《湖南教育•数学教师》2008.1期,给出了数学问题144:“已知a、b、c是正数,且a+b+c=1。求证:(1b+c-a)(1c+a-b)(1a+b-c)≥(76)3。”的证明。
　　笔者经过分析发现,因a+b+c=1,于是,欲证之式成为(11-a-a)•(11-b-b)•(11-c-c)≥(76)3。11-a-a、11-b-b11-c-c恰好是函数f(x)=11-x-x在区间(0,1)上的三个函数值,该问题若运用函数f(x)在区间(0,1)上是增函数的性质来证明,似乎更为简单。
　　证明∵f(x)=11-x-x(0∠x∠1),∴f′(x)=1(1-x)2-1,又0∠x∠1,∴0∠(1-x)2∠1,1(1-x)2>1,于是,f′(x)=1(1-x)2-1>0,由此可知,函数f(x)=11-x-x在区间(0,1)上是增函数。
　　不失一般性,设0∠a≤b≤c∠1。则0∠a≤13,f(a)≤f(b)≤f(c)。由此可得f(a)f(b)f(c)≥f3(a)。f(0)∠f(a)≤f13,1∠f(a)≤76。∴f(a)f(b)f(c)≥(76)3。
　　即(11-a-a)(11-b-b)(11-c-c)≥(76)3。
　　本文将上述问题作如下引申:若x1、x2、……xn∈R+,且x1+x2+……xn=k,(k≥1,n≥2),则(k2k-x1-x1)•(k2k-x2-x2)……(k2k-xn-xn)≥kn(n2-n+1n2-n)n.
　　证明:不失一般性,设0∠x1≤x2……≤xn∠k,则0∠x1≤kn。
　　容易证明f(x)=k2k-x-x在区间(0,k)上是增函数(证明略)
　　∴f(x1)≤f(x2)≤……≤f(xn),且f(0)∠f(x1)≤f(kn,即k∠f(x1)f(x2)……f(xn)≥kn(n2-n+1)(n2-n。
　　即(11-x1-x1)(11-X2-x2)……(11-Xn-xn)≥kn(n2-n+1n2-n)n。