论文部分内容阅读
1原题及原解
空间固定点O处连接一根劲度系数为k的轻弹簧，弹簧另一端连接质量为m的小球.开始时弹簧处于水平自由长度状态，小球静止，而后小球自由摆下.假设小球运动到图中最低点P时小球的速度恰好水平（如图1）.试证，小球在P点时弹簧长度l必定超过mg2k.
证明设弹簧自由长度为l0，由机械能守恒可得
mgl=12mv2 12k（l-l0）2.
小球运动曲线光滑，P点附近一小段轨道可视作半径为某R的圆的一小部分.P点处小球速度沿水平方向，该圆的切线方向也必定为水平方向，圆心应该在P、O连线上.圆运动对应的向心力心指向O点，但O点未必是圆心，R未必等于l.考虑到心由向上的弹簧力与向下的重力合成，因此有
k（l-l0）-mg=F心=mv2R，
与上式联合，可得
R=2mgl-k（l-l0）2k（l-l0）-mg.
要求R>0，因此2mgl-k（l-l0）2<0，
k（l-l0）-mg<0.
或2mgl-k（l-l0）2>0，
k（l-l0）-mg>0.
前一种情况导致l l0<0，这是不可能的.由后一种情况可得
2mgl>k（l-l0）2>k（mgk）2，
因此解为l>mg2k，即l必定超过mg2k.
2简易证明
其实，原题要证明的结论可以很简单地得到.
在上述原证明过程中已通过分析确定了小球运动轨迹曲线上P点的曲率圆圆心在P点正上方，且当小球运动至P点时有
k（l-l0）-mg=F心>0.
由此即可得知l>mgk l0>mgk>mg2k.
所以在小球运动至P点时弹簧的长度l必定大大超过mg2k.
这一结果其实容易理解：即使小球静止悬挂在O点下方，弹簧尚有长度l=mgk l0>mgk>mg2k，更何况小球以水平速度经过O点下方的P点时还有向上的加速度呢.
之所以不需要考虑系统机械能守恒即可得到结果，是因为本题的系统机械能守恒的结果是完全可以由小球的动力学方程积分（初积分）导出的.
3强化证明
从上述解答可看出，当小球运动到P点时弹簧长度l其实是远远大于mg2k的，所以原题要求证明的结果是一个较弱的结果，因而极易证明.在题设的条件下，小球沿曲线抵达P点时弹簧的极限长度可以达到多少呢？下面来寻求这一长度.
先考虑初始时弹簧处于竖直自由长度状态，小球从静止开始运动的情况.建立O′-xy平面坐标系，设弹簧原长为lmax，所能达到的最大长度为lmax，如图2所示.由机械能守恒有
mgΔlmax=12k（Δlmax）2.
由此得Δlmax=2mgk.（1）
在小球下落至途中某x（0≤x≤Δlmax）处时，小球所受到的弹簧拉力kx与重力mg的合力（在竖直方向上）为
Fx′=mg-kx（2）
再考虑初始时弹簧处于水平自由长度状态，小球从静止开始运动的情况.建立O-xy平面坐标系，设小球运动至（x，y）处时，弹簧长为l，弹簧与x轴的夹角为θ，如图3所示.小球所受到的弹簧拉力k（l-l0）与重力mg的合力在 轴方向上的分量为
Fx=mg-k（l-l0）cosθ.
因lcosθ=x，
所以有Fx=mg-kx kl0cosθ（3）
比较（2）、（3）两式，得知Fx>Fx′.这表明：小球沿曲线下落的距离达到x时所受到的Fx要大于小球沿直线竖直下落的距离达到同样的x时所受到的Fx′，与此相应的，小球沿曲线下落的距离达到该x时竖直方向的加速度要大于小球沿直线下落的距离达到同样的x高处时竖直方向的加速度.又注意到小球无论是沿直线竖直下落还是沿曲线下落均是从静止开始的，这就意味着：对从x=0开始的以后各x处，小球沿曲线下落到达该处时竖直方向的速度要大于小球沿直线下落到该处时的竖直方向速度.而在小球沿直线下落抵达x=Δlmax=2mgk时，其速度为零，故在小球沿曲线到达同样的高度时，其竖直分速度必大于零.换言之，在小球沿曲线到达的x=2mgk并非小球的最低处.而依题意小球经过最低处时速度垂直于矢径OP，即此时绳是最长的.由此可知小球经过最低处时弹簧的长度l>Δlmax>2mgk.此结果显著的强于原题要证明的l>mg2k的结果.所谓强化证明就是针对该物理过程中弹簧长度实际上最大可能的长度所进行的证明.
通过比较（2）、（3）两式也不难推知，当弹簧的原长l0→0，而题设的其他条件不变时，小球沿曲线下落经过最低处时弹簧的长度l→Δlmax=2mgk.事实上，当弹簧的原长l0→0时，小球沿曲线从静止下落与沿直线从静止下落的差别已不复存在，这就不难理解为何此时小球沿曲线下落经过最低处时弹簧的长度l会趋于2mgk.
4结束语——对编制物理题目的启示
对原题的上述简易证明和强化证明的两过程表明，要证明弹簧长度l>mg2k的结论较之证明弹簧长度l>2mgk的结论要容易得多.笔者以为，这并非偶然.在一特定的物理过程中某物理变量的变化情况往往是由多种因素按特定方式的综合作用所决定的，其变化在客观上总存在一定的范围，而范围的边界则是多种因素在特定情境下的作用结果.因此要确定该物理变量变化范围的边界，则需要考虑在此物理过程中有哪些因素影响着该物理量的变化，这些因素按何种方式相互作用而影响该物理量的变化，这些因素按一定的方式在什么特定情景下而使该物理量的变化达到其变化范围的边界.如果不能全面且精确地分析计算这诸多方面的情况，便不能准确确定该物理量变化范围的边界，反之，也可以说，如果不需准确确定该物理量变化范围的边界，则对全面性及精确性的考量要求就可降低.在编制物理题目时，我们也经常要编制各种判断、确定特定物理过程中某物理量变化范围的题目，如果我们不就该物理量变化范围实际存在的边界设问，就会使题目解答的难度降低，就不能充分发挥出题目在考察学生物理知识掌握、物理分析综合能力等方面的全部作用.
空间固定点O处连接一根劲度系数为k的轻弹簧，弹簧另一端连接质量为m的小球.开始时弹簧处于水平自由长度状态，小球静止，而后小球自由摆下.假设小球运动到图中最低点P时小球的速度恰好水平（如图1）.试证，小球在P点时弹簧长度l必定超过mg2k.
证明设弹簧自由长度为l0，由机械能守恒可得
mgl=12mv2 12k（l-l0）2.
小球运动曲线光滑，P点附近一小段轨道可视作半径为某R的圆的一小部分.P点处小球速度沿水平方向，该圆的切线方向也必定为水平方向，圆心应该在P、O连线上.圆运动对应的向心力心指向O点，但O点未必是圆心，R未必等于l.考虑到心由向上的弹簧力与向下的重力合成，因此有
k（l-l0）-mg=F心=mv2R，
与上式联合，可得
R=2mgl-k（l-l0）2k（l-l0）-mg.
要求R>0，因此2mgl-k（l-l0）2<0，
k（l-l0）-mg<0.
或2mgl-k（l-l0）2>0，
k（l-l0）-mg>0.
前一种情况导致l l0<0，这是不可能的.由后一种情况可得
2mgl>k（l-l0）2>k（mgk）2，
因此解为l>mg2k，即l必定超过mg2k.
2简易证明
其实，原题要证明的结论可以很简单地得到.
在上述原证明过程中已通过分析确定了小球运动轨迹曲线上P点的曲率圆圆心在P点正上方，且当小球运动至P点时有
k（l-l0）-mg=F心>0.
由此即可得知l>mgk l0>mgk>mg2k.
所以在小球运动至P点时弹簧的长度l必定大大超过mg2k.
这一结果其实容易理解：即使小球静止悬挂在O点下方，弹簧尚有长度l=mgk l0>mgk>mg2k，更何况小球以水平速度经过O点下方的P点时还有向上的加速度呢.
之所以不需要考虑系统机械能守恒即可得到结果，是因为本题的系统机械能守恒的结果是完全可以由小球的动力学方程积分（初积分）导出的.
3强化证明
从上述解答可看出，当小球运动到P点时弹簧长度l其实是远远大于mg2k的，所以原题要求证明的结果是一个较弱的结果，因而极易证明.在题设的条件下，小球沿曲线抵达P点时弹簧的极限长度可以达到多少呢？下面来寻求这一长度.
先考虑初始时弹簧处于竖直自由长度状态，小球从静止开始运动的情况.建立O′-xy平面坐标系，设弹簧原长为lmax，所能达到的最大长度为lmax，如图2所示.由机械能守恒有
mgΔlmax=12k（Δlmax）2.
由此得Δlmax=2mgk.（1）
在小球下落至途中某x（0≤x≤Δlmax）处时，小球所受到的弹簧拉力kx与重力mg的合力（在竖直方向上）为
Fx′=mg-kx（2）
再考虑初始时弹簧处于水平自由长度状态，小球从静止开始运动的情况.建立O-xy平面坐标系，设小球运动至（x，y）处时，弹簧长为l，弹簧与x轴的夹角为θ，如图3所示.小球所受到的弹簧拉力k（l-l0）与重力mg的合力在 轴方向上的分量为
Fx=mg-k（l-l0）cosθ.
因lcosθ=x，
所以有Fx=mg-kx kl0cosθ（3）
比较（2）、（3）两式，得知Fx>Fx′.这表明：小球沿曲线下落的距离达到x时所受到的Fx要大于小球沿直线竖直下落的距离达到同样的x时所受到的Fx′，与此相应的，小球沿曲线下落的距离达到该x时竖直方向的加速度要大于小球沿直线下落的距离达到同样的x高处时竖直方向的加速度.又注意到小球无论是沿直线竖直下落还是沿曲线下落均是从静止开始的，这就意味着：对从x=0开始的以后各x处，小球沿曲线下落到达该处时竖直方向的速度要大于小球沿直线下落到该处时的竖直方向速度.而在小球沿直线下落抵达x=Δlmax=2mgk时，其速度为零，故在小球沿曲线到达同样的高度时，其竖直分速度必大于零.换言之，在小球沿曲线到达的x=2mgk并非小球的最低处.而依题意小球经过最低处时速度垂直于矢径OP，即此时绳是最长的.由此可知小球经过最低处时弹簧的长度l>Δlmax>2mgk.此结果显著的强于原题要证明的l>mg2k的结果.所谓强化证明就是针对该物理过程中弹簧长度实际上最大可能的长度所进行的证明.
通过比较（2）、（3）两式也不难推知，当弹簧的原长l0→0，而题设的其他条件不变时，小球沿曲线下落经过最低处时弹簧的长度l→Δlmax=2mgk.事实上，当弹簧的原长l0→0时，小球沿曲线从静止下落与沿直线从静止下落的差别已不复存在，这就不难理解为何此时小球沿曲线下落经过最低处时弹簧的长度l会趋于2mgk.
4结束语——对编制物理题目的启示
对原题的上述简易证明和强化证明的两过程表明，要证明弹簧长度l>mg2k的结论较之证明弹簧长度l>2mgk的结论要容易得多.笔者以为，这并非偶然.在一特定的物理过程中某物理变量的变化情况往往是由多种因素按特定方式的综合作用所决定的，其变化在客观上总存在一定的范围，而范围的边界则是多种因素在特定情境下的作用结果.因此要确定该物理变量变化范围的边界，则需要考虑在此物理过程中有哪些因素影响着该物理量的变化，这些因素按何种方式相互作用而影响该物理量的变化，这些因素按一定的方式在什么特定情景下而使该物理量的变化达到其变化范围的边界.如果不能全面且精确地分析计算这诸多方面的情况，便不能准确确定该物理量变化范围的边界，反之，也可以说，如果不需准确确定该物理量变化范围的边界，则对全面性及精确性的考量要求就可降低.在编制物理题目时，我们也经常要编制各种判断、确定特定物理过程中某物理量变化范围的题目，如果我们不就该物理量变化范围实际存在的边界设问，就会使题目解答的难度降低，就不能充分发挥出题目在考察学生物理知识掌握、物理分析综合能力等方面的全部作用.