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摘 要：基于“均值-方差”分析的Markowitz投资组合理论是当代金融经济学的基础。60多年来该理论得到了广泛的研究，但在实践中Markowitz投资组合理论仍有缺陷。本文以商品期货为例研究了Markowitz投资组合理论的缺陷，并提出了一种对Markowitz投资组合理论改进的方法。结果显示，改进后的Markowitz投资组合的表现好于改进前的版本。
关键词：金融经济学；Markowitz投资组合理论；商品期货
引言
1952年，Markowitz首次提出“均值-方差”投资组合理论，从而奠定了投资组合分析与优化研究的基础。“均值-方差”理论的提出具有划时代的意义，它是区别于传统投资理论与现代投资理论的标志。然而，随着实证分析的展开和理论研究的深入，传统“均值-方差”分析的弊端逐渐暴露出来，国内外也对该理论进行了改进。例如，Litterman等人首次使用贝叶斯理论对投资者的市场观点进行量化分析；Meucci则强调使用市场中潜在的风险因子，而不是直接使用股价或者收益率进行分析。
本文以国内商品期货指数作为研究对象，研究Markowitz投资组合理论的不足，并进行针对性修正，得到了改进后的Markowitz投资组合。
一、Markowitz投资组合理论
Markowitz投资组合理论研究的是二期市场，即假设只有当前和未来两个时期。设市场上有N只风险证券，第i种证券的收益率记为Ri，设某一投资组合p在第i种证券上的权重为wi，则显然有∑Ni=1wi=1，
另一方面，若设mi表示第i种证券的收益率Ri的期望，cov（Ri，Rj）表示Ri和Rj之间的协方差，则投资组合的期望收益率为
E=∑Ni=1wimi，
投资组合的方差为：V=∑Ni=1∑Nj=1wiwjcov（Ri，Rj）
Markowitz投资组合理论以方差代表风险，对于给定的组合期望收益率m，我们可以通过求解下面的优化问题求出最优的投资权重wi，
minwiV=∑Ni=1∑Nj=1wiwjcov（Ri，Rj）s.t.∑Ni=1wimi=m∑Ni=1wi=1.
换言之，Markowitz投资组合理论实际上给出了当组合预期收益率已知时，我们要怎么分配投资在不同资产上的资金比例，才能使投资组合的方差最小。
Markowitz投资组合理论使用数学模型对投资问题进行建模，采用数量化的方法找出了一种投资不同资产的方式。特别的是，Markowitz的模型存在显示解，这为计算最优的投资比例带来了极大的方便。
二、Markowitz投资组合理论在期货资产配置上的表现
本文选用我国商品期货市场的历史数据进行模型测试，且主要考虑在商品大类指数间配置资金，所用数据为Wind大类商品指数。除农副产品指数上市时间较短而剔除外，所剩的9种大类指数分別涉及贵金属、有色、煤焦钢矿、非金属建材、能源、化工、谷物、油料、软商品。数据时段为20090601-20180403。本文所有测试忽略交易成本，保证金比例为100%。
本文测试方法如下：首先我们的交易策略在每个月末进行调仓。在每月最后一个交易日估计过去BM个月的日收益率均值、协方差矩阵，设定好期望收益率后，代入Markowitz模型中计算得出最优的投资组合，并以此置入相应资产，持有一个月后平仓。
图1展示了不同BM参数下Markowitz投资组合模型的累计收益曲线，m = 0.001。从图中可以看出，经典的Markowitz投资组合模型在我国商品期货板块指数配置上几乎是失效的。无论在什么样的BM参数下，模型的累计收益都呈现低收益高风险的态势，甚至有的组合在9年时间里出现了负的收益。此外，不同BM参数下，模型的收益也有较大差别，即模型对各个资产的收益率的期望和协方差的估计具有极高的敏感性。因此，对经典的Markowitz模型进行修正是必须的也是必要的。
三、Markowitz投资组合理论的改进
在金融市场中，等权重投资通常是一种简单有效方便易行的资产选择方法。其不需要过多的依赖于数学模型，且效果往往并不差。我们对经典的Markowitz模型的改进从下面两个方面展开。第一，传统的Markowitz投资组合模型没有考虑到保证金，我们对此作了修正，即把约束
并要求每个投资权重的绝对值在-1到1之间。第二，我们用过去BM个月的收益率作为投资方向，即当某一资产上个月收益为正时，我们在这个月做多该资产，反之做空该资产，资金的分配比例采用等权的方法，由此构造出等权组合。我们要求，组合的预期收益必须高于等权的预期收益，从而得到新的约束：
模型测试方法如下：首先我们的交易策略在每个月末进行调仓。在每月最后一个交易日估计过去BM个月的日收益率均值、协方差矩阵，计算出等权投资权重，代入改进的Markowitz模型中计算得出最优的投资组合，并以此置入相应资产，持有一个月后平仓。
图 2展示了不同BM参数下改进的Markowitz投资组合模型的累计收益曲线。对比图 2和图 1，我们可以明显看出改进的模型好于经典的模型。改进的模型既提升了收益，又降低了风险。可见我们对经典模型的改进是较为有效的。
四、结束语
本文以国内商品期货指数资产配置为例，分析了Markowitz投资组合理论的不足，并针对性的修正了Markowitz投资组合理论的约束条件，得到了改进后的Markowitz投资组合。结果显示，改进后的Markowitz投资组合在国内期货市场上的配置效果要优于经典Markowitz投资组合模型的配置效果，但总体上仍具有一定的缺陷，需要进一步研究改进。
参考文献：
[1 ]Harry M，Harry M.PORTFOLIO SELECTION [J ].Journal of Finance，1952，07（01）：77-91.
[2 ]Black F，Litterman R.“Asset allocation： Combining investors views with market equilibrium.” [J ].Journal of Fixed Income，1991，01（02）：7–18.
[3 ] Meucci A.“Enhancing the black-litterman and related approaches： Views and stress-test on risk factors” [J ].Journal of Asset Management，2009，10：89–96.
[4 ]史树中.《金融经济学十讲》 [M ].上海：世纪出版集团，2013.
作者简介：王昶，绵阳中学实验学校。
关键词：金融经济学；Markowitz投资组合理论；商品期货
引言
1952年，Markowitz首次提出“均值-方差”投资组合理论，从而奠定了投资组合分析与优化研究的基础。“均值-方差”理论的提出具有划时代的意义，它是区别于传统投资理论与现代投资理论的标志。然而，随着实证分析的展开和理论研究的深入，传统“均值-方差”分析的弊端逐渐暴露出来，国内外也对该理论进行了改进。例如，Litterman等人首次使用贝叶斯理论对投资者的市场观点进行量化分析；Meucci则强调使用市场中潜在的风险因子，而不是直接使用股价或者收益率进行分析。
本文以国内商品期货指数作为研究对象，研究Markowitz投资组合理论的不足，并进行针对性修正，得到了改进后的Markowitz投资组合。
一、Markowitz投资组合理论
Markowitz投资组合理论研究的是二期市场，即假设只有当前和未来两个时期。设市场上有N只风险证券，第i种证券的收益率记为Ri，设某一投资组合p在第i种证券上的权重为wi，则显然有∑Ni=1wi=1，
另一方面，若设mi表示第i种证券的收益率Ri的期望，cov（Ri，Rj）表示Ri和Rj之间的协方差，则投资组合的期望收益率为
E=∑Ni=1wimi，
投资组合的方差为：V=∑Ni=1∑Nj=1wiwjcov（Ri，Rj）
Markowitz投资组合理论以方差代表风险，对于给定的组合期望收益率m，我们可以通过求解下面的优化问题求出最优的投资权重wi，
minwiV=∑Ni=1∑Nj=1wiwjcov（Ri，Rj）s.t.∑Ni=1wimi=m∑Ni=1wi=1.
换言之，Markowitz投资组合理论实际上给出了当组合预期收益率已知时，我们要怎么分配投资在不同资产上的资金比例，才能使投资组合的方差最小。
Markowitz投资组合理论使用数学模型对投资问题进行建模，采用数量化的方法找出了一种投资不同资产的方式。特别的是，Markowitz的模型存在显示解，这为计算最优的投资比例带来了极大的方便。
二、Markowitz投资组合理论在期货资产配置上的表现
本文选用我国商品期货市场的历史数据进行模型测试，且主要考虑在商品大类指数间配置资金，所用数据为Wind大类商品指数。除农副产品指数上市时间较短而剔除外，所剩的9种大类指数分別涉及贵金属、有色、煤焦钢矿、非金属建材、能源、化工、谷物、油料、软商品。数据时段为20090601-20180403。本文所有测试忽略交易成本，保证金比例为100%。
本文测试方法如下：首先我们的交易策略在每个月末进行调仓。在每月最后一个交易日估计过去BM个月的日收益率均值、协方差矩阵，设定好期望收益率后，代入Markowitz模型中计算得出最优的投资组合，并以此置入相应资产，持有一个月后平仓。
图1展示了不同BM参数下Markowitz投资组合模型的累计收益曲线，m = 0.001。从图中可以看出，经典的Markowitz投资组合模型在我国商品期货板块指数配置上几乎是失效的。无论在什么样的BM参数下，模型的累计收益都呈现低收益高风险的态势，甚至有的组合在9年时间里出现了负的收益。此外，不同BM参数下，模型的收益也有较大差别，即模型对各个资产的收益率的期望和协方差的估计具有极高的敏感性。因此，对经典的Markowitz模型进行修正是必须的也是必要的。
三、Markowitz投资组合理论的改进
在金融市场中，等权重投资通常是一种简单有效方便易行的资产选择方法。其不需要过多的依赖于数学模型，且效果往往并不差。我们对经典的Markowitz模型的改进从下面两个方面展开。第一，传统的Markowitz投资组合模型没有考虑到保证金，我们对此作了修正，即把约束
并要求每个投资权重的绝对值在-1到1之间。第二，我们用过去BM个月的收益率作为投资方向，即当某一资产上个月收益为正时，我们在这个月做多该资产，反之做空该资产，资金的分配比例采用等权的方法，由此构造出等权组合。我们要求，组合的预期收益必须高于等权的预期收益，从而得到新的约束：
模型测试方法如下：首先我们的交易策略在每个月末进行调仓。在每月最后一个交易日估计过去BM个月的日收益率均值、协方差矩阵，计算出等权投资权重，代入改进的Markowitz模型中计算得出最优的投资组合，并以此置入相应资产，持有一个月后平仓。
图 2展示了不同BM参数下改进的Markowitz投资组合模型的累计收益曲线。对比图 2和图 1，我们可以明显看出改进的模型好于经典的模型。改进的模型既提升了收益，又降低了风险。可见我们对经典模型的改进是较为有效的。
四、结束语
本文以国内商品期货指数资产配置为例，分析了Markowitz投资组合理论的不足，并针对性的修正了Markowitz投资组合理论的约束条件，得到了改进后的Markowitz投资组合。结果显示，改进后的Markowitz投资组合在国内期货市场上的配置效果要优于经典Markowitz投资组合模型的配置效果，但总体上仍具有一定的缺陷，需要进一步研究改进。
参考文献：
[1 ]Harry M，Harry M.PORTFOLIO SELECTION [J ].Journal of Finance，1952，07（01）：77-91.
[2 ]Black F，Litterman R.“Asset allocation： Combining investors views with market equilibrium.” [J ].Journal of Fixed Income，1991，01（02）：7–18.
[3 ] Meucci A.“Enhancing the black-litterman and related approaches： Views and stress-test on risk factors” [J ].Journal of Asset Management，2009，10：89–96.
[4 ]史树中.《金融经济学十讲》 [M ].上海：世纪出版集团，2013.
作者简介：王昶，绵阳中学实验学校。