论文部分内容阅读
求函数最值一直是中学数学内容中的难点，这是因为其解题方法灵活，题型多变，涉及的数学知识点广泛，技巧性强等，使学生不易掌握。
一、利用配方法求函数的最值：
适用类型有解析式中含有二次函数或者形如y=af2（x）+bf（x）+c，均可用此法求解。
例1：求函数y=2- 4x-x2的最小值。
解：为计算方便不妨设f（x）=-x2+4x（f（x）≥0），配方得f（x）=-（x-2）2+4，则f（x）max=4，即ymin=0.
例2：求函数y=x-2 x+1-2的最小值。
解：原解析式变形为y=x+1-2 x+1-3设t= x+1，
则y=t2-2t-3，利用配方得y=（t-1）2-4，由此得ymin=4。
评注：以上两例的配方法应用中包括了变量代换，在此类型题目中二者配合使用，能使配方法发挥更广泛的作用。
二、利用判别式法求函数最值：
适用类型是解析式为分式形式且分子、分母有一个是二次函数，另一个为一、二次均可。
例3：求函数y= 的最值。
解：由原函数式可得关于x的一个二次方程（2y-1）x2-2（y+1）+（y+3）=0。为使方程有实数解x，必须有△≥0。
即：△=4（y+1）2-4（2y-1）（y+3）≥0，化简得（y+4）（y-1）≤0，-4 ≤y≤1；
即：ymax=1，ymin=-4。
评注：该题型在使用判别式之前，需要注意x的二次项系数是否为0的情况。
例4：求函数y= 的最大、最小值，并求出取得最大、最小值时x的值。
解：令log2x=t，则y= ，由此得4yt2-12t+（y+8）=0。
∵t∈R,故△≥0，即16[9-y（y+8）]≥0，y2+8y-9≤0；
∴-9≤y≤1。当y=-9时，t=- ,即log2x=- ,x= ;
当y=1时,t= ，即log2x= ,x=2 2,所以，当x=2 2时ymax=1。
当x= 时ymin=-9。
评注：此题是利用变量代换和判别式法配合使用，使问题迎刃而解。
三、利用向量求函数的最值
类型1：y=p a-x+q x-b型（a>b，p，q同号）。
例5：求函数y=5 x-1+ 10-x的最大值。
解：构造向量a=(5,1)、b=( x-1， 10-x),由向量的内积公式得：
y=5 x-1+ 10-x≤ 52+a2 x-1+10-x=3 26。
当且仅当5 10-x= x-1，即x= 时，ymax=3 26。
类型2：y=（px+r）+q ax2+bx+c型（b2-4ac>0）。
例6：求函数y=x-3+ 10-9x2的最大值。
解：原题可变形为y=-3+ ×3x+ 10-9x2，令f（x）= ×3x+ 10-9x2；
取（3x）2+（ 10-9x2）2=10，且构造向量a=（ ,1）、b=（3x， 10-9x2）,由向量的内积得：
f（x）= ×3x+ 10-9x2 ≤ （ ）2+12×
（3x）2+（ 10-9x2）2= ；
y≤-3+ = ，即ymax= 。
类型3： ax2+px+q± ax2+mx+n型（a>0）。
例7：求函数y= x2+4+ （3-x）2+9的最小值。
解：构造向量a=（x，2）、b=（-3,３），则y=|a|+|b|≥|a+b|= 32+（2+3）2= 34。
当且仅当a与b同向平行时等号成立。
点评：向量作为一个数学工具，应用越来越广泛，用向量解题，方法新颖，运算快捷，是拓展学生思维的一个有效途径。
四、利用复数求函数的最值
类型：y= ax2+px+q± ax2+mx+n。
例8：求函数f（x）= x2-2x+5+ x2+1的最值。
解：因为x2-2x+5=（x-1）2+22设Z1=（1-x）+2i，Z2=x+i，
则f（x）=|Z1|+|Z2|，因为|Z1|+|Z2|≥|Z1+Z2|=|1-x+2i+x+i|=|1+3i|= 10等号仅当OZ1与OZ2同向，即 = 亦即x= 时成立，故f（x）min= 10。
五、利用等差数列求函数最值
类型：y= ax+b+ cx+d（ac<0）。
例9：求y= 1-x+ x+3的最小值和最大值。
解：∵ 1-x+ x+3=2× ，∴可把 1-x、 、 x+3看成等差数列。
设公差为d,则 消去x得y2+4d2-8=0，即y=2 2-d2（y≥0）。由已知得-3≤x≤1，所以由（1）得0≤ y-d≤2，由（2）得0≤ y+d≤2，即-1≤d≤1，0≤d2≤1。因为y=2 2-d2在d2∈[0，1] 上为减函数，故当d2=0时，ymax=2 2；当d2=1时，ymin=2。
评注：利用等差数列求函数最值方法新颖，独具创新，对培养学生的思维、拓展学生的视野具有很大帮助。
一、利用配方法求函数的最值：
适用类型有解析式中含有二次函数或者形如y=af2（x）+bf（x）+c，均可用此法求解。
例1：求函数y=2- 4x-x2的最小值。
解：为计算方便不妨设f（x）=-x2+4x（f（x）≥0），配方得f（x）=-（x-2）2+4，则f（x）max=4，即ymin=0.
例2：求函数y=x-2 x+1-2的最小值。
解：原解析式变形为y=x+1-2 x+1-3设t= x+1，
则y=t2-2t-3，利用配方得y=（t-1）2-4，由此得ymin=4。
评注：以上两例的配方法应用中包括了变量代换，在此类型题目中二者配合使用，能使配方法发挥更广泛的作用。
二、利用判别式法求函数最值：
适用类型是解析式为分式形式且分子、分母有一个是二次函数，另一个为一、二次均可。
例3：求函数y= 的最值。
解：由原函数式可得关于x的一个二次方程（2y-1）x2-2（y+1）+（y+3）=0。为使方程有实数解x，必须有△≥0。
即：△=4（y+1）2-4（2y-1）（y+3）≥0，化简得（y+4）（y-1）≤0，-4 ≤y≤1；
即：ymax=1，ymin=-4。
评注：该题型在使用判别式之前，需要注意x的二次项系数是否为0的情况。
例4：求函数y= 的最大、最小值，并求出取得最大、最小值时x的值。
解：令log2x=t，则y= ，由此得4yt2-12t+（y+8）=0。
∵t∈R,故△≥0，即16[9-y（y+8）]≥0，y2+8y-9≤0；
∴-9≤y≤1。当y=-9时，t=- ,即log2x=- ,x= ;
当y=1时,t= ，即log2x= ,x=2 2,所以，当x=2 2时ymax=1。
当x= 时ymin=-9。
评注：此题是利用变量代换和判别式法配合使用，使问题迎刃而解。
三、利用向量求函数的最值
类型1：y=p a-x+q x-b型（a>b，p，q同号）。
例5：求函数y=5 x-1+ 10-x的最大值。
解：构造向量a=(5,1)、b=( x-1， 10-x),由向量的内积公式得：
y=5 x-1+ 10-x≤ 52+a2 x-1+10-x=3 26。
当且仅当5 10-x= x-1，即x= 时，ymax=3 26。
类型2：y=（px+r）+q ax2+bx+c型（b2-4ac>0）。
例6：求函数y=x-3+ 10-9x2的最大值。
解：原题可变形为y=-3+ ×3x+ 10-9x2，令f（x）= ×3x+ 10-9x2；
取（3x）2+（ 10-9x2）2=10，且构造向量a=（ ,1）、b=（3x， 10-9x2）,由向量的内积得：
f（x）= ×3x+ 10-9x2 ≤ （ ）2+12×
（3x）2+（ 10-9x2）2= ；
y≤-3+ = ，即ymax= 。
类型3： ax2+px+q± ax2+mx+n型（a>0）。
例7：求函数y= x2+4+ （3-x）2+9的最小值。
解：构造向量a=（x，2）、b=（-3,３），则y=|a|+|b|≥|a+b|= 32+（2+3）2= 34。
当且仅当a与b同向平行时等号成立。
点评：向量作为一个数学工具，应用越来越广泛，用向量解题，方法新颖，运算快捷，是拓展学生思维的一个有效途径。
四、利用复数求函数的最值
类型：y= ax2+px+q± ax2+mx+n。
例8：求函数f（x）= x2-2x+5+ x2+1的最值。
解：因为x2-2x+5=（x-1）2+22设Z1=（1-x）+2i，Z2=x+i，
则f（x）=|Z1|+|Z2|，因为|Z1|+|Z2|≥|Z1+Z2|=|1-x+2i+x+i|=|1+3i|= 10等号仅当OZ1与OZ2同向，即 = 亦即x= 时成立，故f（x）min= 10。
五、利用等差数列求函数最值
类型：y= ax+b+ cx+d（ac<0）。
例9：求y= 1-x+ x+3的最小值和最大值。
解：∵ 1-x+ x+3=2× ，∴可把 1-x、 、 x+3看成等差数列。
设公差为d,则 消去x得y2+4d2-8=0，即y=2 2-d2（y≥0）。由已知得-3≤x≤1，所以由（1）得0≤ y-d≤2，由（2）得0≤ y+d≤2，即-1≤d≤1，0≤d2≤1。因为y=2 2-d2在d2∈[0，1] 上为减函数，故当d2=0时，ymax=2 2；当d2=1时，ymin=2。
评注：利用等差数列求函数最值方法新颖，独具创新，对培养学生的思维、拓展学生的视野具有很大帮助。