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1 数学学习的基础
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”这就是说，数学教学活动要以学生的发展为本，要把学生的个人知识、直接经验和现实世界作为数学教学的重要资源。应该说有了知识经验的学习不仅能让孩子们更好的掌握技能、还能激发思维。
2 采用恰当的预期、执行、调控手段，增强课堂实效，提高学生数学认知思维
2.1 教师教学恰当预期
2.1.1 深入研究，精心预设：
教材的知识结构会直接影响到每个学生的认知结构，而学生的认知结构又影响到问题的解决及问题解决中策略的使用。因此，教师要尊重教材、钻研教材。
【案例】二年级第一学期《分一分与除法》师：4颗糖果装一袋，12颗能够装几袋？（学生动手分）用减法算式怎么表示？ 生：12-4-4-4=0师：表示12里面有几个4？ 生：12里面有3个4。 师：3颗糖果装一袋，12颗能够装几袋？用减法算式怎么表示？ 生：12-3-3-3-3=0，表示12里面有4个3。 师：2颗糖果装一袋，12颗能够装几袋？用减法算式怎么表示？ 生：12-2-2-2-2-2-2=0，表示12里面有6个2。 师：那有没有简便的列式方法？（引出除法）
【分析】这位教师对教材编写意图有错误理解：对于“平均分”除法核心问题的理解，本应通过大量的“分一分”的活动，使学生经历对实物“平均分”的过程，再逐步抽象出符号“÷”，建立除法的概念。但这位教师设计的操作拿一拿，装一装，导致学生容易误解除法的意义为“相同减数连减的简便运算”，而不是“已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算”，让学生建立了一种错误的知识结构。
2.1.2 准确定位教学目标。教学目标对教学活动具有导向、指引、调控与测量等功能，这是关系到一堂课成功与失败的很重要的因素。
【案例】师：教师手中的圆柱体容器里装满了大米。你们怎样知道大米的体积？生：圆柱的底面积乘高（略）。师：（将大米倒在平臺上）现在大米是什么形状？生：近似的圆锥。师：你们想知道些什么？生：我想知道底面的半径和高；体积；底面积；表面积；底面周长；……师：在大家想知道的内容中，哪些知识我们还没有学过？师：圆锥的底面和高，大家已经学过；下面我们共同研究圆锥的体积怎样计算，大家同意吗？
【分析】课始，教师用大米倒在平台上呈圆锥状，将学习内容指向于圆锥的研究。通过“你们想知道些什么？”问题，激发学生的经验迁移和学习期待：由圆柱体的学习经验演进到对圆锥体的学习期待。教师没有马上进行圆锥体积的教学，而是用“哪些知识我们还没有学过？”引导学生对他们想学习的内容进行梳理，指明学习方向，确定学习目标。
2.1.3 全面分析学生学习起点。学习的起点主要有逻辑起点和现实起点。学习的逻辑起点是指按照教材学习的进度，应该具有的知识基础。学习的现实起点是指学生在多种学习资源的共同作用下，已有的知识基础。一般学生的现实起点往往高于学生的逻辑起点。面对学生，上课前我们应从以下几个方面进行调研思考：①学生是否具备新知学习所必需的认知基础？②学生是否已经或部分掌握新知？掌握的人数、内容、程度怎样？③哪些内容他们已学会？哪些内容需要相互讨论？哪些内容需要老师点拨和引导讲解？
【案例】《时、分的认识》一课中“认识钟面”教学片段：
师：认识钟面吗？（认识）请小组合作、观察并回答：a、钟面上有几根针？长的叫什么针？短的叫什么针？b、钟面上有几个大格？几个小格？你是怎么知道的？
【分析】这教师只是分析了教材的逻辑起点，而忽略了学生的现实起点。事实上，学生在日常生活中对钟面认识已有一定的经验，如果将几个小问题合并成一个问题：“同学们对钟面熟悉吗？能在纸上画出钟面吗？”，此时定能调动学生积极参与的情绪，让学生在“做数学”中得到认知的需要和满足。
2.2 执行中坚持让学生独立思考，独立操作
2.2.1 教师积极指导。“帮助学生分析数学思维过程，梳理数学思想方法的来龙去脉”，“引导学生从思维策略上进行回顾总结，使学生通过反思掌握数学基本思想方法”，“引导学生重新剖析问题的本质，对问题进行推广引申”，“引导学生剖析解题方法的实质，优化解题过程，寻找解决问题的最佳方案”，“帮助学生从基本概念、基础知识的角度来剖析错误的原因”。要把知识学习与技能练习结为一体，不能分割。“教师在教学中应当引导学生充分开展自主的、独立的活动，以建立对构成活动的各个动作及其执行顺序和执行方式的亲身体验，……尽量让学生能够自己概括出动作及其执行顺序”。
2.2.2 教师精心设计教学环节及提问
【案例】有位老师在教同分母分数加法例题
仓库有化肥一堆，第一天用去它的五分之一，第二天用去它的四分之一，两天一共用去这堆煤的几分之几？
师问：（1）谁来读题？（2）这道题已知什么？要求什么？（3）单位“1”是谁？（4）线段图怎么画？（5）用什么方法计算？（6）怎么列式？（7）等于多少？（8）为什么用加法做？（9）分数加法的意义是什么？（10）你会背吗？（11）怎么计算？（12）你能说出这样算的道理吗？（13）同分母分数加法的计算方法是怎样的？（14）你同不同意这种解法？还有别的方法吗？你是怎么算的？（15）同分母分数加法的计算法则是什么？
【分析】教者看似给学生设置了一个个台阶，但如此程式化的教学环节却使学生思维活动的空间受到了限制。课堂上教师启发学生必须注意：（1）要有鼓励性。要能激起学生积极进行探究活动，即通过学生的探索和思考再做回答。（2）要有开放性，促进学生主动在思考中学习。（3）注意改变单向提问为互动交流：双向互动——在课堂中既有教师的提问，也有学生的质疑。多向互动。教师“应注意掌握活动的节奏，并适时向下一阶段转化”。 2.2.3 教師积极关注思维：
数学是思维的体操，课堂教学必须注意多目标的融合，让学生学会借助认知，学会数学思考，发展思维。
【案例】“角的画法”教学片段一：
师边问边画：下面我们来学习画角。画角一般分三步：第一步，先画顶点。第一步是画什么？（先画顶点）；第二步，从顶点出发画一条边；第三步画什么？（再画一条边）；从哪里起画一条边？（从顶点起）……；说得真好。谁能完整地说出画角分哪三个步骤？
角的画法教学片段二：
师：在上课前，老师问大家想知道关于角的哪些知识，有的小朋友说想给角画个像，那怎么画呢？小朋友们想一想，伸出小手在桌面上画画。
师：谁来说说自己的想法。（生1、生2、生3）
师：你们同意谁的意见？说说自己的理由。（生答）
师：有不同意见吗？（没有），那大家拿出笔画一个角试试。
【分析】前者只重知识结果，是一种只“达”而无“开”。而后者引导学生分析解决问题，是在思考过程展现的，不但让学生得到正确结果，而且更重要的是让学生说出得到结果的理由，使学生的思维过程在课堂上得到展现。
3 加强数学学习活动监控，及时调控
在数学学习中调动头脑中已有的相关知识，安排学习步骤，选择学习和解决问题的方法，并估计各方法的趋势和成功可能性，等等，这是学生对自己的数学学习过程进行监控的前提。学生对自己学习的形成评价，对数学认知活动起收敛作用——数学方法的总结、数学思想的提炼，使学生对数学问题的整体意识，认知层次更清楚。调节是在学习过程中根据监视的结果，找出认知偏差，及时及时调整策略或修正目标；在学习活动结束时，评价认知结果，采取相应的补救措施，修正错误，总结经验教训等等。
总之，在教学中始终以学生认知起点为基础，以学生思维发展为本，这样才会让孩子们在课堂中不断发展！
参考文献
[1] 陈琦， 刘儒德.当代教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2002
[2] 北京教育学院心理系. 教师实用心理学[M].北京：开明出版社，2000
[3] 郑毓信等.数学学习心理学的现代研究[M].上海：上海教育出版社，1998
[4] 陈亮，朱德全.数学探究教学的实施策略[J].数学教育学报，2003.8（3）
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”这就是说，数学教学活动要以学生的发展为本，要把学生的个人知识、直接经验和现实世界作为数学教学的重要资源。应该说有了知识经验的学习不仅能让孩子们更好的掌握技能、还能激发思维。
2 采用恰当的预期、执行、调控手段，增强课堂实效，提高学生数学认知思维
2.1 教师教学恰当预期
2.1.1 深入研究，精心预设：
教材的知识结构会直接影响到每个学生的认知结构，而学生的认知结构又影响到问题的解决及问题解决中策略的使用。因此，教师要尊重教材、钻研教材。
【案例】二年级第一学期《分一分与除法》师：4颗糖果装一袋，12颗能够装几袋？（学生动手分）用减法算式怎么表示？ 生：12-4-4-4=0师：表示12里面有几个4？ 生：12里面有3个4。 师：3颗糖果装一袋，12颗能够装几袋？用减法算式怎么表示？ 生：12-3-3-3-3=0，表示12里面有4个3。 师：2颗糖果装一袋，12颗能够装几袋？用减法算式怎么表示？ 生：12-2-2-2-2-2-2=0，表示12里面有6个2。 师：那有没有简便的列式方法？（引出除法）
【分析】这位教师对教材编写意图有错误理解：对于“平均分”除法核心问题的理解，本应通过大量的“分一分”的活动，使学生经历对实物“平均分”的过程，再逐步抽象出符号“÷”，建立除法的概念。但这位教师设计的操作拿一拿，装一装，导致学生容易误解除法的意义为“相同减数连减的简便运算”，而不是“已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算”，让学生建立了一种错误的知识结构。
2.1.2 准确定位教学目标。教学目标对教学活动具有导向、指引、调控与测量等功能，这是关系到一堂课成功与失败的很重要的因素。
【案例】师：教师手中的圆柱体容器里装满了大米。你们怎样知道大米的体积？生：圆柱的底面积乘高（略）。师：（将大米倒在平臺上）现在大米是什么形状？生：近似的圆锥。师：你们想知道些什么？生：我想知道底面的半径和高；体积；底面积；表面积；底面周长；……师：在大家想知道的内容中，哪些知识我们还没有学过？师：圆锥的底面和高，大家已经学过；下面我们共同研究圆锥的体积怎样计算，大家同意吗？
【分析】课始，教师用大米倒在平台上呈圆锥状，将学习内容指向于圆锥的研究。通过“你们想知道些什么？”问题，激发学生的经验迁移和学习期待：由圆柱体的学习经验演进到对圆锥体的学习期待。教师没有马上进行圆锥体积的教学，而是用“哪些知识我们还没有学过？”引导学生对他们想学习的内容进行梳理，指明学习方向，确定学习目标。
2.1.3 全面分析学生学习起点。学习的起点主要有逻辑起点和现实起点。学习的逻辑起点是指按照教材学习的进度，应该具有的知识基础。学习的现实起点是指学生在多种学习资源的共同作用下，已有的知识基础。一般学生的现实起点往往高于学生的逻辑起点。面对学生，上课前我们应从以下几个方面进行调研思考：①学生是否具备新知学习所必需的认知基础？②学生是否已经或部分掌握新知？掌握的人数、内容、程度怎样？③哪些内容他们已学会？哪些内容需要相互讨论？哪些内容需要老师点拨和引导讲解？
【案例】《时、分的认识》一课中“认识钟面”教学片段：
师：认识钟面吗？（认识）请小组合作、观察并回答：a、钟面上有几根针？长的叫什么针？短的叫什么针？b、钟面上有几个大格？几个小格？你是怎么知道的？
【分析】这教师只是分析了教材的逻辑起点，而忽略了学生的现实起点。事实上，学生在日常生活中对钟面认识已有一定的经验，如果将几个小问题合并成一个问题：“同学们对钟面熟悉吗？能在纸上画出钟面吗？”，此时定能调动学生积极参与的情绪，让学生在“做数学”中得到认知的需要和满足。
2.2 执行中坚持让学生独立思考，独立操作
2.2.1 教师积极指导。“帮助学生分析数学思维过程，梳理数学思想方法的来龙去脉”，“引导学生从思维策略上进行回顾总结，使学生通过反思掌握数学基本思想方法”，“引导学生重新剖析问题的本质，对问题进行推广引申”，“引导学生剖析解题方法的实质，优化解题过程，寻找解决问题的最佳方案”，“帮助学生从基本概念、基础知识的角度来剖析错误的原因”。要把知识学习与技能练习结为一体，不能分割。“教师在教学中应当引导学生充分开展自主的、独立的活动，以建立对构成活动的各个动作及其执行顺序和执行方式的亲身体验，……尽量让学生能够自己概括出动作及其执行顺序”。
2.2.2 教师精心设计教学环节及提问
【案例】有位老师在教同分母分数加法例题
仓库有化肥一堆，第一天用去它的五分之一，第二天用去它的四分之一，两天一共用去这堆煤的几分之几？
师问：（1）谁来读题？（2）这道题已知什么？要求什么？（3）单位“1”是谁？（4）线段图怎么画？（5）用什么方法计算？（6）怎么列式？（7）等于多少？（8）为什么用加法做？（9）分数加法的意义是什么？（10）你会背吗？（11）怎么计算？（12）你能说出这样算的道理吗？（13）同分母分数加法的计算方法是怎样的？（14）你同不同意这种解法？还有别的方法吗？你是怎么算的？（15）同分母分数加法的计算法则是什么？
【分析】教者看似给学生设置了一个个台阶，但如此程式化的教学环节却使学生思维活动的空间受到了限制。课堂上教师启发学生必须注意：（1）要有鼓励性。要能激起学生积极进行探究活动，即通过学生的探索和思考再做回答。（2）要有开放性，促进学生主动在思考中学习。（3）注意改变单向提问为互动交流：双向互动——在课堂中既有教师的提问，也有学生的质疑。多向互动。教师“应注意掌握活动的节奏，并适时向下一阶段转化”。 2.2.3 教師积极关注思维：
数学是思维的体操，课堂教学必须注意多目标的融合，让学生学会借助认知，学会数学思考，发展思维。
【案例】“角的画法”教学片段一：
师边问边画：下面我们来学习画角。画角一般分三步：第一步，先画顶点。第一步是画什么？（先画顶点）；第二步，从顶点出发画一条边；第三步画什么？（再画一条边）；从哪里起画一条边？（从顶点起）……；说得真好。谁能完整地说出画角分哪三个步骤？
角的画法教学片段二：
师：在上课前，老师问大家想知道关于角的哪些知识，有的小朋友说想给角画个像，那怎么画呢？小朋友们想一想，伸出小手在桌面上画画。
师：谁来说说自己的想法。（生1、生2、生3）
师：你们同意谁的意见？说说自己的理由。（生答）
师：有不同意见吗？（没有），那大家拿出笔画一个角试试。
【分析】前者只重知识结果，是一种只“达”而无“开”。而后者引导学生分析解决问题，是在思考过程展现的，不但让学生得到正确结果，而且更重要的是让学生说出得到结果的理由，使学生的思维过程在课堂上得到展现。
3 加强数学学习活动监控，及时调控
在数学学习中调动头脑中已有的相关知识，安排学习步骤，选择学习和解决问题的方法，并估计各方法的趋势和成功可能性，等等，这是学生对自己的数学学习过程进行监控的前提。学生对自己学习的形成评价，对数学认知活动起收敛作用——数学方法的总结、数学思想的提炼，使学生对数学问题的整体意识，认知层次更清楚。调节是在学习过程中根据监视的结果，找出认知偏差，及时及时调整策略或修正目标；在学习活动结束时，评价认知结果，采取相应的补救措施，修正错误，总结经验教训等等。
总之，在教学中始终以学生认知起点为基础，以学生思维发展为本，这样才会让孩子们在课堂中不断发展！
参考文献
[1] 陈琦， 刘儒德.当代教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2002
[2] 北京教育学院心理系. 教师实用心理学[M].北京：开明出版社，2000
[3] 郑毓信等.数学学习心理学的现代研究[M].上海：上海教育出版社，1998
[4] 陈亮，朱德全.数学探究教学的实施策略[J].数学教育学报，2003.8（3）