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功能关系是高中物理中最基本、最重要的物理规律之一。功能关系常和力学、电学、磁学综合起来命题，知识跨度较大，综合性较强，可以很好地考查考生的建模能力、理解能力，以及分析综合能力。同学们在学习过程中只有理顺各种常见的功能关系，准确理解，才能在解题时收到事半功倍的效果。因为各种功能关系左右两侧分别表示功和能量变化两个对应的物理量，而且各种功能关系互不影響，所以同学们可以在熟练掌握各种功能关系的基础上，分别从功和能量变化两个角度思考，选择最佳解题思路，快速解决相关问题。
一、几种常见的功能关系
功是能量转化的量度，做功的过程就是能量转化的过程。常见的功能关系如表1。
二、典型例题分析
1.力学中的功能关系。
例1 ，如图1所示，一轻质弹簧原长为L，一端固定在光滑细杆的O点，另一端连接一质量为m的小球，小球和弹簧穿在细杆上，细杆上有A、B
两点，xOA =L，xOB=1/L.当细杆与水平面间的夹角θ=30度时，将小球由A点无初速度地释放，小球到达B点时速度为零。现将细杆绕O点转到竖直位置，再将小球由A点无初速度地释放，重力加速度为g，则小球从A点运动到B点的过程中.下列说法正确的是（
）。
A.小球的重力势能减少1/4 mgL
B.弹簧的弹性势能增加3/4mgL
C.小球的动能增加3/4 mgL
D.小球的机械能减少3/8mgL
解析：重力势能的减少是由于重力做功造成的，故小球由A点运动到B点重力势能的减少量为mg （L -1/4L）=3/4mgL，选项A错误。当细杆与水平面间的夹角θ=30度时，
根据能量守恒定律得mg .3/ 4L . sinθ=E弹，因此小球运动到B点时弹簧的弹性势能为3/8 mgL。当细杆转到竖直位置时A.B两点的位置不变，故两种情况下弹簧的弹性势能一样大，均为3/8mgL，选项B错误。在小球从A点运动到B点的过程中，由能量守恒
定律得mg.3/4L=3/8mgL Ek，解得Ek=詈mgL，选项c错误。根据能量守恒定律可知，小球机械能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量，为3/8mgL，选项D正确。
答案：D
点评：本题涉及的功能关系有重力做功与重力势能的变化、弹簧弹力做功与弹性势能的变化、合外力做功与动能的变化、除重力外的其他力做功与机械能的变化。其中对选项D的分析是从能量观点来解决的，也可以从做功角度解决，即可以思考机械能的变化是由除重力之外的力做功（重力是系统内力，弹簧弹力是系统外其他力）造成的，因此小球机械能的减少量等于弹簧弹力对小球做的功，即等于弹簧弹性势能的增加量。
2.静电场中的功能关系。
例2 如图2所示，在绝缘的斜面上方存在着水平向右的匀强电场，一带电金属块沿斜面滑下，已知金属块在沿斜面滑下一段距离的过程中，动能增加了12 J，克服摩擦力做功8J，重力做功24 J，则以下判断正确的是（
）。
A.金属块的机械能增加32 J
B.金属块的电势能增加4J
C.金属块带正电荷
D.金属块克服静电力做功8J
解析：在金属块沿斜面滑下一段距离的过程中，重力做功24 J，重力势能减少24 J，动能增加12 J，所以金属块的机械能减少12 J，选项A错误。在金属块沿斜面滑下一段距离的过程中，动能增加了12 J，克服摩擦力做功8J，重力做功24 J，根据动能定理得W总=W重 W电 W摩=△Ek，解得W电=-4 J，即金属块克服静电力做功4J，金属块的电势能增加4J，选项B正确，D错误。因为金属块下滑，静电力做负功，所以静电力应该水平向右，即金属块带正电荷，选项C正确。
答案：BC
点评：本题涉及的功能关系有重力做功与重力势能的变化、合外力做功与动能的变化、除系统内重力和弹力外的其他力做功与机械能的变化、静电力做功与电势能的变化。其中对选项A的分析是从能量角度来解决的，也可以从做功角度求出其他力对金属块做的功，即先根据W总一W重 W电 W摩一△Ek，解得W电=- 4J，再根据摩擦力做功-8 J，得到除重力之外的力对金属块做功为-4 J-8 J= 12 J，即金属块的机械能减少了12 J。
3.电磁感应中的功能关系。
例3 如图3所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，金属棒与两导轨始终保持垂直，并接触良好且无摩擦，金属棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在水平匀强磁场中。金属棒在竖直向上的恒力F作用下匀速上升的一段时间内.下列说法中正确的是（
）。
A.通过电阻R的电流方向向左
B.金属棒受到的安培力方向向上
C.金属棒机械能的增加量等于恒力F做的功
D.金属棒克服安培力做的功等于电路中产生的热量
解析：金属棒向上运动时，穿过回路的磁通量减小，结合磁场方向，由楞次定律判断知，通过电阻R的电流方向向右，选项A错误。通过金属棒的电流方向向左，由左手定则判断知，金属棒受到的安培力方向向下，选项B错误。根据功能关系可知，恒力F做的功等于金属棒机械能的增加量与电路中产生的热量之和，选项C错误。金属棒在竖直向上的恒力F作用下匀速上升，安培力做负功，即克服安培力做功，根据功能关系可知，金属棒克服安培力做的功等于电路中产生的热量，选项D正确。
答案：D
点评：本题涉及的功能关系有除重力外的其他力做功与机械能的变化、安培力做功与电能的变化。其中对选项C的分析，也可以从做功角度解决，即金属棒机械能的增加量是由金属棒受到的除重力之外的其他力做功造成的，故金属棒机械能的增加量等于恒力F和安培力做功的代数和，从而排除C。 方法与总结
功能关系的具体形式虽然比较繁多，但是我们只要真正理解了功是能量转化的量度这一基本思想，即明确哪个力做的功对应哪个形式的能量的转化，就可以輕松理顺各种形式的功能关系。在实际应用时，还要明白功能关系可以从两条思路（分别从做功和能量转化角度）着手解决同一个问题。只要理顺各种功能关系，明确各种功能关系互不干涉，注意研究对象的选定，避免受力分析的失误，合理选择研究的过程，灵活选择功和能两种观点，此类问题便可迎刃而解。
跟踪训练
1.如图4所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与一根轻质弹性橡皮绳相连，橡皮绳的另一端固定在地面上的A点，橡皮绳竖直且处于原长h。让圆环沿杆从静止开始下滑，滑到杆的底端时速度为零。在圆环下滑的整个过程中，橡皮绳始终处于弹性限度内。下列说法中正确的是（
）。
A.圆环的机械能守恒
B.圆环的机械能先增大后减小
C.圆环滑到杆的底端时机械能减少了mgh
D.橡皮绳再次恰好伸直时圆环的动能最大
2.如图5所示，空间有竖直向下的匀强电场，完全相同的两根绝缘轻质弹簧下端固定在水平地面上，在其正上方质量均为m的a、b两物块均从距弹簧上端高^处自由下落。已知物块a的电荷量为 q，物块b的电荷量为 -q，设地面处的重力势能为零，不计空气阻力，物块的重力大于静电力。从物块被释放到弹簧被压缩到最短的过程中，下列说法正确的是（
）。
A.两物块机械能的变化量相同
B.若两物块释放时的高度均增加相同的值，则两物块速度最大时所具有的重力势能均不变
C.两物块速度最大时，物块b的重力势能大于物块a的重力势能
D.两物块运动到最低点时，物块b的重力势能小于物块a的重力势能
3.如图6所示，两平行金属导轨与水平面间的夹角θ=37°，导轨电阻不计，导轨间的距离d=20 cm，两导轨下端与阻值R=0.5 Ω的定值电阻相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面向上，磁感应强度B=0.5 T，一质量m=0.2 kg，长l= 20 cm的导体棒，从ab位置以平行斜面、大小vo=10 m/s的初速度向上运动，最远到达的位置与ab位置间的距离s=2 m。已知导体棒的电阻也为R=0.5 Ω，与导轨之间的动摩擦因数μ=0. 25，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则在导体棒上滑的过程中（
）。
A.导体棒受到的最大安培力为2N
B.导体棒克服摩擦力、安培力、重力做的总功为8J
C.系统增加的内能为7.6 J
D.通过电阻R的电荷量为0.2 C
参考答案：
1.C2.BC 3.CD
（责任编辑 张巧）
一、几种常见的功能关系
功是能量转化的量度，做功的过程就是能量转化的过程。常见的功能关系如表1。
二、典型例题分析
1.力学中的功能关系。
例1 ，如图1所示，一轻质弹簧原长为L，一端固定在光滑细杆的O点，另一端连接一质量为m的小球，小球和弹簧穿在细杆上，细杆上有A、B
两点，xOA =L，xOB=1/L.当细杆与水平面间的夹角θ=30度时，将小球由A点无初速度地释放，小球到达B点时速度为零。现将细杆绕O点转到竖直位置，再将小球由A点无初速度地释放，重力加速度为g，则小球从A点运动到B点的过程中.下列说法正确的是（
）。
A.小球的重力势能减少1/4 mgL
B.弹簧的弹性势能增加3/4mgL
C.小球的动能增加3/4 mgL
D.小球的机械能减少3/8mgL
解析：重力势能的减少是由于重力做功造成的，故小球由A点运动到B点重力势能的减少量为mg （L -1/4L）=3/4mgL，选项A错误。当细杆与水平面间的夹角θ=30度时，
根据能量守恒定律得mg .3/ 4L . sinθ=E弹，因此小球运动到B点时弹簧的弹性势能为3/8 mgL。当细杆转到竖直位置时A.B两点的位置不变，故两种情况下弹簧的弹性势能一样大，均为3/8mgL，选项B错误。在小球从A点运动到B点的过程中，由能量守恒
定律得mg.3/4L=3/8mgL Ek，解得Ek=詈mgL，选项c错误。根据能量守恒定律可知，小球机械能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量，为3/8mgL，选项D正确。
答案：D
点评：本题涉及的功能关系有重力做功与重力势能的变化、弹簧弹力做功与弹性势能的变化、合外力做功与动能的变化、除重力外的其他力做功与机械能的变化。其中对选项D的分析是从能量观点来解决的，也可以从做功角度解决，即可以思考机械能的变化是由除重力之外的力做功（重力是系统内力，弹簧弹力是系统外其他力）造成的，因此小球机械能的减少量等于弹簧弹力对小球做的功，即等于弹簧弹性势能的增加量。
2.静电场中的功能关系。
例2 如图2所示，在绝缘的斜面上方存在着水平向右的匀强电场，一带电金属块沿斜面滑下，已知金属块在沿斜面滑下一段距离的过程中，动能增加了12 J，克服摩擦力做功8J，重力做功24 J，则以下判断正确的是（
）。
A.金属块的机械能增加32 J
B.金属块的电势能增加4J
C.金属块带正电荷
D.金属块克服静电力做功8J
解析：在金属块沿斜面滑下一段距离的过程中，重力做功24 J，重力势能减少24 J，动能增加12 J，所以金属块的机械能减少12 J，选项A错误。在金属块沿斜面滑下一段距离的过程中，动能增加了12 J，克服摩擦力做功8J，重力做功24 J，根据动能定理得W总=W重 W电 W摩=△Ek，解得W电=-4 J，即金属块克服静电力做功4J，金属块的电势能增加4J，选项B正确，D错误。因为金属块下滑，静电力做负功，所以静电力应该水平向右，即金属块带正电荷，选项C正确。
答案：BC
点评：本题涉及的功能关系有重力做功与重力势能的变化、合外力做功与动能的变化、除系统内重力和弹力外的其他力做功与机械能的变化、静电力做功与电势能的变化。其中对选项A的分析是从能量角度来解决的，也可以从做功角度求出其他力对金属块做的功，即先根据W总一W重 W电 W摩一△Ek，解得W电=- 4J，再根据摩擦力做功-8 J，得到除重力之外的力对金属块做功为-4 J-8 J= 12 J，即金属块的机械能减少了12 J。
3.电磁感应中的功能关系。
例3 如图3所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，金属棒与两导轨始终保持垂直，并接触良好且无摩擦，金属棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在水平匀强磁场中。金属棒在竖直向上的恒力F作用下匀速上升的一段时间内.下列说法中正确的是（
）。
A.通过电阻R的电流方向向左
B.金属棒受到的安培力方向向上
C.金属棒机械能的增加量等于恒力F做的功
D.金属棒克服安培力做的功等于电路中产生的热量
解析：金属棒向上运动时，穿过回路的磁通量减小，结合磁场方向，由楞次定律判断知，通过电阻R的电流方向向右，选项A错误。通过金属棒的电流方向向左，由左手定则判断知，金属棒受到的安培力方向向下，选项B错误。根据功能关系可知，恒力F做的功等于金属棒机械能的增加量与电路中产生的热量之和，选项C错误。金属棒在竖直向上的恒力F作用下匀速上升，安培力做负功，即克服安培力做功，根据功能关系可知，金属棒克服安培力做的功等于电路中产生的热量，选项D正确。
答案：D
点评：本题涉及的功能关系有除重力外的其他力做功与机械能的变化、安培力做功与电能的变化。其中对选项C的分析，也可以从做功角度解决，即金属棒机械能的增加量是由金属棒受到的除重力之外的其他力做功造成的，故金属棒机械能的增加量等于恒力F和安培力做功的代数和，从而排除C。 方法与总结
功能关系的具体形式虽然比较繁多，但是我们只要真正理解了功是能量转化的量度这一基本思想，即明确哪个力做的功对应哪个形式的能量的转化，就可以輕松理顺各种形式的功能关系。在实际应用时，还要明白功能关系可以从两条思路（分别从做功和能量转化角度）着手解决同一个问题。只要理顺各种功能关系，明确各种功能关系互不干涉，注意研究对象的选定，避免受力分析的失误，合理选择研究的过程，灵活选择功和能两种观点，此类问题便可迎刃而解。
跟踪训练
1.如图4所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与一根轻质弹性橡皮绳相连，橡皮绳的另一端固定在地面上的A点，橡皮绳竖直且处于原长h。让圆环沿杆从静止开始下滑，滑到杆的底端时速度为零。在圆环下滑的整个过程中，橡皮绳始终处于弹性限度内。下列说法中正确的是（
）。
A.圆环的机械能守恒
B.圆环的机械能先增大后减小
C.圆环滑到杆的底端时机械能减少了mgh
D.橡皮绳再次恰好伸直时圆环的动能最大
2.如图5所示，空间有竖直向下的匀强电场，完全相同的两根绝缘轻质弹簧下端固定在水平地面上，在其正上方质量均为m的a、b两物块均从距弹簧上端高^处自由下落。已知物块a的电荷量为 q，物块b的电荷量为 -q，设地面处的重力势能为零，不计空气阻力，物块的重力大于静电力。从物块被释放到弹簧被压缩到最短的过程中，下列说法正确的是（
）。
A.两物块机械能的变化量相同
B.若两物块释放时的高度均增加相同的值，则两物块速度最大时所具有的重力势能均不变
C.两物块速度最大时，物块b的重力势能大于物块a的重力势能
D.两物块运动到最低点时，物块b的重力势能小于物块a的重力势能
3.如图6所示，两平行金属导轨与水平面间的夹角θ=37°，导轨电阻不计，导轨间的距离d=20 cm，两导轨下端与阻值R=0.5 Ω的定值电阻相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面向上，磁感应强度B=0.5 T，一质量m=0.2 kg，长l= 20 cm的导体棒，从ab位置以平行斜面、大小vo=10 m/s的初速度向上运动，最远到达的位置与ab位置间的距离s=2 m。已知导体棒的电阻也为R=0.5 Ω，与导轨之间的动摩擦因数μ=0. 25，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则在导体棒上滑的过程中（
）。
A.导体棒受到的最大安培力为2N
B.导体棒克服摩擦力、安培力、重力做的总功为8J
C.系统增加的内能为7.6 J
D.通过电阻R的电荷量为0.2 C
参考答案：
1.C2.BC 3.CD
（责任编辑 张巧）