美国大学数学教育的多样化教学管理模式

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  摘 要:叶扬波教授1978年3月就读于清华大学基础课教学研究部,1981年7月于应用数学系数学专业(学制四年半)提前毕业。后在美国哥伦比亚大学取得硕士与博士学位,曾任美国高等研究院成员、约翰·霍普金斯大学及康奈尔大学助理教授,现任美国艾奥瓦大学数学系教授、山东大学长江学者奖励计划讲座教授。本刊就美国大学数学本科教育的课程设置、教学模式、教学资源、教学对象、教师队伍的相关情况,对叶扬波教授进行了专访。叶教授通过对美国大学数学教育与中国的对比,剖析了数学教育发展的新趋势和面临的挑战。
  关键词:美国大学数学教育;课程设置;教学模式;课程考核;教学对象;教师队伍
  一、课程设置、课程时数与学生水平相适应
  《世界教育信息》:首先,请您谈一谈美国大学本科的数学课程设置。
  叶扬波:美国大学会根据学生的具体情况设置课程。在美国,有相当一部分的学生入学时数学成绩达不到直接学习微积分的水平,因此,每所大学的数学系都开设有补修课程。严格来讲,补修课程是对中学课程的回顾。艾奥瓦大学注册人数最多的数学课程中有几门就是补修课程,而且人数逐年增多。有的学生甚至要补修多门课程,才能够达到学习微积分的水平。
  微积分是高等数学的一门基础课程。不同专业对微积分课程的课时有不同要求。数学、物理、化学等理科专业的学生的微积分课程一般都是开设三个学期。和中国相比,美国大学的微积分课程内容大多以学习分析方法和计算方法为主,微积分中定理的证明基本上不涉及。这是因为绝大部分学习微积分的学生将来不会成为数学家,他们需要的是培养分析思维和计算理念,但并不一定要学会证明数学定理。商科、社会科学、生命科学专业的学生一般学习一个学期的微积分课程。这一个学期的微积分课程学习看似简单,但由于这些专业的学生数学基础普遍较差,要想通过也不容易。还有的专业不要求学习微积分,如人文学科。
  《世界教育信息》:在微积分之后,学生学习的数学课程又有哪些?
  叶扬波:在学习微积分之后,学生接触的数学课程主要有五类。第一类是数学分析,主要面向数学专业以及数学相近专业(如统计、精算、计算机)的学生。在微积分课程中没讲到的证明方法、证明语言将会在数学分析课程中出现。第二类是代数,如线性代数、抽象代数。其中,线性代数作为入门课程,侧重于概念、计算和应用,一般证明不多。第三类是数学教育类课程,包括初等算术中的逻辑思维和公理几何,这些都是数学教育专业学生的必修课程。因为他们毕业之后要教中小学生数学,所以自己要先学会加减乘除的内在逻辑和各种教学方法,不能够仅仅让小学生背诵加法表、乘法表了事。又如,中学数学教师要教几何定理的证明,所以自己必须先学习几何中的逻辑。公理几何要从公理系统开始一步一步地推理,对于本科生来说,这并不是一门容易的课程。第四类是计算,比如计算方法、微分方程数值解、计算机程序,高速计算机的快速平行运算、数据库。第五类是应用数学。每所大学对应用数学都有不同的偏重,有的偏重微分方程,有的偏重计算,还有的数学系与其他系共同开设课程,或者进一步成立跨学科应用数学系所。在许多研究型大学,统计是独立于数学系单独成系的,数学系的学生选修统计系、计算机系课程一般都可以算作数学系的学分。
  《世界教育信息》:数学证明类的课程有哪些?
  叶扬波:数学的几大基础部分,如分析、代数、几何,都包含着证明。这类课程难度较大,而数学专业的学生又都必须学习证明。每所学校对证明类课程的数量与深度要求不尽相同。以代数为例,一般数学专业本科学生要学习一学期的线性代数、两门抽象代数,其中的证明部分也循序渐进。
  此外,数论不仅对于数学专业的学生具有很大的吸引力,对于计算机专业的学生也很有帮助。数论中的数学算法、证明都很实用,计算机系的学生都要学习数论,并将其应用于计算机编程。数学教育专业的学生也要学习数论,通过数论的学习,他们能够了解数字是如何运算的、哪种运算方法快、哪种运算方法慢。初等数论的课程内容并非全部是证明定理,而是更侧重于方法、计算和应用。数论最重要的一个应用就是密码学,即公匙密码。公匙密码在网络上的应用非常广泛,可以说没有数论就没有现在的网络加密,这在初等数论课程中一般都有所侧重。
  《世界教育信息》:美国数学课程的课时设置有什么不同之处?
  叶扬波:美国大学的一个学期一般是16周,每门课每周的学时一般为3~5小时,一门课的课时数一般比国内要少。数学系学生需要修读的数学课程的数量取决于学校的规定和学生自身规划两个因素。有些学生希望在毕业时取得相关荣誉,就需要多学几门课程,或者写一篇本科毕业论文。如果本科生想毕业后继续攻读数学专业的硕士或博士研究生,那么他本科修读的数学课程数量与深度就应该大大超过本科毕业的最低要求。
  美国大学都采用通识教育模式,所以每名学生(包括数学专业的学生)都必须在四年中学习八到十几门的通识教育课程,涵盖人文、社会等学科,尤其重要的是英文写作必修课程。因此,和国内大学数学专业本科毕业生相比,美国大学数学专业本科毕业生所学的数学课程要少很多。
  《世界教育信息》:与其他文理学科和应用学科的课程相比,数学课程有什么特点?
  叶扬波:数学课程特别注重课程的纵向联系,一般分几个大系列,如分析系列、代数系列、几何拓扑系列、应用系列等。这些系列由浅入深,贯穿许多门课程,也互有交叉联系。学生学习数学专业,必须从每个课程系列的第一门课程学起,越学越深。这种现象在人文、社会学科不那么明显,在其他理科、工科等专业也存在,但是不如数学课程的系列那么严格。
  由于有这种课程系列,学生的每一门课程都必须真正学到了大纲内容,才能够在后续课程中学得下去。如果一位学生没好好学分析系列的第一门课《微积分一》,只是混了一个及格分数,那么他在《微积分二》《微积分三》以及更深的分析课程中就根本无法听懂,再努力学习也可能学不会。甚至可以说,只要一个数学专业的学生在《微积分一》这门课上逃课、抄作业、考试作弊,那么他就会在以后所有的分析课程上都是“听天书”。真到了那种地步,不逃课也听不懂,不抄作业就不会做,考试不作弊就只能交白卷。   美国大学都是选课制,有的大学允许学生重修之前没通过的课程,有的学校则不允许重修。在能够重修的学校,学生可以重修一遍《微积分一》;在不能重修的学校,学生也许能再选一门类似《微积分一》的课程。如果实在不能重修或者重修了也还是没有学会《微积分一》,或者进入《微积分二》才发现实在听不懂,那么这个学生就只能转专业了。由于这种现象并非少数,美国大学一般鼓励刚入校的学生多尝试一些专业,并规定最晚在第二学年结束之前确认主科专业即可。
  如果一所大学不是选课制,而是全年级所有数学专业的学生都按照同一个教学计划,每个学期大家都上同样的课程,上述现象是否出现、出现后怎么弥补是个很值得探讨的问题。每个年级都有不好好学习的学生和努力学习但成绩较差的学生,这些学生在学习了《微积分一》之后必须学习《微积分二》,那么他们是怎么学习《微积分二》和后续课程的,也值得调查和跟踪。同样需要调查与了解的是,在未通过《微积分一》的学生中,有多少是在后续课程中靠自己的努力自学补回《微积分一》的知识的。
  二、多种教学模式满足学生多样化需求
  《世界教育信息》:请您简单介绍一下美国大学本科数学课程的教学模式。
  叶扬波:美国大学本科数学课程教学一般分为两种模式。一种是“大课加习题课”模式,大课课堂规模为一百到几百人,大课之下又分二十多人的习题课。在艾奥瓦大学,大课一般是一星期3个小时,习题课由助教来上,一星期2个小时。另一种是“小班”模式,小班课堂规模有的为二三十人,有的为四五十人再分成两个小班,还有的为六十人再分成三个小班。
  不同类型的学校采取不同的教学模式。研究型大学一般采取“大课加习题课”模式,而文理学院往往采取“小班”模式,原因有三个:一是文理学院的师生比较高;二是文理学院希望通过小班授课来保证教学质量;三是文理学院没有研究生,因此没有助教,也就没有习题课,所有课程都由教授讲授。美国的社区学院也没有研究生,没有习题课,因此也是以大课或者小课的形式讲授。
  网络课程和远程教育也是目前流行的教学模式。我认为,网络课程可以分为两类:一类是普通网络课程,学习者可以自己选定任意时间在网络上学习,网络公开课正是普通网络课程的一种形式;另一类是实时网络课程,学习者必须在规定时间段通过网络视频进行学习。对于网络课程和大学校园文化如何融合,现在还没有确切的答案。但我认为,对于大学生来说,四年共同学习、共同生活的体验非常重要。如果一个人不用出门就能够通过网络学习所有课程,那么就不会有与同学相处的体验,也不会有校友了。还有一种课程教学模式是远程教育。艾奥瓦大学数学系就有开设远程教育课程的教师,他们不在校园中上课,而是在州的另一端,面向全州的学生讲课。这种课程并非面向一个单独的校园,也不是一种纯粹的网络课程,因此我们把它称作远程教育。
  课堂上经常会有学生提问题,对这些问题的解答有以下几种途径:一是教授在课堂上鼓励大家提问,并现场解答问题,这种答疑方式主要针对具有普遍性的问题,在小班教学中经常使用;二是教授和助教专门抽出部分办公时间在办公室答疑,文理学院通常使用这种答疑方式,这种互动对于学生来说是很好的学习体验;三是有专门的答疑教授、研究生和助教,学生有任何问题都可以向他们提问;四是私人性质的收费答疑,有些学生确实需要更多的指导,他可以花钱雇研究生为他做个人指导。
  《世界教育信息》:美国大学里,学生主动学习的动力是什么?
  叶扬波:一名学生如果没有学习动力,如果学好学差都一样毕业、一样找工作,那么肯定不会好好学习,逃课、上课睡觉、打游戏、抄作业、作弊,如此等等都会出现。美国大学的体制为学生的学习动力提供了制度上的保证。从负面的角度来说,作弊被抓第一次给予警告,第二次勒令休学甚至开除。课程给分则侧重于多次考试多次测验,学生如果总是抄作业,那么测验试题肯定就不会做了,也不可能所有内容都留到期末一个星期去学。学生在本科期间累计两门课程不及格,就直接被开除。从正面的角度讲,一名学生学习的课程多、成绩好,可以荣誉毕业,这使其在人才市场和研究生申请上具有很强的竞争力。
  具体到数学专业,数学成绩好的学生都意识到,正因为相当比例大众的数学都不是太好,所以自己的数学特长是自己最重要的优势。因为目标明确,所以数学专业的学生一般学习都很刻苦。其他专业的学生如果数学基础好,也会争取在本专业之外再修一个数学副科,甚至修一个本专业和数学专业的双主科或双学位。这个额外的数学副科或主科或第二学位,能使其在本专业几百甚至上千名的毕业生中出类拔萃。
  在中国到美国留学的本科生中,数学基础好的学生一般都能充分发挥自己的数学特长。数学也成为中国在美留学生成绩名列前茅的专业之一。当然,在中国留学生中,也有许多原来数学基础差的学生,要想学好本专业必修的数学课程就已经非常吃力了。
  三、多样化的教材和学习工具
  《世界教育信息》:美国大学的教材选用情况如何?
  叶扬波:美国大学的教材一般分为四类。第一类是由正规出版社出版的教材,此类教材的价格较贵,一般为100~200多美元,印刷质量非常好,同时配备各种习题及答案,还包括网络习题和电子版教材,有些出版社的电子版教材可以直接放在移动电子阅读设备中使用。这类教材四五年更新一次,改动一般不大。因此有些教授表示,学生也可使用老版本的教材,老版本的价格会比新版本便宜很多。第二类是“古早”教材。有些教授特别喜欢用老版本的教材,甚至是三四十年前出版的经典著作。美国出版商一般是先出精装版的书籍,价格很贵。若干年以后,出版商就可以把版权卖给另一个出版社,得到版权的出版社可以出版简装的、平装的图书,价格较之精装版就便宜多了。旧教材价格便宜,内容经典,但也存在一些弊端,如配套材料很少,有些没有习题集,有些年代久远的书中的数学符号已经过时。第三类教材是教授自己编写的讲义。第四类是和出版社“拼书”。教授自己联系出版社,协商好版权事宜,然后出版社给教授制作专门的版本,申请专门的书号。“拼书”教材也经常在复印店里制作,学生可以到复印店购买。   在这几类教材之中,第一类绝对是主流。这些专业出版社出版的新教材虽然价格昂贵,但是其精选的内容和教学方法是其他类教材所不能比拟的。特别是较高的书价能够支撑得起制作精良、服务到位的配套网络教材,使教师可以在线留习题、测验甚至考试,学生可以在线做习题、测验、考试,提交答案后可以实时反馈正误与分数。美国许多大学或者没有助教改习题,或者助教工作量有限,或者大课人数太多,或者小课太多,或者教学经费有限,所有这些都使得这样的网络习题测验考试功能非常受欢迎,对有的大学的某些课程来说甚至是不可或缺的。
  教材的版权在美国是一个非常严肃的问题。复印教材的行为必须在合理使用的范围之内,个人从一本杂志上复印一篇文章,或是从一本专著里复印一两章属于合理使用范围,但整本书、整本杂志的复印是不被允许的。教师为了教学、科研工作,复印某一本书的一两章是可以的,但是教师不能够让所有学生去复印这一两章,要想复印就必须得到出版商授权。举例说明,如果一门微积分课程中包括两周的线性代数,那么教师就会与出版商联系,让出版商授权允许学生复印一章线性代数,或者让出版商授权把这一章内容上传到校内的本课程网站,同时上传授权协议,使得只有学习本课程的学生才能查看这一章的内容。拼书的版权问题就更为复杂,除非内容都是教授自己写的。
  《世界教育信息》:美国大学生上数学课是不是都使用计算器?
  叶扬波:尤其对应用学科来讲,计算器是大学生学习数学的一个重要工具。除了最简单的加减乘除计算器,大学生使用的计算器一般分为三种。最基础的是简单的科学计算器,可以计算指数、对数、三角函数等。再好一些的科学计算器还可以计算导数和定积分。更高一级的图形计算器有画图功能,可以显示函数的图像,也可以编程。对于这些计算器,学数学的学生人手一部,理工科的学生每人至少有两台,对他们学习微积分和其他数学、统计学课程有很大的帮助。
  但是,第二类和第三类计算器的功能太强,会用的学生通过一部计算器就能完成整个微积分考试,而且这些计算器有内存,可以把所有公式都输入进去。因此,有许多教师规定考试时禁用计算器,有些教师只允许学生使用最简单的、没有微积分功能的科学计算器。当然,也有教师放任学生爱用什么计算器就用什么,不管你用什么,会算就行。事实上,让你用图形计算器算微积分,你也得好好学才会用。
  有些学生真是计算器不离手。经常有老师笑谈,说某个学生一个数加零也要用计算器算。话又说回来,要想把数学真正应用到具体实际问题上去,一台好的计算器是不可或缺的。
  四、多种考核方式反映学生的真实学业水平
  《世界教育信息》:请问,贵校数学系对于学生的学习成果是如何进行考核的?
  叶扬波:艾奥瓦大学数学系对学生的评定一般包括期末考试、期中考试、日常测验、习题几个部分。例如,如果一门课程有2次期中考试,那么学生最后的成绩就可能按照这样的比例分配:期末考试分数占30%,2次期中考试分数各占25%,日常测验分数占20%。这种评分模式对学生来说有两点好处:一是避免了课程成绩完全取决于学期末最后几天的考试,减轻了学生的压力;二是可以避免有的学生直到期末考试前才突击学习。期中考试还有一个作用,就是学生如果考试成绩特别差,还有机会退出这门课程,避免熬到期末不及格。这种课程退出机制在美国大学非常普遍,许多教师也鼓励准备不充分的学生尽早退出。入门级数学课程的学生退出率有时候能达到20%以上。
  习题批改一般是由作为助教的研究生负责。当助教无法完成所有批改任务时,有些教师会选择不批改习题,而是通过日常测验来检验学生的学习成果。现在,学生基本上能够在网上搜索到任何类型的数学习题的解答;同时,抄作业的行为很普遍,教授也很难断定一份习题作业是否是学生自己完成的。所以,习题在课程评分中所占的比重相对很低甚至没有。前面说的第一类教科书的配套网络习题系统为了减少习题抄袭现象,专门设计了随机数字机制:不同的学生点开同一道习题,题型一样但是数字不一样。这种网络随机数字习题的效果是普通传统习题方式所绝对不可能达到的。这在很大程度杜绝了习题抄袭,当然也确实有学生可以让其男朋友或女朋友整个学期全程包办做习题。
  《世界教育信息》:美国大学的考试和评分都有哪些特点?
  叶扬波:根据艾奥瓦州的法律,考试时间最长为2个小时,残障人士的考试时间可以延长为正常时间的1.5~2倍。此外,一般不设补考,对于不及格的学生,有的学校会给予重修该门课程的机会,有的学校则没有。学校会对教师评分标准进行宏观的掌控,比如我校对于基础课程的建议给分标准由高到低为A(15%),B(34%),C(40%),D(8%),F(3%),对于高年级的课程给分标准会向高分适当倾斜。各系系主任会对本系每一门课程的给分情况进行审批,因此,理论上不会出现某些教师给分特别严,而其他教师给分特别松的情况。当然,也会出现某个系给分普遍特别严的情况,比如据说有些大学统计系和精算系给分普遍偏低。
  从学生角度来讲,一门课的评分标准的高低至关重要。所以,有许多网站应运而生,有校内的,有校外的,学生选课前可以上网查任课教授的口碑、课程的难易、给分的松紧。学生学完一门课后也会再回到该网站写下自己的经验体会,供学弟学妹们参考。
  艾奥瓦大学数学系还会对新入学的学生进行数学水平测试,目的是测试新生的能力是否达到可以学习某门补修课程或微积分课程的水平。水平较低的学生需要先修一门或多门补修课程,水平较高的学生可以免修《微积分一》《微积分二》,甚至《微积分三》。例如,有些学生在入学时就已经拥有了相当于两学期的微积分水平,那么他就可以从第三学期的微积分学起。我们主要通过以下几点了解新生水平:一是学生的SAT或ACT成绩;二是通过中学成绩单了解学生在中学阶段学了多少门数学课,以及是否学了大学先修课程;三是对学生进行数学水平测试,此类测试一般在网上进行。每学年开始时,我校都会有几千人要进行数学水平测试。如果不用网络测试系统,工作量不堪设想。然而,使用网络测试系统,每人每次十几或几十美元的费用由谁来出,也很困惑。如果中学学习的数学课程已经中断了一年以上,我们建议学生还是要再进行一次数学水平测试,因为对大部分学生来说,数学课中断了一年以上就差不多都忘光了。
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