论文部分内容阅读
摘 要：“握手”与我们的人际交往的一部分，它衍生出许多有趣的数学问题，通过对“握手问题”建立数学模型，利用数学中的化归思想进行知识和方法的有效迁移，使我们在学习中触类旁通，提高学习效率，增强自信，体验学习数学的无穷乐趣。
关键词：握手问题；数学模型；转化；触类旁通
“握手”是一种礼仪，“握手”在生活中是人与人交际的一部分，是一种交流，握手往往表示友好，可以加深双方的理解、信任，是一种习以为常的礼节，但是，若你细心地留意一下，你会发现它不但能给人与人之间带来和谐，它还在数学中为我们衍生出了许多有趣的数学问题，不防我们今天一起来交流一下，或许会给你带来小小的惊喜，启发我们在学习中要多发现、多思考、多探究、多总结，做到举一反三，触类旁通，让我们的学习能事半功倍，我们就能脱离题海，脱离苦海。变苦学为乐学，提高学习效率，增强自信，体验学习数学的无穷乐趣。
建立数学模型：
问题一：我班的第一小组有6人，每两个同学握一次手，那么他们之间一共握手几次？
探究：设六个人分别记作：A、B、C、D、E、F
方法1：列举法求握手的次数：AB、AC、AD、AE、AF、
BC、BD、BE、BF、
CD、CE、CF、
DE、DF
EF
分析：一个同学要与其他同学握手5次，6个同学就有6个5次，由于每两个同学之间只握手一次，所以是6（6-1）÷2=15次
问题二：数三角形。
如图，点P与直线l上的？A、B、C、D四个点一共可以构成几个三角形？
分析：我们可以用类似的方法来想：因為△PAB、△PBC、…，它们均以点P为公共点，所以三角形的个数取决于直线l上线段的条数，而直线l上线段的条数取决于直线L上已知点的个数，直线L上有4个已知点，把4个已知点看作4个学生，按照“握手解法”共握手4（4—1）÷2次手，从而图中有6个三角形
问题三：直线交点问题。
（人民教育出版社2005年6月版《义务教育课程标准实验教科书.数学.七年级.上册》第128页，拓广探索第10题）两条直线相交，有—个交点三条直线相交，最多有多少个交点？四条直线呢？你能发现什么规律呢？
分析：n条直线相交最多有多少个交点呢？当n条直线两两相交即每两条都相交时交点最多，这就好比n个人在握手，由“握手解法”可知n条直线相交交点最多就有n（n-1）/2个交点.三条直线相交，最多有（3×2）/2？=3（个）交点；四条直线相交，最多有（4×3）/2=6个交点
中考链接：（2011黄石）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n你个点最多可确定21条直线，则n的值为（ ）。
A.5 B.6 C.7 D.8
运用：平面上有10个点，任三点不在一条直线上，那么过两点画一条直线，共可画多少条直线？
分析：平面上的10个点就象是10个学生，过两点画一条直线，就好象是两个学生握一次手，其中n=10，按照“握手解法”，共可画10（10—1）÷2=45条直线。
问题三：数对角线。
n边形共有多少条对角线？
分析：n边形共有n个顶点，这n个顶点分别与自己和不相邻的（n—3）个点相连成对角线。就好比n个学生围成一圈，每个学生与不相邻的每个学生握手，n个学生就握手n（n—3）÷2次，从而有n（n—3）÷2条对角线。
问题四：已知正20面体的每个面都是三角形，求它的棱数
分析：将20个面看作是20个学生，相邻的两个面相交形成一条棱就好比两个学生握一次手，而每个面都是三角形，就好比是每个学生只能握三次手，所以共可握=30次手，即正20面体共有30条棱。
问题五：列车票问题。
如图，在火车站A到火车站B的铁路之间还有C、D两个火车站，①问从A地到B地有多少种列车票价？②问从A地到B地需要定制几种列车票
分析：我们知道，票价只与列车行驶的路程有关，而与列车行驶的方向无关.把铁路之间的4个站看成是4个人，4人共握手（4×3）/2=6次，故有6种票价.又因为列车票不仅与票价有关，而且与列车行驶的方向也有关.如“重庆→北京”与“北京→重庆”就是两种不同的乘车方向，它们的票价一般情况下是相同的，但列车票的形式不同，需准备两种车票.即把线段AB和BA看作是两条线段，故共需定制3×4=12（种）列车票.
中考链接：（2008自贡市）往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有种不同的票价，（来回票价一样），需准备种车票。
问题六：互赠礼物问题。
初三（1）班学生临毕业前，每人都互送明信片一张，现已知该班有45名学生，那么共需多少张明信片？
分析：该问题中，甲同学送给乙同学的明信片与乙同学送给甲同学的明信片不一样，因此按照“握手解法”考虑问题时，不需除以2，即该班共需45×44=1980张明信片。
问题七：足球比赛的比赛场次问题。
体育上“对抗循环赛”的比赛场次，也可以仿照“握手”的方法计算.如5个篮球队进行单打（相互间只赛一次）循环赛，1个队需分别与另4个打4场比赛，5个队共打（5×4）/2=10（场）；如果是职业球赛，它有主、客场次，则它与“列车票”类似，不用除以2，需打20场.
握手问题还可类比到打电话，拍照片选2个人，旅游景点选2个，衣服的搭配等等。
我们在解决以上各种数学问题时，利用化归思想对知识和方法做了有效迁移，最后都将它转化成了“握手”的问题。另外，我们还建立了n（n-1）/2这样的数学模型，其意义已不再停留握手了。从“握手问题”中，让我们懂得了：数学之泉，是永无止境的；探索数学的路程，是无终点的。还让我们明白了：数学是息息相通的。无论是代数还是几何，内在都有必要的联系性。
关键词：握手问题；数学模型；转化；触类旁通
“握手”是一种礼仪，“握手”在生活中是人与人交际的一部分，是一种交流，握手往往表示友好，可以加深双方的理解、信任，是一种习以为常的礼节，但是，若你细心地留意一下，你会发现它不但能给人与人之间带来和谐，它还在数学中为我们衍生出了许多有趣的数学问题，不防我们今天一起来交流一下，或许会给你带来小小的惊喜，启发我们在学习中要多发现、多思考、多探究、多总结，做到举一反三，触类旁通，让我们的学习能事半功倍，我们就能脱离题海，脱离苦海。变苦学为乐学，提高学习效率，增强自信，体验学习数学的无穷乐趣。
建立数学模型：
问题一：我班的第一小组有6人，每两个同学握一次手，那么他们之间一共握手几次？
探究：设六个人分别记作：A、B、C、D、E、F
方法1：列举法求握手的次数：AB、AC、AD、AE、AF、
BC、BD、BE、BF、
CD、CE、CF、
DE、DF
EF
分析：一个同学要与其他同学握手5次，6个同学就有6个5次，由于每两个同学之间只握手一次，所以是6（6-1）÷2=15次
问题二：数三角形。
如图，点P与直线l上的？A、B、C、D四个点一共可以构成几个三角形？
分析：我们可以用类似的方法来想：因為△PAB、△PBC、…，它们均以点P为公共点，所以三角形的个数取决于直线l上线段的条数，而直线l上线段的条数取决于直线L上已知点的个数，直线L上有4个已知点，把4个已知点看作4个学生，按照“握手解法”共握手4（4—1）÷2次手，从而图中有6个三角形
问题三：直线交点问题。
（人民教育出版社2005年6月版《义务教育课程标准实验教科书.数学.七年级.上册》第128页，拓广探索第10题）两条直线相交，有—个交点三条直线相交，最多有多少个交点？四条直线呢？你能发现什么规律呢？
分析：n条直线相交最多有多少个交点呢？当n条直线两两相交即每两条都相交时交点最多，这就好比n个人在握手，由“握手解法”可知n条直线相交交点最多就有n（n-1）/2个交点.三条直线相交，最多有（3×2）/2？=3（个）交点；四条直线相交，最多有（4×3）/2=6个交点
中考链接：（2011黄石）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n你个点最多可确定21条直线，则n的值为（ ）。
A.5 B.6 C.7 D.8
运用：平面上有10个点，任三点不在一条直线上，那么过两点画一条直线，共可画多少条直线？
分析：平面上的10个点就象是10个学生，过两点画一条直线，就好象是两个学生握一次手，其中n=10，按照“握手解法”，共可画10（10—1）÷2=45条直线。
问题三：数对角线。
n边形共有多少条对角线？
分析：n边形共有n个顶点，这n个顶点分别与自己和不相邻的（n—3）个点相连成对角线。就好比n个学生围成一圈，每个学生与不相邻的每个学生握手，n个学生就握手n（n—3）÷2次，从而有n（n—3）÷2条对角线。
问题四：已知正20面体的每个面都是三角形，求它的棱数
分析：将20个面看作是20个学生，相邻的两个面相交形成一条棱就好比两个学生握一次手，而每个面都是三角形，就好比是每个学生只能握三次手，所以共可握=30次手，即正20面体共有30条棱。
问题五：列车票问题。
如图，在火车站A到火车站B的铁路之间还有C、D两个火车站，①问从A地到B地有多少种列车票价？②问从A地到B地需要定制几种列车票
分析：我们知道，票价只与列车行驶的路程有关，而与列车行驶的方向无关.把铁路之间的4个站看成是4个人，4人共握手（4×3）/2=6次，故有6种票价.又因为列车票不仅与票价有关，而且与列车行驶的方向也有关.如“重庆→北京”与“北京→重庆”就是两种不同的乘车方向，它们的票价一般情况下是相同的，但列车票的形式不同，需准备两种车票.即把线段AB和BA看作是两条线段，故共需定制3×4=12（种）列车票.
中考链接：（2008自贡市）往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有种不同的票价，（来回票价一样），需准备种车票。
问题六：互赠礼物问题。
初三（1）班学生临毕业前，每人都互送明信片一张，现已知该班有45名学生，那么共需多少张明信片？
分析：该问题中，甲同学送给乙同学的明信片与乙同学送给甲同学的明信片不一样，因此按照“握手解法”考虑问题时，不需除以2，即该班共需45×44=1980张明信片。
问题七：足球比赛的比赛场次问题。
体育上“对抗循环赛”的比赛场次，也可以仿照“握手”的方法计算.如5个篮球队进行单打（相互间只赛一次）循环赛，1个队需分别与另4个打4场比赛，5个队共打（5×4）/2=10（场）；如果是职业球赛，它有主、客场次，则它与“列车票”类似，不用除以2，需打20场.
握手问题还可类比到打电话，拍照片选2个人，旅游景点选2个，衣服的搭配等等。
我们在解决以上各种数学问题时，利用化归思想对知识和方法做了有效迁移，最后都将它转化成了“握手”的问题。另外，我们还建立了n（n-1）/2这样的数学模型，其意义已不再停留握手了。从“握手问题”中，让我们懂得了：数学之泉，是永无止境的；探索数学的路程，是无终点的。还让我们明白了：数学是息息相通的。无论是代数还是几何，内在都有必要的联系性。