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摘 要：本文通过研究城市轨道交通票价制定的理论基础，采用了双层规划模型，为长沙市轨道交通2号线的票价制定给出相应的对策。
关键词：城市轨道交通;票价;双层规划模型;轨道交通2号线
中图分类号：F570.5;U293 文献标识码：A
0 引言
随着我国社会的快速发展，轨道交通也随之发展，但其票价的制定还不够完善，合理制定票价成为了轨道交通发展的关键。因而，根据国内外票价制定的经验，重新制定票价系统对我国城市轨道交通的健康发展具有重要意义。
1 背景
票价的制订不仅仅要研究经济效益，也要研究社会效益，同时也要考虑企业的亏损情况，还要考虑居民出行的经济承受能力，所以需要对票价制定的相关问题进行探讨。
2 城市轨道交通票价制定的理论基础
一般常用的票价制定模型有平均成本定价模型，见式（1）和边际成本定价模型，见式（2）。
式中，为运价，VC为可变金额，r为利润，TFC为总金额，Q为交通量。
式中，R为收入， q为交通量， R是q的函数。
3 基于双层规划模型的轨道交通票价制定方法研究
（1）双层规划模型。本文以居民的利益和企业的利益作为约束，采用双层规划模型来解决问题。
双层规划模型，如下：
其中y=y（x），由下面的公式求得：
其中
（2）城市轨道交通票价的双层规划模型。本文主要采用logit模型。logit模型是世界上应用最普遍的模型，它也是最早使用的离散选择模型。
P为从地点i到地点j、交通方式为r的分担率;为待定系数;从地点i到地点j，出行方式为r的交通阻抗;从地点i到地点j、出行方式为k的交通阻抗。
（3）双层规划模型的建立。成本的收益主要受两个方面的要素，为票价和交通量，分别用和表示，交通量和价格收益之间的关系如下：
其中，下标r为出行形式。
在客流总量Q保持稳定的情况下，交通量跟价格的函数关系成反比。轨道交通票价收益的表达方式如下：
为出行方式，k从节点i到j的票价;为与出行方式k相干的特征参数;表示出行方式k的服务水平特征;k表示出行方式r的竞争方式。
根據上面的分析，我们采用的双层规划模型如下：
1）上层规划。我们建立的上层规划模型用下面的公式表示：
为最低价格：为最高价格：为从节点i到j的客流量。
2）下层规划。我们采用随机用户分配模型，通过分析为下面的公式表示：
式中，为以各路段实际阻抗为条件的感知阻抗的数学期值望;为（r，s）间多条路线的实际阻抗的向量，为（r，s）间第k条线路的感知阻抗;为以节点i到j之间的流量为自变量的阻抗函数;为路段a上的客流量;为r到s的OD间的第k条路线上的流量;为r到s之间的OD交通量;为路段-径路相关变量。
（4）模型的求解。一般采用灵敏度分析法进行求解。考虑到票价这一扰动参数C，下面这个变分不等式来体现用户平衡分配模型：
式中，为模型的均衡解，所以。
通过上面的变式，我们假设变分不等式（17）在C=C（0）时的解已知，而且这个解只有一个，那么当C=C（0）时，双层规划问题的解的必要条件就成为：
式中，为均衡模型巾约束的拉格朗日乘子向量。
设，上面两个式子对于y（C）的雅克比矩阵这里我们用J，（C）来表示，上面两个式子对于C的雅克比矩阵这里我们用来表示，这样就能得到如下结论：
假设是开始的价格，处于i和j之间，假设出行方式的价格都不发生变化，求解得到i和j之间的客流量。客流量求出之后，按照泰勒展开式近似的体现如下：
将这个公式代入上层规划式子里，得到上层的最优解，再根据上层最优解来解决下层的问题，得到一个新的解，迭代计算，就可以得到一个近似函数，最后可以得到最开始的双层规划模型的最优解。
依照上述分析，形成了以下算法：
第一步：初始化。给出价格的第一个值，设定精度值的大小，找到客流量Q的大小，取p=1。
第二步：在已知的条件下，代入到下层公式中，这样就可以得到一个均衡解。
第三步：运用灵敏度分析法找出反应函数的近似表达式。
第四步：求解上层规划问题，求解出一组新的出行方式的价格。
第五步：迭代计算，h表现迭代步长。
第六步：收敛辨别。当时，则可停止反复计算，否则置p=p+1，继续反复计算。
4 长沙市轨道交通2号线的票价制定研究
（1）轨道交通2号线的概况。长沙市轨道交通2号线从梅溪湖西站出发，终点为光达站，共有23站。调研了2号线的车站名称，每站间距，每站站位。
（2）轨道交通2号线的客流量预测。根据长沙市2015—2019年高峰小时客流量进行数据分析，采用一元线性回归法，利用SPSS软件分析，预测得到2026年2号线顶峰小时的交通量。
（3）轨道交通2号线的票价制定。依据调研数据，设定参数值如下;轨道交通2号线的最高速度是85公里/时，均匀速度是30～35公里/时，得出各站点间的乘车时间。
设定地铁2号线票价的初始值2元、3元、4元、5元、6元、7元和8元，参照前面得到的模型，运用灵敏度分析法，通过反复计算发现：依次采取不同的初始票价，得到的迭代出的票价都是接近4元或者等于4元，所以长沙市轨道交通2号线的价格可以参考4元订价。
5 总结
通过对长沙市轨道交通2号线的调研，通过客流量现状，预测未来年的客流量，按照双层规划模型，联合相关参数，得出长沙市轨道交通2号线的票价。
参考文献：
[1]赖天珍.城市轨道交通线路票价策略研究[D].长沙：中南大学，2013.
[2]王俊龙.城市轨道交通票价定价策略及模型研究[D].兰州：兰州交通大学，2014.
[3]戚宇杰.我国城市轨道交通票价制定问题研究[D].西安：长安大学，2006.
[4]王倩.城市轨道交通定价模型研究[D].北京：北京交通大学，2008.
[5]王亚红.基于Logit模型的城市轨道交通票价制定方法研究[D].北京：北京交通大学，2008.
[6]陆榕.城市轨道交通投融资方式研究[D].南京：南京林业大学，2008.
[7]Xueyu Z，Jiaqi Y.Research on the Bi-level Programming Model for Ticket Fare Pricing of Urban Rail Transit based on Particle Swarm Optimization Algorithm[J].Procedia-Social and Behavioral Sciences，2013（1）：633-642.
[8]Li M.Pricing non-storable perishable goods by using a purchase restriction.
关键词：城市轨道交通;票价;双层规划模型;轨道交通2号线
中图分类号：F570.5;U293 文献标识码：A
0 引言
随着我国社会的快速发展，轨道交通也随之发展，但其票价的制定还不够完善，合理制定票价成为了轨道交通发展的关键。因而，根据国内外票价制定的经验，重新制定票价系统对我国城市轨道交通的健康发展具有重要意义。
1 背景
票价的制订不仅仅要研究经济效益，也要研究社会效益，同时也要考虑企业的亏损情况，还要考虑居民出行的经济承受能力，所以需要对票价制定的相关问题进行探讨。
2 城市轨道交通票价制定的理论基础
一般常用的票价制定模型有平均成本定价模型，见式（1）和边际成本定价模型，见式（2）。
式中，为运价，VC为可变金额，r为利润，TFC为总金额，Q为交通量。
式中，R为收入， q为交通量， R是q的函数。
3 基于双层规划模型的轨道交通票价制定方法研究
（1）双层规划模型。本文以居民的利益和企业的利益作为约束，采用双层规划模型来解决问题。
双层规划模型，如下：
其中y=y（x），由下面的公式求得：
其中
（2）城市轨道交通票价的双层规划模型。本文主要采用logit模型。logit模型是世界上应用最普遍的模型，它也是最早使用的离散选择模型。
P为从地点i到地点j、交通方式为r的分担率;为待定系数;从地点i到地点j，出行方式为r的交通阻抗;从地点i到地点j、出行方式为k的交通阻抗。
（3）双层规划模型的建立。成本的收益主要受两个方面的要素，为票价和交通量，分别用和表示，交通量和价格收益之间的关系如下：
其中，下标r为出行形式。
在客流总量Q保持稳定的情况下，交通量跟价格的函数关系成反比。轨道交通票价收益的表达方式如下：
为出行方式，k从节点i到j的票价;为与出行方式k相干的特征参数;表示出行方式k的服务水平特征;k表示出行方式r的竞争方式。
根據上面的分析，我们采用的双层规划模型如下：
1）上层规划。我们建立的上层规划模型用下面的公式表示：
为最低价格：为最高价格：为从节点i到j的客流量。
2）下层规划。我们采用随机用户分配模型，通过分析为下面的公式表示：
式中，为以各路段实际阻抗为条件的感知阻抗的数学期值望;为（r，s）间多条路线的实际阻抗的向量，为（r，s）间第k条线路的感知阻抗;为以节点i到j之间的流量为自变量的阻抗函数;为路段a上的客流量;为r到s的OD间的第k条路线上的流量;为r到s之间的OD交通量;为路段-径路相关变量。
（4）模型的求解。一般采用灵敏度分析法进行求解。考虑到票价这一扰动参数C，下面这个变分不等式来体现用户平衡分配模型：
式中，为模型的均衡解，所以。
通过上面的变式，我们假设变分不等式（17）在C=C（0）时的解已知，而且这个解只有一个，那么当C=C（0）时，双层规划问题的解的必要条件就成为：
式中，为均衡模型巾约束的拉格朗日乘子向量。
设，上面两个式子对于y（C）的雅克比矩阵这里我们用J，（C）来表示，上面两个式子对于C的雅克比矩阵这里我们用来表示，这样就能得到如下结论：
假设是开始的价格，处于i和j之间，假设出行方式的价格都不发生变化，求解得到i和j之间的客流量。客流量求出之后，按照泰勒展开式近似的体现如下：
将这个公式代入上层规划式子里，得到上层的最优解，再根据上层最优解来解决下层的问题，得到一个新的解，迭代计算，就可以得到一个近似函数，最后可以得到最开始的双层规划模型的最优解。
依照上述分析，形成了以下算法：
第一步：初始化。给出价格的第一个值，设定精度值的大小，找到客流量Q的大小，取p=1。
第二步：在已知的条件下，代入到下层公式中，这样就可以得到一个均衡解。
第三步：运用灵敏度分析法找出反应函数的近似表达式。
第四步：求解上层规划问题，求解出一组新的出行方式的价格。
第五步：迭代计算，h表现迭代步长。
第六步：收敛辨别。当时，则可停止反复计算，否则置p=p+1，继续反复计算。
4 长沙市轨道交通2号线的票价制定研究
（1）轨道交通2号线的概况。长沙市轨道交通2号线从梅溪湖西站出发，终点为光达站，共有23站。调研了2号线的车站名称，每站间距，每站站位。
（2）轨道交通2号线的客流量预测。根据长沙市2015—2019年高峰小时客流量进行数据分析，采用一元线性回归法，利用SPSS软件分析，预测得到2026年2号线顶峰小时的交通量。
（3）轨道交通2号线的票价制定。依据调研数据，设定参数值如下;轨道交通2号线的最高速度是85公里/时，均匀速度是30～35公里/时，得出各站点间的乘车时间。
设定地铁2号线票价的初始值2元、3元、4元、5元、6元、7元和8元，参照前面得到的模型，运用灵敏度分析法，通过反复计算发现：依次采取不同的初始票价，得到的迭代出的票价都是接近4元或者等于4元，所以长沙市轨道交通2号线的价格可以参考4元订价。
5 总结
通过对长沙市轨道交通2号线的调研，通过客流量现状，预测未来年的客流量，按照双层规划模型，联合相关参数，得出长沙市轨道交通2号线的票价。
参考文献：
[1]赖天珍.城市轨道交通线路票价策略研究[D].长沙：中南大学，2013.
[2]王俊龙.城市轨道交通票价定价策略及模型研究[D].兰州：兰州交通大学，2014.
[3]戚宇杰.我国城市轨道交通票价制定问题研究[D].西安：长安大学，2006.
[4]王倩.城市轨道交通定价模型研究[D].北京：北京交通大学，2008.
[5]王亚红.基于Logit模型的城市轨道交通票价制定方法研究[D].北京：北京交通大学，2008.
[6]陆榕.城市轨道交通投融资方式研究[D].南京：南京林业大学，2008.
[7]Xueyu Z，Jiaqi Y.Research on the Bi-level Programming Model for Ticket Fare Pricing of Urban Rail Transit based on Particle Swarm Optimization Algorithm[J].Procedia-Social and Behavioral Sciences，2013（1）：633-642.
[8]Li M.Pricing non-storable perishable goods by using a purchase restriction.