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摘要：导数是高等数学中一个非常重要的工具，能否把握导数的思想直接影响后期导数的应用。本文将数学史融入到导数概念的教学中，设计具体的教学方案，使得学生能够理解其中所体现的数学思想，方便以后的应用。
关键词：导数 近似 取极限
【中图分类号】G633.6
基金项目：河北省高等学校人文社会科学研究自筹资金项目（SZ16111）
16、17世纪，天文学、光学的发展，航海的需要，矿山的开发，火药、枪炮的制作提出了一系列物理和数学问题。例如求曲线的切线和运动物体的瞬时速度，两者殊途同归，都导致了微分学的产生[1]。为什么需要研究曲线的切线呢？17世纪数学家遇到的三类问题。
一是光的反射问题。光的反射和折射在17世纪是一个十分盛行的研究课题[2]，洛必达在其《无穷小分析》中列专章加以讨论。早在公元1世纪，古希腊数学家海伦就已经证明了光的反射定律：光射向平面时，入射角等于反射角。海伦还将该定律推广到圆弧的情形[3]，此时，入射光与反射光与圆弧的切线所成角相等。那么，对于其他曲线，光又如何反射呢？这就需要确定曲线的切线。二是曲线运动的速度问题。对于直线运动，速度方向与位移方向相同或相反，但如何确定曲线运动的速度方向呢？这就需要确定曲线的切线。三是曲线的交角问题。曲线的交角是一个古老的难题。自古希腊以来，人们对圆弧和直线构成的角——牛头角和弓形角就有过很多争议。17世纪，数学家遇到的更一般的问题是如何求两条相交曲线所构成的角，这就需要确定曲线在交点处的切线。此外，尽管古希腊人的切线定义适用于圆锥曲线，但对于17世纪数学家所遇到的更复杂的曲线就不一定适用了。况且，古希腊数学家并没有解决他们所发现的圆锥曲线和螺线以外的曲线的切线问题。这就促使17世纪数学家去寻找求切线的一般方法。
同样，当时匀速直线运动的速度不难求出，但变速直线运动的瞬时速度就比较困难。虽然先人也得到了一些结果，但这些结果都是孤立的、不连贯的。直到17世纪，牛顿和莱布尼兹在许多数学家工作和科学积累的基础上发现了微分与积分互为逆运算，从而创立了微积分。
在讲授导数概念时，结合数学史，用具体的例子介绍当时求瞬时速度和曲线切线斜率的方法，引入导数的概念。
一、具体问题
1、变速直线运动的瞬时速度
一物体做变速直线运动，速度是连续变化的，位置函数为 ，求该物体在 时的瞬时速度 .
当时人们并没有像现在这样的导数工具，就无法套用现成的导数公式求出精确值。那么如何求该物体在 时的瞬时速度？没有现成的公式，那么能否退一步，先求出它的近似值？当时可以用的公式是平均速度的公式，是否可以用平均速度近似表示变速直线运动的瞬时速度呢？在距离 较远的时间间隔不能用平均速度近似表示，那么就找距离 很近的时间间隔。
具体来说，当时的人们是按照下面的步骤进行求解的[4]。
近似：找距离 很近的时间间隔 ，当 很小时，变速运动的速度来不及变化很多，那么在这个很小的时间间隔中，可以用平均速度近似表示变速直线运动的瞬时速度： 。
取极限：这个近似值毕竟不是我们要求的瞬时速度，通过进一步的分析可知： 越小近似程度就越高，那么就让 无限变小，那么平均速度就无限接近于瞬时速度，这正好就是极限的概念。即瞬时速度的精确值为：
。
这与我们用现在现成的公式算出来的一样， 。
2、平面曲线的切线斜率
学生们之前只学过圆的切线，并没有学过一般曲线的切线概念。首先举例说明，圆的切线的概念不能推廣到一般曲线的切线。那么该如何定义一般曲线的切线，这里用到了极限的概念。
定义：设有一曲线C，M是其上一点。在点M外另取C上一点N，作割线MN，当点N沿C向点M移动时，割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。极限位置即 。
设曲线 ，求该曲线在 处的切线斜率。
同样，当时人们并没有像现在这样的导数工具，无法套用现成的公式求出精确值。那么能否退一步，先求出它的近似值？当时可以用的是一条直线上两点确定斜率的公式，是否可以用割线的斜率近似表示切线斜率呢？若M和N距离较远则不能用割线的斜率近似表示，那么就让M和N距离很近。
具体来说，当时的人们是按照下面的步骤进行求解的[5]。
近似：找距离 很近的点 ，当 很小时，割线的斜率与切线的斜率相差很小，那么可以用割线的斜率近似表示切线的斜率：
。
取极限：这个近似值毕竟不是我们要求的切线的斜率，通过进一步的分析可知： 越小近似程度就越高，那么就让 无限变小，那么割线的斜率就无限接近于切线斜率，这正好就是极限的概念。即切线斜率的精确值为：
。
这与我们用现在现成的公式算出来的一样， 。
二、一般问题
1、一般变速直线运动的瞬时速度的求法
一物体做变速直线运动，速度是连续变化的，位置函数为 ，求该物体在 时的瞬时速度 .
同样，当时人们并没有像现在这样的导数工具，就无法套用现成的导数公式求出精确值。当时可以用的公式是平均速度的公式，那么就用平均速度近似表示变速直线运动的瞬时速度，当然在距离 较远的时间间隔不能用平均速度近似表示，那么就找距离 很近的时间间隔。
近似：找距离 很近的时间间隔 ，当 很小时，变速运动的速度来不及变化很多，那么在这个很小的时间间隔中，可以用平均速度近似表示变速直线运动的瞬时速度： 。
取极限：这个近似值毕竟不是我们要求的瞬时速度，通过进一步的分析可知： 越小近似程度就越高，那么就让 无限变小，那么平均速度就无限接近于瞬时速度，这正好就是极限的概念。即瞬时速度的精确值为： 。
2、一般的平面曲线的切线斜率的求法
设曲线 ，求该曲线在 处的切线斜率。
同样，当时人们并没有像现在这样的导数工具，无法套用现成的公式求出精确值。当时可以用的是一条直线上两点确定斜率的公式，那么就用割线的斜率近似表示切线斜率，若两点距离较远则不能用割线的斜率近似表示，那么就让两点距离很近。
近似：找距离 很近的点 ，当 很小时，割线的斜率与切线的斜率相差很小，那么可以用割线的斜率近似表示切线的斜率：
。
取极限：这个近似值毕竟不是我们要求的切线的斜率，通过进一步的分析可知： 越小近似程度就越高，那么就让 无限变小，那么割线的斜率就无限接近于切线斜率，这正好就是极限的概念。即切线斜率的精确值为：
。
三、導数的概念
很多问题都与上述两个问题存在着共同之处：解决问题的方法步骤相同，所求量的极限结构式相同。这样就逐渐产生了导数的一般概念：设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量 （点 仍在该邻域内）时，相应地函数 取得增量 ；如果 与 之比当 时的极限存在，则称函数 在点 处可导或在 处具有导数（或导数存在），并称这个极限为函数 在点 处的导数，记为 ，即：
也可记作： 。
为什么引入导数概念要用这两个例子，因为它们代表了两位微积分发明人的不同方向。瑞士数学家法蒂奥德迪耶在1699年向皇家学会递交一篇论文，其中肯定牛顿是微积分的第一发明者，而莱布尼兹可能是剽窃，这掀起一场轩然大波，包括两位当事人在内的许多数学家都卷入争论。欧洲大陆的人士坚持莱布尼兹是第一位，而英国人也固执地忠于他们的大师，因此导致英国数学与欧洲大陆分道扬镳达百余年。由于狭隘的民族偏见等原因，英国学者迟迟不肯接受大陆的成就，拘泥于牛顿的流数术，其进展相对地落后了。在其后的200年间，数学的成就中心是在欧洲大陆。
历史事实经过300多年的考证分析已然清晰。现在公认的观点是：牛顿和莱布尼兹总结了前人的工作，各自独立完成了这空前的伟业，在时间上，牛顿约早10年开始，而莱布尼兹则早3年公布。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼兹却是侧重于几何学来考虑的。
参考文献
[1][美]莫里斯·克莱因著，古今数学思想（第二册）[M]，上海科学技术出版社，2009，万伟勋，石生明，孙树本 等译P49.
[2]Boyer，C.B.The first textbooks in Calculus[J].Mathematics teacther 1946（39）：159-167.
[3]Heath，T.L.A History of Greek Mathematics[M].London Oxford University Press 1921.
[4]李文林，数学史概论（第二版）[M].高等教育出版社，2003，P160.
[5] [美]H.伊夫斯著，欧阳绛译.数学史概论[M].山西经济出版社，1993，P296.
作者简介：于金青（1976-4），女，河北省石家庄人，河北师范大学数学硕士研究生，石家庄邮电职业技术学院讲师，主要研究方向：近现代数学史
关键词：导数 近似 取极限
【中图分类号】G633.6
基金项目：河北省高等学校人文社会科学研究自筹资金项目（SZ16111）
16、17世纪，天文学、光学的发展，航海的需要，矿山的开发，火药、枪炮的制作提出了一系列物理和数学问题。例如求曲线的切线和运动物体的瞬时速度，两者殊途同归，都导致了微分学的产生[1]。为什么需要研究曲线的切线呢？17世纪数学家遇到的三类问题。
一是光的反射问题。光的反射和折射在17世纪是一个十分盛行的研究课题[2]，洛必达在其《无穷小分析》中列专章加以讨论。早在公元1世纪，古希腊数学家海伦就已经证明了光的反射定律：光射向平面时，入射角等于反射角。海伦还将该定律推广到圆弧的情形[3]，此时，入射光与反射光与圆弧的切线所成角相等。那么，对于其他曲线，光又如何反射呢？这就需要确定曲线的切线。二是曲线运动的速度问题。对于直线运动，速度方向与位移方向相同或相反，但如何确定曲线运动的速度方向呢？这就需要确定曲线的切线。三是曲线的交角问题。曲线的交角是一个古老的难题。自古希腊以来，人们对圆弧和直线构成的角——牛头角和弓形角就有过很多争议。17世纪，数学家遇到的更一般的问题是如何求两条相交曲线所构成的角，这就需要确定曲线在交点处的切线。此外，尽管古希腊人的切线定义适用于圆锥曲线，但对于17世纪数学家所遇到的更复杂的曲线就不一定适用了。况且，古希腊数学家并没有解决他们所发现的圆锥曲线和螺线以外的曲线的切线问题。这就促使17世纪数学家去寻找求切线的一般方法。
同样，当时匀速直线运动的速度不难求出，但变速直线运动的瞬时速度就比较困难。虽然先人也得到了一些结果，但这些结果都是孤立的、不连贯的。直到17世纪，牛顿和莱布尼兹在许多数学家工作和科学积累的基础上发现了微分与积分互为逆运算，从而创立了微积分。
在讲授导数概念时，结合数学史，用具体的例子介绍当时求瞬时速度和曲线切线斜率的方法，引入导数的概念。
一、具体问题
1、变速直线运动的瞬时速度
一物体做变速直线运动，速度是连续变化的，位置函数为 ，求该物体在 时的瞬时速度 .
当时人们并没有像现在这样的导数工具，就无法套用现成的导数公式求出精确值。那么如何求该物体在 时的瞬时速度？没有现成的公式，那么能否退一步，先求出它的近似值？当时可以用的公式是平均速度的公式，是否可以用平均速度近似表示变速直线运动的瞬时速度呢？在距离 较远的时间间隔不能用平均速度近似表示，那么就找距离 很近的时间间隔。
具体来说，当时的人们是按照下面的步骤进行求解的[4]。
近似：找距离 很近的时间间隔 ，当 很小时，变速运动的速度来不及变化很多，那么在这个很小的时间间隔中，可以用平均速度近似表示变速直线运动的瞬时速度： 。
取极限：这个近似值毕竟不是我们要求的瞬时速度，通过进一步的分析可知： 越小近似程度就越高，那么就让 无限变小，那么平均速度就无限接近于瞬时速度，这正好就是极限的概念。即瞬时速度的精确值为：
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这与我们用现在现成的公式算出来的一样， 。
2、平面曲线的切线斜率
学生们之前只学过圆的切线，并没有学过一般曲线的切线概念。首先举例说明，圆的切线的概念不能推廣到一般曲线的切线。那么该如何定义一般曲线的切线，这里用到了极限的概念。
定义：设有一曲线C，M是其上一点。在点M外另取C上一点N，作割线MN，当点N沿C向点M移动时，割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。极限位置即 。
设曲线 ，求该曲线在 处的切线斜率。
同样，当时人们并没有像现在这样的导数工具，无法套用现成的公式求出精确值。那么能否退一步，先求出它的近似值？当时可以用的是一条直线上两点确定斜率的公式，是否可以用割线的斜率近似表示切线斜率呢？若M和N距离较远则不能用割线的斜率近似表示，那么就让M和N距离很近。
具体来说，当时的人们是按照下面的步骤进行求解的[5]。
近似：找距离 很近的点 ，当 很小时，割线的斜率与切线的斜率相差很小，那么可以用割线的斜率近似表示切线的斜率：
。
取极限：这个近似值毕竟不是我们要求的切线的斜率，通过进一步的分析可知： 越小近似程度就越高，那么就让 无限变小，那么割线的斜率就无限接近于切线斜率，这正好就是极限的概念。即切线斜率的精确值为：
。
这与我们用现在现成的公式算出来的一样， 。
二、一般问题
1、一般变速直线运动的瞬时速度的求法
一物体做变速直线运动，速度是连续变化的，位置函数为 ，求该物体在 时的瞬时速度 .
同样，当时人们并没有像现在这样的导数工具，就无法套用现成的导数公式求出精确值。当时可以用的公式是平均速度的公式，那么就用平均速度近似表示变速直线运动的瞬时速度，当然在距离 较远的时间间隔不能用平均速度近似表示，那么就找距离 很近的时间间隔。
近似：找距离 很近的时间间隔 ，当 很小时，变速运动的速度来不及变化很多，那么在这个很小的时间间隔中，可以用平均速度近似表示变速直线运动的瞬时速度： 。
取极限：这个近似值毕竟不是我们要求的瞬时速度，通过进一步的分析可知： 越小近似程度就越高，那么就让 无限变小，那么平均速度就无限接近于瞬时速度，这正好就是极限的概念。即瞬时速度的精确值为： 。
2、一般的平面曲线的切线斜率的求法
设曲线 ，求该曲线在 处的切线斜率。
同样，当时人们并没有像现在这样的导数工具，无法套用现成的公式求出精确值。当时可以用的是一条直线上两点确定斜率的公式，那么就用割线的斜率近似表示切线斜率，若两点距离较远则不能用割线的斜率近似表示，那么就让两点距离很近。
近似：找距离 很近的点 ，当 很小时，割线的斜率与切线的斜率相差很小，那么可以用割线的斜率近似表示切线的斜率：
。
取极限：这个近似值毕竟不是我们要求的切线的斜率，通过进一步的分析可知： 越小近似程度就越高，那么就让 无限变小，那么割线的斜率就无限接近于切线斜率，这正好就是极限的概念。即切线斜率的精确值为：
。
三、導数的概念
很多问题都与上述两个问题存在着共同之处：解决问题的方法步骤相同，所求量的极限结构式相同。这样就逐渐产生了导数的一般概念：设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量 （点 仍在该邻域内）时，相应地函数 取得增量 ；如果 与 之比当 时的极限存在，则称函数 在点 处可导或在 处具有导数（或导数存在），并称这个极限为函数 在点 处的导数，记为 ，即：
也可记作： 。
为什么引入导数概念要用这两个例子，因为它们代表了两位微积分发明人的不同方向。瑞士数学家法蒂奥德迪耶在1699年向皇家学会递交一篇论文，其中肯定牛顿是微积分的第一发明者，而莱布尼兹可能是剽窃，这掀起一场轩然大波，包括两位当事人在内的许多数学家都卷入争论。欧洲大陆的人士坚持莱布尼兹是第一位，而英国人也固执地忠于他们的大师，因此导致英国数学与欧洲大陆分道扬镳达百余年。由于狭隘的民族偏见等原因，英国学者迟迟不肯接受大陆的成就，拘泥于牛顿的流数术，其进展相对地落后了。在其后的200年间，数学的成就中心是在欧洲大陆。
历史事实经过300多年的考证分析已然清晰。现在公认的观点是：牛顿和莱布尼兹总结了前人的工作，各自独立完成了这空前的伟业，在时间上，牛顿约早10年开始，而莱布尼兹则早3年公布。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼兹却是侧重于几何学来考虑的。
参考文献
[1][美]莫里斯·克莱因著，古今数学思想（第二册）[M]，上海科学技术出版社，2009，万伟勋，石生明，孙树本 等译P49.
[2]Boyer，C.B.The first textbooks in Calculus[J].Mathematics teacther 1946（39）：159-167.
[3]Heath，T.L.A History of Greek Mathematics[M].London Oxford University Press 1921.
[4]李文林，数学史概论（第二版）[M].高等教育出版社，2003，P160.
[5] [美]H.伊夫斯著，欧阳绛译.数学史概论[M].山西经济出版社，1993，P296.
作者简介：于金青（1976-4），女，河北省石家庄人，河北师范大学数学硕士研究生，石家庄邮电职业技术学院讲师，主要研究方向：近现代数学史