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摘要：针对空间解析几何求一般位置直线实长的方法，论述了直角三角形法和换面法两种方法，对比一般的教学方法，探讨出新的教学方法，结合典型实例进行分析求解，通过应用于教学实际，效果较好。
关键词：直角三角形法；换面法；直线实长
中图分类号：TU204文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）03-0133-01
引言
当空间直线或平面对投影面处于一般位置时，它们的投影都不反映其真实长度、大小和形状，也不反映实际距离和夹角，如何求一般位置的实际长度以及与投影面的夹角，也是工程实际需要解决的问题，如同一个管道处于无法测量的位置，要求出它的实际长度，类似的工程问题的应用，需要从画法几何的角度进行求解。一般的教学法里有利用空间直线具有长、宽、高三个尺度，即实长的平方等于长的平方加宽的平方加高的平方[1]，为了解决此问题，探讨了两种求解方法，即直角三角形法和换面法。
1.直角三角形法
（1）直角三角形法的新教法。为了更加直观的理解一般位置直线在三个投影面的投影特性，将三个投影面理解成教室中由地面（H 面）、侧墙面（W 面）和黑板面（V 面）组成。[2]一般位置直线就相当于在这三个投影面中的投影。将三个投影面组成的立体空间中的一般位置直线转换成平面求解空间直线的实长及对各投影面倾角的求法。
如图1（a）所示，若已知H面上直线AB的投影a’b’，要求出直线AB的实长以及与H面的倾角，需要过a’（b’）做一条直线，且该直线垂直于a’b’，量取△Z（直线两端A和B点的Z坐标值之差），过b’（a’）点首尾连接成斜边，此斜边就是空间直线AB的实长，直角三角形中△Z边对着的夹角即为直线AB与H面的夹角α。
如图1（b）所示，若已知V面上直线AB的投影ab，要求出直线AB的实长以及与V面的倾角，需要过a（b）做一条直线，且该直线垂直于ab，量取△Y（直线两端A和B点的Y坐标值之差），过b（a）点首尾连接成斜边，此斜边为实长，△Y所对夹角即为β。
如图1（c）所示，若已知W面上直线AB的投影a”b”，要求直线AB的实长与倾角γ，需要过a”（b”）做一条直线，且该直线垂直于a”b”，量取△W（直线两端A和B点的W坐标值之差），过b”（a”）点首尾连接成斜边，此斜边为实长，△X所对夹角即为γ。
（2）直角三角形法的应用
如图2（a）所示，已知一般位置直线AB的V面投影a’b’和H面投影ab，要求实长和倾角α。
按上述方法进行作图求解，如图1（a）直角三角形，已知a’b’，要求出直线AB的实长以及与H面的倾角。作图求解步骤为图2（b）和图2（c），需要过a’（b’）做一条直线，且该直线垂直于a’b’，量取△Z（Z坐标值之差），过b’（a’）点首尾连接成斜边，此斜边就是空间直线AB的实长，直角三角形中△Z所对夹角即α。
同理，求实长和倾角β用直角三角形法图1（b）求实长和倾角γ用直角三角形法图1（c）。
2.换面法
（1）换面法的原理。投影变换是研究如何通过改变空间几何元素（点、线、面）与投影面的相对位置或改变投射方向达到简化解题的目的，投影面处于特殊位置求一般位置直线的实长及其与投影面的夹角，其应用有三种情况，一是求一般位置直线的实长及与H面的夹角α，二是求一般位置直线的实长及与V面的夹角β，三是求一般位置直线的实长及与W面的夹角γ。
（2）换面法的应用
如图3（a）所示，已知条件如图2（a），要求直线AB的实长和倾角α。用换面法将V面换成V1面， 作图求解法如图3（b）所示，做平行于OX轴的新轴O1 X1，使aa1的连线和bb1的连线垂直于新轴O1 X1，再量取a1到新轴O1 X1的距离等于a’ 到旧轴OX的距离，量取b1到新轴O1 X1的距离等于b’ 到旧轴OX的距离，连接a1b1，即为直线AB的实长，过a1作平形与O1 X1的直线，该直线与投影a1b1的夹角即为α。同理，如图3（c）若换将H面换成H1面，则可求出直线AB的实长和V面的倾角β。
3.结论
本文阐述了空间解析几何中一般位置直线求解实长和对应面夹角的方法，分析了直角三角形的新教法和实际应用，换面法求解相同问题的方法和应用，通过作图求解，用直角三角形法和换面法都可以解决同样的问题，两种方法都具可行性。
（作者单位：四川工程职业技术学院）
参考文献：
[1]狄海.“直角三角形法”的实质[J].2003，220（02）：127-128
[2]杨卫红.“直角三角形法”求作直线实长和投影的应用[J]. 山西建筑， 2005，31（08）：16-17.
[3]刘智敏. 图解法求实长方法的变换推广及“形”“数”关系分析[J]. 价值工程， 2010（07）：169-170.
[4]黎孟珠，石相莉.用换面法与直角三角形法求一般位置平面实形的比较[J]. 桂林航天工业高等专科学校学报，2006，42（02）：13-14.
关键词：直角三角形法；换面法；直线实长
中图分类号：TU204文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）03-0133-01
引言
当空间直线或平面对投影面处于一般位置时，它们的投影都不反映其真实长度、大小和形状，也不反映实际距离和夹角，如何求一般位置的实际长度以及与投影面的夹角，也是工程实际需要解决的问题，如同一个管道处于无法测量的位置，要求出它的实际长度，类似的工程问题的应用，需要从画法几何的角度进行求解。一般的教学法里有利用空间直线具有长、宽、高三个尺度，即实长的平方等于长的平方加宽的平方加高的平方[1]，为了解决此问题，探讨了两种求解方法，即直角三角形法和换面法。
1.直角三角形法
（1）直角三角形法的新教法。为了更加直观的理解一般位置直线在三个投影面的投影特性，将三个投影面理解成教室中由地面（H 面）、侧墙面（W 面）和黑板面（V 面）组成。[2]一般位置直线就相当于在这三个投影面中的投影。将三个投影面组成的立体空间中的一般位置直线转换成平面求解空间直线的实长及对各投影面倾角的求法。
如图1（a）所示，若已知H面上直线AB的投影a’b’，要求出直线AB的实长以及与H面的倾角，需要过a’（b’）做一条直线，且该直线垂直于a’b’，量取△Z（直线两端A和B点的Z坐标值之差），过b’（a’）点首尾连接成斜边，此斜边就是空间直线AB的实长，直角三角形中△Z边对着的夹角即为直线AB与H面的夹角α。
如图1（b）所示，若已知V面上直线AB的投影ab，要求出直线AB的实长以及与V面的倾角，需要过a（b）做一条直线，且该直线垂直于ab，量取△Y（直线两端A和B点的Y坐标值之差），过b（a）点首尾连接成斜边，此斜边为实长，△Y所对夹角即为β。
如图1（c）所示，若已知W面上直线AB的投影a”b”，要求直线AB的实长与倾角γ，需要过a”（b”）做一条直线，且该直线垂直于a”b”，量取△W（直线两端A和B点的W坐标值之差），过b”（a”）点首尾连接成斜边，此斜边为实长，△X所对夹角即为γ。
（2）直角三角形法的应用
如图2（a）所示，已知一般位置直线AB的V面投影a’b’和H面投影ab，要求实长和倾角α。
按上述方法进行作图求解，如图1（a）直角三角形，已知a’b’，要求出直线AB的实长以及与H面的倾角。作图求解步骤为图2（b）和图2（c），需要过a’（b’）做一条直线，且该直线垂直于a’b’，量取△Z（Z坐标值之差），过b’（a’）点首尾连接成斜边，此斜边就是空间直线AB的实长，直角三角形中△Z所对夹角即α。
同理，求实长和倾角β用直角三角形法图1（b）求实长和倾角γ用直角三角形法图1（c）。
2.换面法
（1）换面法的原理。投影变换是研究如何通过改变空间几何元素（点、线、面）与投影面的相对位置或改变投射方向达到简化解题的目的，投影面处于特殊位置求一般位置直线的实长及其与投影面的夹角，其应用有三种情况，一是求一般位置直线的实长及与H面的夹角α，二是求一般位置直线的实长及与V面的夹角β，三是求一般位置直线的实长及与W面的夹角γ。
（2）换面法的应用
如图3（a）所示，已知条件如图2（a），要求直线AB的实长和倾角α。用换面法将V面换成V1面， 作图求解法如图3（b）所示，做平行于OX轴的新轴O1 X1，使aa1的连线和bb1的连线垂直于新轴O1 X1，再量取a1到新轴O1 X1的距离等于a’ 到旧轴OX的距离，量取b1到新轴O1 X1的距离等于b’ 到旧轴OX的距离，连接a1b1，即为直线AB的实长，过a1作平形与O1 X1的直线，该直线与投影a1b1的夹角即为α。同理，如图3（c）若换将H面换成H1面，则可求出直线AB的实长和V面的倾角β。
3.结论
本文阐述了空间解析几何中一般位置直线求解实长和对应面夹角的方法，分析了直角三角形的新教法和实际应用，换面法求解相同问题的方法和应用，通过作图求解，用直角三角形法和换面法都可以解决同样的问题，两种方法都具可行性。
（作者单位：四川工程职业技术学院）
参考文献：
[1]狄海.“直角三角形法”的实质[J].2003，220（02）：127-128
[2]杨卫红.“直角三角形法”求作直线实长和投影的应用[J]. 山西建筑， 2005，31（08）：16-17.
[3]刘智敏. 图解法求实长方法的变换推广及“形”“数”关系分析[J]. 价值工程， 2010（07）：169-170.
[4]黎孟珠，石相莉.用换面法与直角三角形法求一般位置平面实形的比较[J]. 桂林航天工业高等专科学校学报，2006，42（02）：13-14.