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摘要：复变函数是数学专业的一门专业课，具有高度的抽象性，学生学习起来难度较大。笔者采用多种教学手段相结合，结合自己的教学实践，总结了几点教学体会，在实践中取得了良好的教学效果。
关键词：复变函数；教学改革；启发式教学法
中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）51-0164-02
复变函数课程是数学与应用数学专业的一门基础专业课，是数学分析课程的后续课程，已经渗入到代数学、微分方程、概率统计等多个数学分支[1-2]。该课程具有高度的抽象性，学生普遍反映学习难度较大。如何降低复变函数的学习难度、提高课堂的教学效果以及学生的学习兴趣是我们教师迫切需要解决的问题。
一、复变函数的教学现状
学生方面：一方面，复变函数是以复数域为基础理论的一门学科，自变量与因变量都取自复数，高中新课改后，复数域这一部分理论被精简了很多，但是大学的教学内容并没有做出相应的调整。因此，学生们从高中到大学的知识衔接出现很大的问题，增加了学习复变函数的难度。另一方面，复变函数研究的数学理论从实数域扩展到复数域，该课程与数学分析在很多地方具有相似之处，因此数学分析的学习效果对复变函数的学习效果有很大影响。教师、教法方面：复变函数这门课程理论多，内容又抽象，在课堂上教师过于注重理论的讲授，不注重激发学生的学习兴趣，不注重提高学生分析解决问题的能力。
二、教学体会
在教学过程中，如何提高学生的学习兴趣，降低学习难度，取得良好的教学效果呢？我认为可以从以下几个方面来考虑：
1.适当补授中学删除而复变函数中需要用到的内容。复变函数中要讲到幅角，而因为幅角的多值性，需要用到反三角函数，而反三角函数在中学并没有涉及，鉴于现在学生复数域理论知识的严重匮乏，在授课的第一周给学生补充与复变函数课程有关的一些基本理论。学生有了牢固的基础知识，才有兴趣去学习后面复杂的理论。
2.板书教学方式与多媒体教学方式相结合。传统的教学方式是教师以讲授课本内容为主，在教学中需要大量推导演算等，这样就把相当一部分时间浪费在了板书上，所以授课需要板书与多媒体相结合。一方面，在讲授新课之前，教师利用多媒体来复习上节课的内容，并复习数学分析中与本节课相关的内容，一来使学生加深对学过的知识的理解，二来教师可节省出一部分时间去更详细地讲授新知识。另一方面，多媒体教学能够降低复变函数的抽象性，增加教学内容的直观性，从而提高學生的学习积极性。例如，复对数函数w=Lnz=ln|z| i（argz 2kπ）（k=0，±1，±2，…）是无穷多值函数，在复平面上，从原点起沿负实轴割破复平面就可以得到w=Lnz的无穷多个单值解析分支w■=（Lnz）■=ln|z| i（argz 2kπ）（k=0，±1，±2，…）。这部分内容太抽象，学生很难理解。如果利用Matlab画出对数函数的图像，可以让学生更清楚地看到对数函数的多值性，自变量取同一个值，得到的因变量的值有无穷多个，他们的实部相同，虚部相差kπ，k∈R，并且学生还可以了解若不割破复平面，复对数函数就无法分解出无穷多个单值解析分支。
3.采用比较式教学法。复变函数是研究复数域上函数的一门学科，而数学分析是研究实数域上函数的一门学科，二者既有相同点，又有不同点，所以教师在授课时，应该有意识地引导学生比较这两门课程的异同。比如，在一致收敛条件下，无论复函数项级数还是实函数项级数都是逐项可积的，而且和函数还保留了原有函数项的连续性。尽管复函数项级数在一致收敛条件下是逐项可微的，但实函数项级数在一致收敛条件下则不一定是逐项可微的。从而说明区域上的解析与区间上的可导是有本质区别的，复变函数中解析概念要比可导概念强得多。
4.采用启发式教学法。以唯一性定理为例，在前一节课推导了函数f（z）=e■在z=0点的泰勒展式e■=1 z ■ … ■ …，展式成立的范围是z<∞.而数学分析中函数f（x）=e■的泰勒展式e■=1 x ■ … ■ …，展式成立的范围是x<∞，两个展式形式上一模一样，这样学生的头脑中就会产生一个疑问，这是为什么呢？教师此时指出本节课要学习的解析函数的唯一性定理刚好解答了同学们心中的疑问。
5.让学生成为教学的参与者。目前课堂上实行“满堂灌，填鸭式”的教学方法，学生只能坐在下面被动地听课，没有真正参与到教学中来。笔者在实际教学中尽量回避这一点，充分考虑到了“做”的重要性。譬如，复变函数幂级数理论与实的幂级数理论中的阿贝尔引理以及收敛半径的求法是相似的，在讲授这部分内容时，笔者可以让学生提前复习一下实幂级数中的阿贝尔引理以及求收敛半径的方法，组织学生自主教学，分组讨论，让学生真正参与到教学中来，分享学习成功带来的喜悦。
6.引导学生要善于归纳总结。复变函数有一章节的内容是复积分，复积分的计算方法有：参数方程法、牛顿-莱布尼茨公式、柯西积分公式、解析函数的无穷可微性定理等等。在刚开始学习复积分时，学生会觉得复积分的计算很复杂。讲授完留数定理这一部分内容后，教师和学生可以一起归纳总结应该怎样去计算复积分：首先看积分路径是否封闭，若积分路径不封闭，可以考虑利用参数方程法、牛顿-莱布尼茨公式来计算复积分；若积分路径封闭，可以根据留数定理去计算复积分，因为柯西积分公式、解析函数的无穷可微性定理是留数定理的特殊情况。下面举例说明如何利用留数定理简单计算闭路的复积分。
例[1] 计算积分■■dz，其中C：|z|=2.
解：方法一：因为f（z）=■在C内有两个奇点z■=-1，z■=1，不能直接用柯西积分公式，因此需要在C内做两个互不包含的两个正向圆周C■，C■，使得C■内只包含奇点z■=-1，C■内只包含奇点z■=1。因此，有
■■dz=■■dz ■■dz=■■dz ■■dz =2πi■■ 2πi■■=■πi ■πi=■πi.
方法二（利用留數定理）：因为f（z）=■在C内有两个奇点z=-1，z=1，因此只需求出f（z）在z=-1与z=1处的留数。由z=-1为f（z）的一阶极点可得
■f（z）=■■=■
同理，由z=1为f（z）的一阶极点可得
■f（z）=■■=■
由留数定理可得■■dz=2πi（■f（z） ■f（z））=■πi.
显然，第二种方法省略了做两个互不包含的两个正向圆周C■，C■，使得C■内只包含奇点z■=-1，C■内只包含奇点z■=1，这一步骤，就显得简单了。
三、结束语
以上就是我讲授复变函数课程的几点教学体会，并结合案例进行了具体分析。采用多种教学方法相结合，不仅提高了学生分析问题、解决问题的能力，也培养了学生自主思考问题的能力，同时也使得学生深刻认识到复变函数理论与数学分析理论的异同，降低了学习该门课程的难度，充分调动了学生的学习主动性，取得了良好的教学效果。
参考文献：
2.Department of Mathematics and Physics，Luoyang Institute of Science and Technology，Luoyang，Henan 471023，China）
Abstract：The complex function is a professional course of mathematics， students with high abstract， more difficult to learn. The author combination of various teaching methods， combined with their own teaching practice， summarizes some experience of teaching， good teaching effect is achieved in practice.
Key words：complex function；teaching reform；heuristic teaching method
关键词：复变函数；教学改革；启发式教学法
中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）51-0164-02
复变函数课程是数学与应用数学专业的一门基础专业课，是数学分析课程的后续课程，已经渗入到代数学、微分方程、概率统计等多个数学分支[1-2]。该课程具有高度的抽象性，学生普遍反映学习难度较大。如何降低复变函数的学习难度、提高课堂的教学效果以及学生的学习兴趣是我们教师迫切需要解决的问题。
一、复变函数的教学现状
学生方面：一方面，复变函数是以复数域为基础理论的一门学科，自变量与因变量都取自复数，高中新课改后，复数域这一部分理论被精简了很多，但是大学的教学内容并没有做出相应的调整。因此，学生们从高中到大学的知识衔接出现很大的问题，增加了学习复变函数的难度。另一方面，复变函数研究的数学理论从实数域扩展到复数域，该课程与数学分析在很多地方具有相似之处，因此数学分析的学习效果对复变函数的学习效果有很大影响。教师、教法方面：复变函数这门课程理论多，内容又抽象，在课堂上教师过于注重理论的讲授，不注重激发学生的学习兴趣，不注重提高学生分析解决问题的能力。
二、教学体会
在教学过程中，如何提高学生的学习兴趣，降低学习难度，取得良好的教学效果呢？我认为可以从以下几个方面来考虑：
1.适当补授中学删除而复变函数中需要用到的内容。复变函数中要讲到幅角，而因为幅角的多值性，需要用到反三角函数，而反三角函数在中学并没有涉及，鉴于现在学生复数域理论知识的严重匮乏，在授课的第一周给学生补充与复变函数课程有关的一些基本理论。学生有了牢固的基础知识，才有兴趣去学习后面复杂的理论。
2.板书教学方式与多媒体教学方式相结合。传统的教学方式是教师以讲授课本内容为主，在教学中需要大量推导演算等，这样就把相当一部分时间浪费在了板书上，所以授课需要板书与多媒体相结合。一方面，在讲授新课之前，教师利用多媒体来复习上节课的内容，并复习数学分析中与本节课相关的内容，一来使学生加深对学过的知识的理解，二来教师可节省出一部分时间去更详细地讲授新知识。另一方面，多媒体教学能够降低复变函数的抽象性，增加教学内容的直观性，从而提高學生的学习积极性。例如，复对数函数w=Lnz=ln|z| i（argz 2kπ）（k=0，±1，±2，…）是无穷多值函数，在复平面上，从原点起沿负实轴割破复平面就可以得到w=Lnz的无穷多个单值解析分支w■=（Lnz）■=ln|z| i（argz 2kπ）（k=0，±1，±2，…）。这部分内容太抽象，学生很难理解。如果利用Matlab画出对数函数的图像，可以让学生更清楚地看到对数函数的多值性，自变量取同一个值，得到的因变量的值有无穷多个，他们的实部相同，虚部相差kπ，k∈R，并且学生还可以了解若不割破复平面，复对数函数就无法分解出无穷多个单值解析分支。
3.采用比较式教学法。复变函数是研究复数域上函数的一门学科，而数学分析是研究实数域上函数的一门学科，二者既有相同点，又有不同点，所以教师在授课时，应该有意识地引导学生比较这两门课程的异同。比如，在一致收敛条件下，无论复函数项级数还是实函数项级数都是逐项可积的，而且和函数还保留了原有函数项的连续性。尽管复函数项级数在一致收敛条件下是逐项可微的，但实函数项级数在一致收敛条件下则不一定是逐项可微的。从而说明区域上的解析与区间上的可导是有本质区别的，复变函数中解析概念要比可导概念强得多。
4.采用启发式教学法。以唯一性定理为例，在前一节课推导了函数f（z）=e■在z=0点的泰勒展式e■=1 z ■ … ■ …，展式成立的范围是z<∞.而数学分析中函数f（x）=e■的泰勒展式e■=1 x ■ … ■ …，展式成立的范围是x<∞，两个展式形式上一模一样，这样学生的头脑中就会产生一个疑问，这是为什么呢？教师此时指出本节课要学习的解析函数的唯一性定理刚好解答了同学们心中的疑问。
5.让学生成为教学的参与者。目前课堂上实行“满堂灌，填鸭式”的教学方法，学生只能坐在下面被动地听课，没有真正参与到教学中来。笔者在实际教学中尽量回避这一点，充分考虑到了“做”的重要性。譬如，复变函数幂级数理论与实的幂级数理论中的阿贝尔引理以及收敛半径的求法是相似的，在讲授这部分内容时，笔者可以让学生提前复习一下实幂级数中的阿贝尔引理以及求收敛半径的方法，组织学生自主教学，分组讨论，让学生真正参与到教学中来，分享学习成功带来的喜悦。
6.引导学生要善于归纳总结。复变函数有一章节的内容是复积分，复积分的计算方法有：参数方程法、牛顿-莱布尼茨公式、柯西积分公式、解析函数的无穷可微性定理等等。在刚开始学习复积分时，学生会觉得复积分的计算很复杂。讲授完留数定理这一部分内容后，教师和学生可以一起归纳总结应该怎样去计算复积分：首先看积分路径是否封闭，若积分路径不封闭，可以考虑利用参数方程法、牛顿-莱布尼茨公式来计算复积分；若积分路径封闭，可以根据留数定理去计算复积分，因为柯西积分公式、解析函数的无穷可微性定理是留数定理的特殊情况。下面举例说明如何利用留数定理简单计算闭路的复积分。
例[1] 计算积分■■dz，其中C：|z|=2.
解：方法一：因为f（z）=■在C内有两个奇点z■=-1，z■=1，不能直接用柯西积分公式，因此需要在C内做两个互不包含的两个正向圆周C■，C■，使得C■内只包含奇点z■=-1，C■内只包含奇点z■=1。因此，有
■■dz=■■dz ■■dz=■■dz ■■dz =2πi■■ 2πi■■=■πi ■πi=■πi.
方法二（利用留數定理）：因为f（z）=■在C内有两个奇点z=-1，z=1，因此只需求出f（z）在z=-1与z=1处的留数。由z=-1为f（z）的一阶极点可得
■f（z）=■■=■
同理，由z=1为f（z）的一阶极点可得
■f（z）=■■=■
由留数定理可得■■dz=2πi（■f（z） ■f（z））=■πi.
显然，第二种方法省略了做两个互不包含的两个正向圆周C■，C■，使得C■内只包含奇点z■=-1，C■内只包含奇点z■=1，这一步骤，就显得简单了。
三、结束语
以上就是我讲授复变函数课程的几点教学体会，并结合案例进行了具体分析。采用多种教学方法相结合，不仅提高了学生分析问题、解决问题的能力，也培养了学生自主思考问题的能力，同时也使得学生深刻认识到复变函数理论与数学分析理论的异同，降低了学习该门课程的难度，充分调动了学生的学习主动性，取得了良好的教学效果。
参考文献：
2.Department of Mathematics and Physics，Luoyang Institute of Science and Technology，Luoyang，Henan 471023，China）
Abstract：The complex function is a professional course of mathematics， students with high abstract， more difficult to learn. The author combination of various teaching methods， combined with their own teaching practice， summarizes some experience of teaching， good teaching effect is achieved in practice.
Key words：complex function；teaching reform；heuristic teaching method