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摘要:傅里叶变换是“信号与系统”和“数字信息处理”等课程的重要教学内容,该变换类型较多,分析推导过程较复杂,学生在学习过程中不易理清思路。针对这种情况,本文介绍一种教学方法,将傅里叶变换的几种形式紧密联系在一起。通过这种方法,学生在学习傅里叶变换时可以很容易理解和掌握,为傅里叶变换的具体应用和后续课程的学习打下坚实的基础。
关键词:傅里叶变换;离散信号;连续信号;周期信号;频谱
作者简介:杨会成(1970-),男,安徽来安人,安徽工程大学电气工程学院,副教授,工学硕士,主要研究方向:信号与信息处理;王小雪(1982-),女,河南新乡人,安徽工程大学电气工程学院,实验师,主要研究方向:信号与信息处理。(安徽 芜湖 241000)
基金项目:本文系2009年安徽工程大学教学研究重点项目(项目编号:2009yjy02)、“信号与系统”校级精品课程建设项目的研究成果。
傅里叶变换的研究与应用至今已经有100多年的历史,傅里叶分析方法成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。而随着计算机和数字集成技术的快速发展,傅里叶分析中又出现了新的变化。所有的分析方法被广泛应用于通信与电子工程、航空航天、工业现场等诸多领域。[1]这使得傅里叶分析方法的学习在电气信息类专业学生的学习中尤为重要,安徽工程大学电气工程学院(以下简称“我院”)开设的牵涉到傅里叶分析理论教学的课程有“信号与系统”和“数字信号处理”,这两门课程本身理论性强,概念抽象,难度大,而傅里叶分析基本上贯穿始终,学生在学习过程中,普遍感到难度大,很难理清思路,经常出现不同的变换相互混淆,对不同情况到底采用何种傅里叶分析缺乏清晰的认识。同时,对于不同的傅里叶分析是如何转换和演变的也很难理清。因此,如何帮助学生更好地掌握傅里叶分析方法,对傅里叶分析的基本概念、基本原理、基本分析方法以及不同傅里叶变换间的相互转换关系有一个清晰的认识,进而能应用傅里叶分析方法解决实际问题就成了“信号与系统”和“数字信号处理”这两门课程需要解决的关键问题。在傅里叶分析理论中有这样一个结论:假若一个函数在一个域内(时间或频率)是周期的,则相应的在另一个域中的变换式必是取样的形式,即离散变量的函数;在一个域中函数的周期必是另一个域中两取样点间增量的倒数。[2-4]概括起来说就是“离散对应周期”或“抽样导致周期”,牢牢地抓住这一结论,会对傅里叶分析的学习起到事半功倍的效果。
郑君里主编的《信号与系统》教材(高等教育出版社出版)从周期信号的傅里叶级数分析入手,引入傅里叶分析。[1]对于周期信号的傅里叶级数分析在高等数学中已经有所介绍,学生一般不陌生。其学习重点在于建立信号频谱的概念,尤其是时间域和频率域的对应关系,这是学习傅里叶分析的关键。
一、连续非周期时间信号的傅里叶变换(FT)
连续非周期时间信号可从傅里叶级数推导过来,当周期信号的周期趋于无穷大时,周期信号就变成非周期信号,与此相对应的是指数形式的傅里叶级数的系数趋于无穷小,从物理意义上来说,不管周期多大,频谱的分布依然是存在的。因此,对于连续非周期的时间信号不再适用傅里叶级数来描述,从而很自然地引入频谱密度函数的概念,即傅里叶变换。[1]
从“离散对应周期”这一结论入手,由于时间信号为非周期时间信号,则其频谱函数不可能为离散的形式,只能是连续的形式;又由于时间信号为连续时间信号,则其频谱函数必定是非周期的,这样可以定性地画出傅里叶变换对的图形,如图1所示。
这种傅里叶变换简称为FT,变换对表达式为:
(1)
其中,为连续非周期时间信号,为的傅里叶变换。
二、连续周期时间信号的傅里叶变换(FS)
连续周期时间信号由于其不满足绝对可积条件,所以不能直接应用(1)式来求解傅里叶变换,但是在允许冲激函数存在并认为有意义的前提下,绝对可积条件可以不考虑,也就是说,周期信号的傅里叶变换仍然是存在的。[1]
应用“离散对应周期”,由于时间信号是周期的,则其傅里叶变换形式一定是离散的;另一方面,由于时间信号是连续的,则离散的频谱函数一定是非周期的形式。从而可以定性地画出连续周期信号的傅里叶变换形式,如图2所示。
这种傅里叶变换简称为FS,变换对表达式为:
(2)
式中,Ω=2π/Tp,为离散频谱相邻两谱线之间的角频率间隔,k为谱谐波序号。可见,时域连续函数造成频域非周期的频谱函数,而频域的离散频谱与时域的周期时间函数相对应。
三、离散非周期时间(序列)傅里叶变换(DTFT)
在郑君里的《信号与系统》教材中,离散非周期序列的傅里叶变换是由序列的Z变换推导而来的。[1]即:
从“离散对应周期”这个角度入手,离散非周期序列可以看成是对连续非周期信号的时域抽样得到的。由于时间信号是离散的,则其对应的频谱一定是周期的;同时,时间信号是非周期的,那么周期的频谱函数一定是连续的形式。因此,离散非周期序列的频谱形式是连续周期的,如图3所示。
这种傅里叶变换简称为DTFT,变换对表达式为:[4]
(3)
四、离散周期序列的傅里叶变换(DFS)
从前面分析可以知道,时间信号必然还存在另外一种信号——离散周期序列。
对离散周期序列同样应用“离散对应周期”可知,离散的时间序列其频谱函数必然是周期的;而时间函数的周期性也说明了其频谱函数一定是离散的。因此,周期离散序列的频谱函数也是周期的、离散的。如图4所示。
这种傅里叶变换简称为DFS,变换对表达式为:[3]
(4)
从以上讨论可发现:如果信号频域是离散的,其时域就表现为周期性的。相反,在时域上是离散的,则该信号在频域上必然表现为周期性的频率函数。前三种傅里叶变换至少在一个域(时域或频域)中函数是连续的,因而都不适合在计算机上运算。第四种时域及频域都是离散的情况,为进行数字计算和计算机处理打下理论基础。[3-4]
至此,从时域和频域的对应变换关系来看,傅里叶变换的叙述似乎完成了。但是对于DFS,由于时域和频域都是周期的,也就是说时域和频域的取值有无穷多个,计算机是不可能对无穷多个值进行处理的。所以DFS只是为计算机进行处理提供一个理论基础,对DFS还需进行进一步优化。
五、有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)
从(4)式可以看出,只要知道DFS周期序列一个周期的内容,其他的内容也都知道了。所以,这种无限长周期序列实际上只有有限个序列值有意义。可以把长度为N的有限长序列x(n)看成周期为N的周期序列的一个周期,这样利用离散傅里叶级数计算周期序列的一个周期,也就是计算了有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)。
变换对表达式为:
(5)
上式中,n,k的取值区间为0～(N-1),RN(k)和RN(n)是长度为N的矩形序列。x(n)和X(k)都是隐含周期的,周期为N。从上式中可以看出,DFT实际上就是DFS的取主值区间。[3-4]
六、快速傅里叶变换(FFT)
对于(5)式,假如当k=1时,
通常和都是复数,所以计算一个的值需要N次复数乘法运算和(N-1)次复数加法运算。那么,所有的就要N2次复数乘法运算,N(N-1)次复数加法运算。当N很大时,运算量将是惊人的,如N=1024,则要完成1048576次(一百多万次)运算,这样,难以做到实时处理。[2-4]
另外,的对称性和周期性:
对称性:
周期性:
利用的对称性和周期性,可以使直接计算DFT时某些项合并计算;同时由于计算量和序列的长度N2成正比,这样通过某种算法,将长点的序列转变成短点的序列,从而得到两种典型的快速傅里叶算法,即按时间抽取的FFT算法和按频率抽取的FFT算法。[4]
七、总结
通过上面的分析可以看出:抓住“离散对应周期”这个结论,第一种傅里叶变换对(FT)是最基础;第二种傅里叶变换对(FS)可以看成是FT的频域离散化;第三种傅里叶变换对(DTFT)可以看成是FT的时域离散化;第四种傅里叶变换对(DFS)可以看成是FS的时域离散化或看成是DTFT的频域离散化。而有限长离散傅里叶变换DFT是DFS的取主值区间,由于DFT的隐含周期性,其本质上仍属于DFS的范畴;快速傅里叶变换(FFT)是为了克服直接计算DFT运算量大这个缺点而采取的改进算法。
笔者将上述方法用于电子信息工程、 电子信息科学与技术、通信工程等多个专业约600人的“信号与系统”和“数字信号处理”课程的教学之中,取得了很好的效果,学生对傅里叶变换的演变过程有很清晰的理解。应用“离散对应周期”可以快速地建立起不同信号(序列)的傅里叶变换,从而为后续课程的学习打下良好的基础。
参考文献:
[1]郑君里,应启珩,杨为理.信号与系统(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2001.
[2]丁玉美,高西全.数字信号处理(第二版)[M].西安:西安电子科技大学出版社,2002.
[3]王世一.数字信号处理(修订版)[M].北京:北京理工大学出版社,2001.
[4]胡广书.数字信号处理[M].北京:清华大学出版社,2001.
[5]杨毅明.简化傅里叶变换[J].电气与电子教学学报,2005,27(2):
35-37.
(责任编辑:麻剑飞)
关键词:傅里叶变换;离散信号;连续信号;周期信号;频谱
作者简介:杨会成(1970-),男,安徽来安人,安徽工程大学电气工程学院,副教授,工学硕士,主要研究方向:信号与信息处理;王小雪(1982-),女,河南新乡人,安徽工程大学电气工程学院,实验师,主要研究方向:信号与信息处理。(安徽 芜湖 241000)
基金项目:本文系2009年安徽工程大学教学研究重点项目(项目编号:2009yjy02)、“信号与系统”校级精品课程建设项目的研究成果。
傅里叶变换的研究与应用至今已经有100多年的历史,傅里叶分析方法成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。而随着计算机和数字集成技术的快速发展,傅里叶分析中又出现了新的变化。所有的分析方法被广泛应用于通信与电子工程、航空航天、工业现场等诸多领域。[1]这使得傅里叶分析方法的学习在电气信息类专业学生的学习中尤为重要,安徽工程大学电气工程学院(以下简称“我院”)开设的牵涉到傅里叶分析理论教学的课程有“信号与系统”和“数字信号处理”,这两门课程本身理论性强,概念抽象,难度大,而傅里叶分析基本上贯穿始终,学生在学习过程中,普遍感到难度大,很难理清思路,经常出现不同的变换相互混淆,对不同情况到底采用何种傅里叶分析缺乏清晰的认识。同时,对于不同的傅里叶分析是如何转换和演变的也很难理清。因此,如何帮助学生更好地掌握傅里叶分析方法,对傅里叶分析的基本概念、基本原理、基本分析方法以及不同傅里叶变换间的相互转换关系有一个清晰的认识,进而能应用傅里叶分析方法解决实际问题就成了“信号与系统”和“数字信号处理”这两门课程需要解决的关键问题。在傅里叶分析理论中有这样一个结论:假若一个函数在一个域内(时间或频率)是周期的,则相应的在另一个域中的变换式必是取样的形式,即离散变量的函数;在一个域中函数的周期必是另一个域中两取样点间增量的倒数。[2-4]概括起来说就是“离散对应周期”或“抽样导致周期”,牢牢地抓住这一结论,会对傅里叶分析的学习起到事半功倍的效果。
郑君里主编的《信号与系统》教材(高等教育出版社出版)从周期信号的傅里叶级数分析入手,引入傅里叶分析。[1]对于周期信号的傅里叶级数分析在高等数学中已经有所介绍,学生一般不陌生。其学习重点在于建立信号频谱的概念,尤其是时间域和频率域的对应关系,这是学习傅里叶分析的关键。
一、连续非周期时间信号的傅里叶变换(FT)
连续非周期时间信号可从傅里叶级数推导过来,当周期信号的周期趋于无穷大时,周期信号就变成非周期信号,与此相对应的是指数形式的傅里叶级数的系数趋于无穷小,从物理意义上来说,不管周期多大,频谱的分布依然是存在的。因此,对于连续非周期的时间信号不再适用傅里叶级数来描述,从而很自然地引入频谱密度函数的概念,即傅里叶变换。[1]
从“离散对应周期”这一结论入手,由于时间信号为非周期时间信号,则其频谱函数不可能为离散的形式,只能是连续的形式;又由于时间信号为连续时间信号,则其频谱函数必定是非周期的,这样可以定性地画出傅里叶变换对的图形,如图1所示。
这种傅里叶变换简称为FT,变换对表达式为:
(1)
其中,为连续非周期时间信号,为的傅里叶变换。
二、连续周期时间信号的傅里叶变换(FS)
连续周期时间信号由于其不满足绝对可积条件,所以不能直接应用(1)式来求解傅里叶变换,但是在允许冲激函数存在并认为有意义的前提下,绝对可积条件可以不考虑,也就是说,周期信号的傅里叶变换仍然是存在的。[1]
应用“离散对应周期”,由于时间信号是周期的,则其傅里叶变换形式一定是离散的;另一方面,由于时间信号是连续的,则离散的频谱函数一定是非周期的形式。从而可以定性地画出连续周期信号的傅里叶变换形式,如图2所示。
这种傅里叶变换简称为FS,变换对表达式为:
(2)
式中,Ω=2π/Tp,为离散频谱相邻两谱线之间的角频率间隔,k为谱谐波序号。可见,时域连续函数造成频域非周期的频谱函数,而频域的离散频谱与时域的周期时间函数相对应。
三、离散非周期时间(序列)傅里叶变换(DTFT)
在郑君里的《信号与系统》教材中,离散非周期序列的傅里叶变换是由序列的Z变换推导而来的。[1]即:
从“离散对应周期”这个角度入手,离散非周期序列可以看成是对连续非周期信号的时域抽样得到的。由于时间信号是离散的,则其对应的频谱一定是周期的;同时,时间信号是非周期的,那么周期的频谱函数一定是连续的形式。因此,离散非周期序列的频谱形式是连续周期的,如图3所示。
这种傅里叶变换简称为DTFT,变换对表达式为:[4]
(3)
四、离散周期序列的傅里叶变换(DFS)
从前面分析可以知道,时间信号必然还存在另外一种信号——离散周期序列。
对离散周期序列同样应用“离散对应周期”可知,离散的时间序列其频谱函数必然是周期的;而时间函数的周期性也说明了其频谱函数一定是离散的。因此,周期离散序列的频谱函数也是周期的、离散的。如图4所示。
这种傅里叶变换简称为DFS,变换对表达式为:[3]
(4)
从以上讨论可发现:如果信号频域是离散的,其时域就表现为周期性的。相反,在时域上是离散的,则该信号在频域上必然表现为周期性的频率函数。前三种傅里叶变换至少在一个域(时域或频域)中函数是连续的,因而都不适合在计算机上运算。第四种时域及频域都是离散的情况,为进行数字计算和计算机处理打下理论基础。[3-4]
至此,从时域和频域的对应变换关系来看,傅里叶变换的叙述似乎完成了。但是对于DFS,由于时域和频域都是周期的,也就是说时域和频域的取值有无穷多个,计算机是不可能对无穷多个值进行处理的。所以DFS只是为计算机进行处理提供一个理论基础,对DFS还需进行进一步优化。
五、有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)
从(4)式可以看出,只要知道DFS周期序列一个周期的内容,其他的内容也都知道了。所以,这种无限长周期序列实际上只有有限个序列值有意义。可以把长度为N的有限长序列x(n)看成周期为N的周期序列的一个周期,这样利用离散傅里叶级数计算周期序列的一个周期,也就是计算了有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)。
变换对表达式为:
(5)
上式中,n,k的取值区间为0～(N-1),RN(k)和RN(n)是长度为N的矩形序列。x(n)和X(k)都是隐含周期的,周期为N。从上式中可以看出,DFT实际上就是DFS的取主值区间。[3-4]
六、快速傅里叶变换(FFT)
对于(5)式,假如当k=1时,
通常和都是复数,所以计算一个的值需要N次复数乘法运算和(N-1)次复数加法运算。那么,所有的就要N2次复数乘法运算,N(N-1)次复数加法运算。当N很大时,运算量将是惊人的,如N=1024,则要完成1048576次(一百多万次)运算,这样,难以做到实时处理。[2-4]
另外,的对称性和周期性:
对称性:
周期性:
利用的对称性和周期性,可以使直接计算DFT时某些项合并计算;同时由于计算量和序列的长度N2成正比,这样通过某种算法,将长点的序列转变成短点的序列,从而得到两种典型的快速傅里叶算法,即按时间抽取的FFT算法和按频率抽取的FFT算法。[4]
七、总结
通过上面的分析可以看出:抓住“离散对应周期”这个结论,第一种傅里叶变换对(FT)是最基础;第二种傅里叶变换对(FS)可以看成是FT的频域离散化;第三种傅里叶变换对(DTFT)可以看成是FT的时域离散化;第四种傅里叶变换对(DFS)可以看成是FS的时域离散化或看成是DTFT的频域离散化。而有限长离散傅里叶变换DFT是DFS的取主值区间,由于DFT的隐含周期性,其本质上仍属于DFS的范畴;快速傅里叶变换(FFT)是为了克服直接计算DFT运算量大这个缺点而采取的改进算法。
笔者将上述方法用于电子信息工程、 电子信息科学与技术、通信工程等多个专业约600人的“信号与系统”和“数字信号处理”课程的教学之中,取得了很好的效果,学生对傅里叶变换的演变过程有很清晰的理解。应用“离散对应周期”可以快速地建立起不同信号(序列)的傅里叶变换,从而为后续课程的学习打下良好的基础。
参考文献:
[1]郑君里,应启珩,杨为理.信号与系统(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2001.
[2]丁玉美,高西全.数字信号处理(第二版)[M].西安:西安电子科技大学出版社,2002.
[3]王世一.数字信号处理(修订版)[M].北京:北京理工大学出版社,2001.
[4]胡广书.数字信号处理[M].北京:清华大学出版社,2001.
[5]杨毅明.简化傅里叶变换[J].电气与电子教学学报,2005,27(2):
35-37.
(责任编辑:麻剑飞)