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待定系数法是求解一次函数表达式的基本方法，但在一些问题中，往往给出多样的条件让你求解，体现了函数表达式与其性质、图象以及其它相关知识的联系。在初中升高中考试中常常考查这些知识点，也是考查数学的思想方法之一，复习时教会学生分类型的解法特点，熟练掌握一次函数解析式求法。下面举例说明之，供参考。
1.已知函数的类型
例1 当m=_______时，函数y=3x2m+1+4x-5（x≠0）是一个一次函数。
解析：根据一次函数的定义，当2同+1=0，即 1 2 时，函数y=3x2M+1+4x-5（x≠0）是一个一次函数。
变式训练 当m=_______时，函数y=（m+3）x2m+1+4x-5（x≠0）是一个一次函数。
解析：分m+3=0和m+3≠0两种情况讨论：
（1）当m+3=0时，y=4x-5，m=-3 符合题意。
（2）当m+3≠0时，若2m+1=0，
则m=- 1 2 ，此时y=4x- 5 2 ；
若2m+1=1，则m=0，此时y=7x-5。
因此m=- 1 2 或m=0也符合题意。
综上，m=-3或m=- 1 2 或m=0
2.图象上有已知点
例2 （2005年宁波市）已知一次函数图象经过A（-2，-3），B（1，3）两点.
（1）求这个一次函数解析式。
（2）试判断点P（-1，1）是否在这个一次函数的图象上？
解析：（1）设所求的一次函数解析式为：y=kx+b.
由题意得 -2k+b=-3k+b=3
解得 k=2b=1
所以所求解析式为y=2x+1
（2）将P（-1，1）代入y=2x+1不成立，所以点P（-1，1）不在直线y=2x+1上。
3.已知图象的变化规律（特征）
例3 某物体，0℃时的电阻是2欧，在一定的温度范围内，温度每增加1℃时，电阻增加0.008欧，则该物体的电阻R（Ω）与温度t（℃）之间的函数表达式为__________.
解析：根据R与t的变化规律，可知R是t的一次函数，
得R=0.008t+2.
例4 对于一个一次函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质，甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x<2时，y随x的增大而减小；丁：当x<2时，y>0.已知甲、乙、丙、丁四位同学的叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的两个一次函数.
解析：该题画出图象容易得到答案，例如y=-x+2，y=- 1 2 或y=- 1 2 x+3等。
4.已知两图象的位置关系
例5（2005年哈尔滨市）已知两个一次函数y1=- b 2 x-4和y2= 1 a x+ 1 a 的图象重合，则一次函数y=ax+b的图象所经过的象限为（ ）
（A）第一、二、三象限 （B）第二、三、四象限
（C）第一、三、四象限 （D）第一、二、四象限
解析：因为两图象重合，所以
- b 2 = 1 a -4= 1 a ，
解得a=- 1 4 ，b=8
所以y=- 1 4 x+8经过第一、二、四象限.选（D）.
例6 （2003年上海市）如图1，一直线经过点A（0，4），B（2，0），将这条直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、D，使DB=DC.求直线CD的函数表达式.
解析：易得到直线AB的解析式
y=-2x+4
因为CD//AB，
所以设直线CD的解析式为
y=-2x+b
因为DB=DC，DO⊥BC，
所以OB=OC，
所以C点坐标为（-2，0），得b=-4，
所以直线CD解析式为
y=-2x-4
5.已知对称条件
例7 （2005年重庆市）直线 与x轴、y=- 4 3 x+8与x轴y分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处，则直线AM的解析式为__________________.
解析：如图2，先求得A（6，0），B（0，8），AB=10，又据对称性知：
AB'=AB=10，B'M=BM，B'O=4，
若设OM=x，可得B'M=BM=8-x.
在Rt△OB'M中，利用勾股定理，
OM2+OB'2=B'M2
即 x2+42=（8-x）2 ，
得x=3，
所以M（0，3）.
再利用待定系数法求出直线AM：
y=- 1 2 +3.
例8 （2003年盐城市）如图3，已知M（3，2），N（1，-1），点P在y轴上，且PM+PN最短，求点P的坐标.
解析：作出M点关于y轴的对称点M'，则M'坐标为（-3，2），连结M'N交y轴于P点，易知PM+PN最短.
设直线M'N的解析式为y=kx+b，
则 -1=k+b2=-3k+b
解得 k=- 3 4 B=- 1 4
所以直线M'N的解析式是y=- 3 4 x- 1 4
令x=0，则y=- 1 4 ，
所以P（0，- 1 4 ）.
6.已知x、y的取值范围
例9 （2003年济南市）如果一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是 ，相应函数值范围是 ，函数解析式为___________.
解析：需分k>0与k<0两种情况讨论.
当k>0时，y随x的增大而增大，当x=-2时，y=-11；当x=6时，y=9.
分别代入y=kx+b，易得k= 5 2 ，b=-6，
所以y= 5 2 x-6
类似的，k<0时，y随x的增大而减小，当x=-2时，y=9；当x=6时，y=-11.得出y=- 5 2 x+4.
综上，一次函数解析式为y= 5 2 x-6或 5 2 x+4
7.已知面积问题
例10 （2004年济南市）如图4，直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A、B两点.直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1两部分.求直线l的解析式.
解析：直线y=x+3与x轴、y轴交点坐标A（-3，0）、B（0，3），则S△AOB= 9 2 .
设C点纵坐标为yc.
若S△AOC：S△BOC=1：2，
则S△AOC：S△AOB=1：3，
所以yc=1.
将y=1代入y=x+3，得x=-2.
所以C（-2，1），
所以直线OC的解析式为y=- 1 2 x.
若S△AOC：S△BOC=2：1，
则S△AOC：S△AOB=2：3，
所以yc=2.
将y=2代入y=x+3，
得x=-1
所以C（-1，2），
所以直线OC的解析式为y=-2x.
综上，直线OC的解析式为
y=- 1 2 或y=-2x
1.已知函数的类型
例1 当m=_______时，函数y=3x2m+1+4x-5（x≠0）是一个一次函数。
解析：根据一次函数的定义，当2同+1=0，即 1 2 时，函数y=3x2M+1+4x-5（x≠0）是一个一次函数。
变式训练 当m=_______时，函数y=（m+3）x2m+1+4x-5（x≠0）是一个一次函数。
解析：分m+3=0和m+3≠0两种情况讨论：
（1）当m+3=0时，y=4x-5，m=-3 符合题意。
（2）当m+3≠0时，若2m+1=0，
则m=- 1 2 ，此时y=4x- 5 2 ；
若2m+1=1，则m=0，此时y=7x-5。
因此m=- 1 2 或m=0也符合题意。
综上，m=-3或m=- 1 2 或m=0
2.图象上有已知点
例2 （2005年宁波市）已知一次函数图象经过A（-2，-3），B（1，3）两点.
（1）求这个一次函数解析式。
（2）试判断点P（-1，1）是否在这个一次函数的图象上？
解析：（1）设所求的一次函数解析式为：y=kx+b.
由题意得 -2k+b=-3k+b=3
解得 k=2b=1
所以所求解析式为y=2x+1
（2）将P（-1，1）代入y=2x+1不成立，所以点P（-1，1）不在直线y=2x+1上。
3.已知图象的变化规律（特征）
例3 某物体，0℃时的电阻是2欧，在一定的温度范围内，温度每增加1℃时，电阻增加0.008欧，则该物体的电阻R（Ω）与温度t（℃）之间的函数表达式为__________.
解析：根据R与t的变化规律，可知R是t的一次函数，
得R=0.008t+2.
例4 对于一个一次函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质，甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x<2时，y随x的增大而减小；丁：当x<2时，y>0.已知甲、乙、丙、丁四位同学的叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的两个一次函数.
解析：该题画出图象容易得到答案，例如y=-x+2，y=- 1 2 或y=- 1 2 x+3等。
4.已知两图象的位置关系
例5（2005年哈尔滨市）已知两个一次函数y1=- b 2 x-4和y2= 1 a x+ 1 a 的图象重合，则一次函数y=ax+b的图象所经过的象限为（ ）
（A）第一、二、三象限 （B）第二、三、四象限
（C）第一、三、四象限 （D）第一、二、四象限
解析：因为两图象重合，所以
- b 2 = 1 a -4= 1 a ，
解得a=- 1 4 ，b=8
所以y=- 1 4 x+8经过第一、二、四象限.选（D）.
例6 （2003年上海市）如图1，一直线经过点A（0，4），B（2，0），将这条直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、D，使DB=DC.求直线CD的函数表达式.
解析：易得到直线AB的解析式
y=-2x+4
因为CD//AB，
所以设直线CD的解析式为
y=-2x+b
因为DB=DC，DO⊥BC，
所以OB=OC，
所以C点坐标为（-2，0），得b=-4，
所以直线CD解析式为
y=-2x-4
5.已知对称条件
例7 （2005年重庆市）直线 与x轴、y=- 4 3 x+8与x轴y分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处，则直线AM的解析式为__________________.
解析：如图2，先求得A（6，0），B（0，8），AB=10，又据对称性知：
AB'=AB=10，B'M=BM，B'O=4，
若设OM=x，可得B'M=BM=8-x.
在Rt△OB'M中，利用勾股定理，
OM2+OB'2=B'M2
即 x2+42=（8-x）2 ，
得x=3，
所以M（0，3）.
再利用待定系数法求出直线AM：
y=- 1 2 +3.
例8 （2003年盐城市）如图3，已知M（3，2），N（1，-1），点P在y轴上，且PM+PN最短，求点P的坐标.
解析：作出M点关于y轴的对称点M'，则M'坐标为（-3，2），连结M'N交y轴于P点，易知PM+PN最短.
设直线M'N的解析式为y=kx+b，
则 -1=k+b2=-3k+b
解得 k=- 3 4 B=- 1 4
所以直线M'N的解析式是y=- 3 4 x- 1 4
令x=0，则y=- 1 4 ，
所以P（0，- 1 4 ）.
6.已知x、y的取值范围
例9 （2003年济南市）如果一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是 ，相应函数值范围是 ，函数解析式为___________.
解析：需分k>0与k<0两种情况讨论.
当k>0时，y随x的增大而增大，当x=-2时，y=-11；当x=6时，y=9.
分别代入y=kx+b，易得k= 5 2 ，b=-6，
所以y= 5 2 x-6
类似的，k<0时，y随x的增大而减小，当x=-2时，y=9；当x=6时，y=-11.得出y=- 5 2 x+4.
综上，一次函数解析式为y= 5 2 x-6或 5 2 x+4
7.已知面积问题
例10 （2004年济南市）如图4，直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A、B两点.直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1两部分.求直线l的解析式.
解析：直线y=x+3与x轴、y轴交点坐标A（-3，0）、B（0，3），则S△AOB= 9 2 .
设C点纵坐标为yc.
若S△AOC：S△BOC=1：2，
则S△AOC：S△AOB=1：3，
所以yc=1.
将y=1代入y=x+3，得x=-2.
所以C（-2，1），
所以直线OC的解析式为y=- 1 2 x.
若S△AOC：S△BOC=2：1，
则S△AOC：S△AOB=2：3，
所以yc=2.
将y=2代入y=x+3，
得x=-1
所以C（-1，2），
所以直线OC的解析式为y=-2x.
综上，直线OC的解析式为
y=- 1 2 或y=-2x