学习材料的选择和使用
（一）提供多元性材料，凸显数的现实意义
借助生活中出现的数据，可以帮助学生在具体的情境中理解数的意义，建立数的存在感。
以“0的认识”为例，教师在教学时，引导学生思考：小猴子吃桃子，可以用怎样的数来表示。在桃子与数一一对应的过程中，体会0可以表示一个也没有。
接着教师进一步引导学生思考：你还在生活中哪些地方见到过0，它表示什么意思呢？学生回答道：在尺子上见到过0，在温度计上见到过0，在电话机上见到过0，在门牌号码上见到过0，在账单上见到过0，等等。教师和学生一起探讨，每一种情况下0表示的不同意思。
除了教材提供的情境，收集补充大量的生活情境，尤其是学生生活的素材，可以有效激起学生学习的共鸣。
（二）提供对比性材料，强化数的序数意义
自然数既包含基数意义也包含序数意义，在小学数学的教学中，我们比较强调数的基数意义，对于序数意义的理解相对比较薄弱。在教学时应该让学生同时形成基数与序数的概念。提供一些对比类的材料，可以帮助我们较好地处理这一问题。
以“6、7的认识”一课为例，教师首先让学生寻找生活中的6，然后呈现一些收集的材料，让学生说说这里的6分别表示什么？进而追问：左边框里的这些6和右边框里的这些6有什么不同？学生体会到左边的6表示一共有6个，右边的6表示第6个。通过对生活材料的对比，进一步感受数的基数意义和序数意义。
如果教师能抓住教学中的每一个点有意识地渗透基数意义和序数意义的对比强化，而不是仅仅把教学的重心落在“几和第几”这节课上，相信学生对于数的序数意义一定会理解得更为深刻。
（三）提供序列性材料，体会数的整体构成
数的学习涉及很多知识，数的读写、大小、顺序、书写、基数意义、序数意义、数数、数的分与合等等，有没有一种有效的方法，能够帮助学生整体性学习数的相关知识？我们在实践中进行了有效的尝试。
以“10的认识”一课为例，呈现了主题图之后，教师问：你能在图中找到哪些数学信息？学生找到了图中有很多有关10的信息；教师追问：你知道10和我们以前学习的数有什么不同吗？学生回答：10是一个两位数，它比我们以前学习的数都要大。教师提出一个开放性的问题：10这么与众不同，你想用哪些方法来介绍10呢？学生通过讨论，得出用写、摆、拨、找、分等方法来介绍10。
教师提供学习单和操作材料，让学生按照这样的思路，进行有序的研究，然后逐一反馈，通过“怎样介绍10？”就把有关10的学习内容整合起来了，同时也给学生提供了后续学习的基本框架。
二、千以内数的学习材料的选择和使用
十进位值制记数法是自然数表示的核心。它是古代世界中最先进、科学的记数法，对世界科学和文化的发展有着不可估量的作用。有了十进制就可以逻辑地构造和表示数，包括数的组成和分解，也就是逻辑地认识数。
（一）提供生活化材料，构建数的直观形态
以“千以内数的认识”为例，教师设计了这样的环节。
师：一千还能表示什么呢？请同学们借助桌上的材料，4人合作，自己摆一摆，数一数。
学生汇报成果。
组1：我们小组是用小棒来向大家介绍的，一捆是100根，100，200……900，1000，10捆100根的小棒就是1000根。
组2：我们小组是这样介绍的，报纸上这篇文章的这个框，框里的字大约是200个，200，400……1000，这篇文章的字数大约1000个。
组3：我们小组是借助袋装糖来介绍的，这里一包糖是500克，2包500克的糖就是1000克。
师：看来同样的数量，不同的物体，带给我们的感受各不相同！
对1000大小的感知并不是一蹴而就的，选择的材料虽然各有不同，但都是1000在不同形态上的拓展，对于数的意义的建构是非常有效的。
（二）提供图形化材料，构建数的维度生成
对于学生的数学学习来说，数形结合是非常重要的，借助图形能帮助学生更深刻地感受数概念的建立过程。
以“百以内数的认识”一课为例，教师设计了一个数小方块的操作活动。先给每个小组一堆小方块，请学生猜猜自己面前的这堆小方块有几个。 学生猜测，答案不统一。教师追问：到底有多少呢？你有什么好办法来验证？（数一数，摆一摆）教师继续追问：怎样让大家一眼就看出你们小组的小方块有几个呢？学生再次操作，数摆小方块，师生一起点评学生的作品。（小方块的个数不固定，有100，99，102，93等各种情况）接着课件展示整理小方块的过程。 通过数小方块的活动，让学生体验有序数数的价值，再用整理小方块的活动推动数形的结合，得到思维的深化。在后续的教学中我们也可以延续这一思路，帮助学生数形结合。
（三）提供结构化的材料，体验数的多种表征
经过一系列对数的认识的学习积累，我们已经学会了用多种材料和方式来表征一个具体的数。我们还可以呈现一些结构化的材料，帮助学生进行梳理和建构。
以“千以内数的认识练习课”为例，教师设计了这样的环节。
教师提问：我们都知道一年有365天，想一想，如果请你来表示365这个数，你会采用哪些方法？学生先进行讨论：可以用摆小棒、拨计数器、数直线上的表示等。然后学生在练习纸上进行尝试，教师进行材料的收集和反馈。最后，将所有呈现的方法进行简单的分类。
教师所提供的材料不仅是学生已经熟悉的，而且充满趣味，通过用各种不同的方式表示365这个数的学习过程，不仅培养了学生的数学学习素养，也增强了知识之间的联系。
三、大数的认识学习材料的选择和使用
（一）提供逻辑性材料，比较数的位值意义
我们通常所说的“大数”是指千以上的数。我们生活在三维空间，可以将大的数目，按照三位一节形象地表示出来。借助计数器等工具帮助学生理性思考数的生成方式，让他们学会用逻辑思维去推断数的建构。
以“大数的认识”一课为例，教师设计了这样一个复习导入的环节。
教师出示了4个“1”。
教师提问：仔细观察这四个计数器上的珠子分别表示什么数？学生回答：1，10，100，10000。教师追问：为什么同样的一颗珠子却表示不同的数呢？学生回答：1在个位上，表示1个一；1在十位上，表示1个十；1在百位上，表示1个百；1在万位上，表示1个万。接着教师板书数位顺序表的一部分，并总结道：原来不同数位上的珠子表示的数大小是不一样的。
利用计数器可以帮助我们更直观有序地体会位值制，将其与数位顺序表对应起来，更是从形象到抽象的有效提炼，对于后续认识更大的数有着积极的铺垫作用。
（二）提供拓展性材料，经历数的基本推算
对于小的数来说，我们的操作材料是丰富多样的。一旦到了大数的教学，我们常常苦于如何选取操作的素材和如何设计操作的活动。事实上，借助一定的拓展性材料，我们完全可以实现操作学习的理念。
以“万以内数的认识”一课为例，教师设计了一个小组合作讨论的环节。
教师提问：说来说去，1万到底有多大呢？老师这里有几组数学信息。结合这些材料，你能想象一下，1万究竟有多大吗？
学生小组合作讨论并思考：
1.瓶子里大约有5000粒米，那么10000粒米大概到瓶子的哪儿？
2.学校操场的跑道一圈是200米，绕操场跑5圈是1000米，你估计你跑完10000米后会是怎样的状态？
3.这里是1000张纸，你来抱抱看，重吗？那10000张纸大约有多重呢？1000张纸叠起来大约有9厘米左右高，10000张纸叠起来有多高呢？
4.报纸上红线框出的部分大约有2000个字，10000个字大约需要多大的版面？你读完这一个版面大约需要多少时间？
材料的选择遵循了三个维度：现实性，是生活中可感可知学生常见的素材；便利性，是相对比较小便于携带和呈现的素材；多元性，有表示颗数的米，有表示长度的跑道，有表示厚度的纸张，还有表示面积的报纸。对于数的不同形态进行了多元的呈现。
（三）提供序列性材料，抽象数的内在含义
让学生体验一个很大的数的时候，可以提供一些序列性材料，让学生从形象中逐步抽象出数的意义，综合运用推理能力来感受从量到形的提升过程。
以 “大数的认识”一课为例，教师呈现了三个层次的材料。
第一层次：初步形象感知大数。提供了教材中的漫画图片，想象这些数是很大的。1万张纸摆在一起大约有1米高，10万张纸摆在一起大约有3层楼高。1亿个小学生手拉手可以绕地球赤道3圈半。
第二层次：联系生活体会大数。例如提供一些社区或者城市建筑中的资料，感受大数在生活中的实际运用。出示社区示意图：我们求智社区共有常住居民约10000人。出示体育馆图片：黄龙体育馆一次可以容纳5万人观看比赛。
第三层次：结合图形感悟大数。用长方形表示手上的细菌，如果用冷水只能冲洗掉一格的细菌，约40000个；而用温水加肥皂搓洗1分钟以上时，能洗掉9格的细菌；你知道9格的细菌是多少吗？
从教材图片中的具体形象，过渡到整体呈现的生活场景，再到更为抽象的几何图形，这是一个学生思维不断提升、想象不断拓展的过程，生动诠释了“形无数难入微，数无形少直观”的含义。
自然数概念的教学贯穿整个小学数学学习体系，是计算、图形学习的基础。静心选择学习材料，精心组织教学过程，用心设计拓展练习，是我们孜孜不倦的追求。材料是死的，课堂是活的，在灵动的课堂里让有限的资源发挥最大的价值，是我们正在做的事情。自然数概念的教学内涵深刻、外延丰富，需要我们在课堂实践中不断前行，不断思考，不断提升。
参考文献：
[1]林崇德.小学儿童数概念与运算能力发展的研究[J].心理学报，1981（3）.
[2]林崇德.学龄前儿童数概念与运算能力发展[J].北京师范大学学报，1980（2）.
[3]張奠宙，孔凡哲，黄建弘，等.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2009（1）.
（浙江省杭州市育才外国语学校 310000）