摘要：数学分析是一门较为重要的基础课程，它的教学内容较为抽象和形式化，学生很难理解教学内容中的概念本质，更不用说正确的运用其中的相关定理去解决实际问题。而在数学分析教学中使用反例教学有助于帮助学生理解教学内容，提高解决实际问题的能力。
　　关键词：数学分析；反例；应用研究
　　【分类号】O17-4
　　1.前言
　　数学分析是数学专业中的一门重要学科，很多学生在这门学科上栽跟头。数学分析中有较多抽象的概念，枯燥的理论增加了学生对知识理解的难度，大部分学生在学过之后还是感觉一头雾水，更不用说正确的运用有关的定理解决问题了。因此，为了降低学生的学习难度，就把反例引进到数学分析教学过程中从而帮助学生分析解决问题。
　　2.数学分析的概念和基本方法
　　数学分析就是常说的高级微积分，是专门研究实数和复数及其函数的一个数学分支，其主要内容一般是微积分学和无穷级数。像非数学专业的学生一般会学比较简单的微积分，如微积分的连续性和一些简单的可微可导。而数学专业的则需要熟练地掌握难度较大的微积分原理。数学分析的基本方法是极限法。极限法就是无穷小法，将函数扩展到无穷小在进行分析，在此基础之上再对函数进行连续性、导数、连续函数的积分和级数收敛的研究。数学分析中的拉格朗日定理、洛必达法则和柯西不等式都是实用性较强的定理。数学分析能够帮助数学家和天文家解决大量的实际问题，其影响十分广泛。
　　3.反例在数学分析中所起到的作用
　　在数学分析中经常会用到反例教学法，使用反例主要有以下作用：帮助学生更好地理解一些数学概念的性质。书上的概念有些是从正面分析的，但学生对这些概念仅仅有一些模糊的认识。他们的思维已经僵化了，有时候换个方法更利于理解。反例表示由某些事物A满足条件B，但没有性质C。这样能避免使用全称推断造成错误的结果；帮助学生正确地理解相关定理的性质。在数学分析中，大部分定理只有在一定的范围内才能成立，但书上没有给出定理成立的范围，只是用一些晦涩难懂的抽象语言进行概括，学生很难理解。比如在微分中值定理的讲解中，学生大都误认为此定理对一切可微函数都有效。这时可以用反例来加深学生对这个定理的理解，用在区间内不存在的值去反证，经过推理发现定理在该值时不适用，学生就能明白微分中值定理成立的条件以及适用范围；帮助学生把各个知识点联系起来，并能认识到知识点之间的区别。学生在学习多元函数时，很容易与一元函数混淆，将一元函数的性质照搬到多元函数上。这时用反例来证明多元函数的连续性和偏导数的存在性，证明二者之间性质的不同，进而使学生认识到一元函数和多元函数的区别以及性质的不同；帮助学生形成自己的知识体系框架，熟练地运用定理去处理实际问题。
　　4.反例在数学分析中的应用
　　在数学分析中经常会用到反例，具体体现在以下几个方面：讲解无穷大量和无穷小量等一些抽象概念。用一个较为简单的例子来说明，如对于limf（x）=A，其中x趋向于m，它的定义是对于任意的?>0，当0<│x-m│0， 任意M>0，当0<│x-m│　　例题： 定理：若函数f（x）在a连续，则函数│f（x）│在a也连续。
　　要想证明其逆命题的成立与否就可以采用反例来说明。以当x≥0时，f（x）=1；x<-1，f（x）=-1 为例，要证明│f（x）│=1在x=0处是连续的。而事实上f（x）在x=0处是不连续的，这样就很容易地证明其逆命题是不成立的；在已知定理的基础上进行研究。在收敛级数性质这一章节中，书本上仅仅给出了定理：若级数∑A和∑B都收敛，则∑（A+B）也收敛。在此定理基础上，学生可以发散思维，用反证法进行更深层次的探索；构造出新的函数方便解题。用一些比较典型的反例进行构造，从而简化题目。通常在证明函数的连续性时会用到；构造出一系列的无处可微但处处连续的函数。根据已知反例的特点，对函数进行改动，构造出新的连续但又不可微的函数，帮助解决问题。
　　5.结束语
　　反例的实用性很强，能够帮助解决数学上的难题，广泛应用于数学分析教学活动中。本文主要从數学分析、反例和应用研究三个方面展开对基于数学分析中的反例及其应用的研究，有一定的借鉴和参考价值。
　　参考文献：
　　[1] 吴慧伶. 新课改背景下数学专业师范生专业素养的提升研究[J]. 教育与职业. 2013（12）
　　[2] 钟文勇. 数学专业教学中学生创新能力的培养[J]. 吉首大学学报（自然科学版）. 2012（02）