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解析几何是高中数学的重点内容,它的特点是用代数的方法研究解决几何问题,重点是用“数形结合”的思想把几何问题转化为代数问题.尤其是新课程改革增加了平面向量与导数之后,向量与解析几何、导数与解析几何的融合便成为高考的热点问题之一.这类问题涉及知识面广、综合性强、题目新颖、灵活多样,解题对能力要求较高.充分体现了中学数学中的各种数学思想与数学技能,无论是基础题还是难题都可以将分析问题与解决问题的能力淋漓尽致地反映出来.在考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标指导下,每年的考试对解析几何的考查都占较大的比例,所谓常考常新.下面结合2009年的高考试题谈谈解析几何的命题规律、试题特点以及今后的教学和复习.
1 命题规律
在2009年的19套(文、理共37套)试卷中,与解析几何相关的试题共有130多道,每份试卷分值在25分左右,占总分值的1/6.试题既注重了通性通法,淡化特殊技巧的命题原则,又适度体现了灵活运用技巧解题的空间,真正做到了有效检测考生对解析几何知识中所蕴含的数学思想和方法的掌握程度,具体见下表.
2 试题特点
2.1 突出重点
直线与圆的方程,线性规划,圆锥曲线的定义、坐标方程、几何性质等是支撑解析几何的基石,也是高考命题的基本元素.2009年的考试也十分注重对这些基础知识的考查,其中:
(1)在线性规划题型方面:有8份试卷在小题中考查了直线和线性规划,这些题目大都立足课本但又超出课本. 有的是已知最值求相关的系数(如陕西卷理科11题),体现了数学的逆向思维;有的是和均值不等式结合起来考查(如山东理科第12题).
(2)在直线与圆的题型方面:文理各有20道左右的题目考到圆的基本知识(单纯考直线与圆的基本上是小题,但江苏卷第18题除外);
(3)在圆锥曲线题型方面:和以往的高考一样,在解析几何中全国37份高考数学卷都倾向于圆锥曲线知识的考查. 有的是求圆锥曲线的标准方程;有的是直接考查圆锥曲线的离心率,有的是直线与圆锥曲线的位置关系以及对标准方程、轨迹方程及曲线的几何性质的考查.
试题在考查相应的基础知识的同时,着重考查了基本的数学思想和方法,如湖南卷理20、福建卷理19、海南宁夏卷理20等考查了分类讨论思想;安徽卷理20等考查了数形结合思想;浙江卷理21等考查了函数与方程解决数学问题的方法;除此之外,许多试卷都非常珍惜对考试思维能力和思维品质的考查(如江西卷理16题).
2.2 注重综合
解析几何融合了代数、三角和几何知识,是考查学生综合能力的绝好载体,特别是向量具有代数和几何的双重身份,使得解析几何与平面向量的整合交汇成为近几年高考命题的一个热点;而涉及解析几何的最值问题,常常因为目标函数的多样化,用传统的思维和方法难以奏效,因而新增的导数知识为这类问题的解决提供了新视角、新方法.2009年高考解析几何试题的综合性主要体现在以下几个方面:
2.2.1 平面向量基础知识与解析几何内容有机结合
向量的思想与方法体现了现代数学思想,是衔接初等、高等数学的桥梁之一. 向量具有几何和代数的“双重身份”,平面向量可以用坐标表示,因此以坐标为桥梁,使向量的有关运算与解析几何的坐标运算联系起来,可以用向量及有关的运算工具研究解决几何问题,为解析几何试题的命制开拓了新的思路,为实现在知识网络交汇点处设计试题提供了良好的素材,此类试题已成为近几年数学高考的热点. 09年高考数学中多份试卷涉及到向量,如全国Ⅰ20、湖北理科20、陕西理科21等等. 2.2.2 探究性问题在高考解析几何综合题中都备受命题者青睐
探究性问题是高考根据测试能力的要求,常常出现的一类高考综合试题题型. 因为存在性问题体现理性思维的特征,所以在解析几何综合题中更多的是以探索存在与否的问题体现出来. 存在性问题的表现形式一般有:肯定型、否定型和讨论型. 解决存在性的探索型问题,较少存在现成的思路和常规程序,需要较多的分析和数学思想方法的综合运用,对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括各方面的能力有较高的要求. 如09年高考卷中福建理19、山东理22、上海卷理21等都很好的体现了上述特点.
2.2.3 最值、定值问题作为高考的热点,在高考解析几何综合题中其“热度不减”
最值、定值问题,之所以在高考解几综合题中“热度不减”,原因在于解析几何的主体内容通过最值、定值的提问方式,能将其它章节重要数学知识内容结合起来,能够考查到学生函数的思想、方程的思想以及分类讨论的思想方法,能将学生代数运算能力、推理论证能力和抽象概括能力的考查,天然浑成地贯穿于一道试题之中,体现试题的综合性,这种试题选拔的功能性强,符合高考命题的指导思想,“有助于高校科学公正的选拔人才”. 09年高考有多个省市的解析几何综合题考查到最值、定值. 如江西卷理21、辽宁卷理20、上海卷理21等.
2.2.4 解析几何与其他传统数学内容的综合
解析几何与其他传统数学内容的综合,也是考查的重点和热点. 如与数列、三角函数的联系(安徽卷理科第20题)、与不等式的联系(陕西卷理科第21)、与导数的联系(浙江卷理21题)、以及圆锥曲线与图形面积的结合(在理科的18套试卷中有五套试卷涉及到了面积问题:全国Ⅰ20、湖北20、陕西21,天津9、上海12.这是否对以后的高考复习有所指导值得考虑).
3 教学建议
解析几何部分知识点多,运算量大,能力要求高,综合性强,其高考试题源于教材又高于教材.如何搞好解析几何的教学与复习,简短的篇幅并不能回答这个问题,只能谈几点建议共同仁们参考.
3.1 夯实基础,重视通性通法
深刻理解并熟练掌握解析几何的基础知识和基本方法,是构建有关知识网络的基础,尤其要注重一些常规问题的基本解法,在抓住通性通法的同时,有意识地训练有关减少解析几何运算量的常用解题技巧,从而使学生能迅速、准确地解决问题.同时有必要记住一些重要的结论,或者对一些重要结论要知道推理过程,这有利于解决小题,也有利于大题思路的形成.
3.2 突出重点,注重新旧整合
解析几何的重点是各种曲线的标准方程、几何性质以及基本的数学思想方法.同时还要重视解析几何知识的横向联系以及与其它板块的交叉整合,提高运用函数和方程的思想、向量与导数的方法求解解析几何问题的能力,力争突破高考解析几何综合题这道难关.
3.3 强化运算,力争避繁求简
运算能力是解析几何最突出的特点,而运算的求简意识则集中体现在圆锥曲线的有关综合问题之中,因此,在遵循“设——列——解”的程序化运算的基础上,突出解析几何设而不解的运算本色,努力帮助学生克服重思路方法、轻运算技巧的顽疾,突破如何避繁求简这一瓶颈,充分发挥圆锥曲线的定义和利用平面几何知识化难为易、化繁为简的作用.
3.4 抓好典型题的复习,做到精讲精练
“高考题是最好的复习题”!上一年的高考题往往会成为新一年高考命题的借鉴. 所以,我们通过上面对09年高考解析几何综合题的归类分析,来帮助高三师生在复习过程中,更快地发现哪些内容需要做更多的思考,哪些方法需要更多的训练.
作者简介 钟海荣,男,1982年4月出生,中学数学一级教师,从事高中学数学教学与研究六年,善于探索,勇于创新,治学严谨、业务精良. 有多篇论文在省市级论文评比中获奖.
1 命题规律
在2009年的19套(文、理共37套)试卷中,与解析几何相关的试题共有130多道,每份试卷分值在25分左右,占总分值的1/6.试题既注重了通性通法,淡化特殊技巧的命题原则,又适度体现了灵活运用技巧解题的空间,真正做到了有效检测考生对解析几何知识中所蕴含的数学思想和方法的掌握程度,具体见下表.
2 试题特点
2.1 突出重点
直线与圆的方程,线性规划,圆锥曲线的定义、坐标方程、几何性质等是支撑解析几何的基石,也是高考命题的基本元素.2009年的考试也十分注重对这些基础知识的考查,其中:
(1)在线性规划题型方面:有8份试卷在小题中考查了直线和线性规划,这些题目大都立足课本但又超出课本. 有的是已知最值求相关的系数(如陕西卷理科11题),体现了数学的逆向思维;有的是和均值不等式结合起来考查(如山东理科第12题).
(2)在直线与圆的题型方面:文理各有20道左右的题目考到圆的基本知识(单纯考直线与圆的基本上是小题,但江苏卷第18题除外);
(3)在圆锥曲线题型方面:和以往的高考一样,在解析几何中全国37份高考数学卷都倾向于圆锥曲线知识的考查. 有的是求圆锥曲线的标准方程;有的是直接考查圆锥曲线的离心率,有的是直线与圆锥曲线的位置关系以及对标准方程、轨迹方程及曲线的几何性质的考查.
试题在考查相应的基础知识的同时,着重考查了基本的数学思想和方法,如湖南卷理20、福建卷理19、海南宁夏卷理20等考查了分类讨论思想;安徽卷理20等考查了数形结合思想;浙江卷理21等考查了函数与方程解决数学问题的方法;除此之外,许多试卷都非常珍惜对考试思维能力和思维品质的考查(如江西卷理16题).
2.2 注重综合
解析几何融合了代数、三角和几何知识,是考查学生综合能力的绝好载体,特别是向量具有代数和几何的双重身份,使得解析几何与平面向量的整合交汇成为近几年高考命题的一个热点;而涉及解析几何的最值问题,常常因为目标函数的多样化,用传统的思维和方法难以奏效,因而新增的导数知识为这类问题的解决提供了新视角、新方法.2009年高考解析几何试题的综合性主要体现在以下几个方面:
2.2.1 平面向量基础知识与解析几何内容有机结合
向量的思想与方法体现了现代数学思想,是衔接初等、高等数学的桥梁之一. 向量具有几何和代数的“双重身份”,平面向量可以用坐标表示,因此以坐标为桥梁,使向量的有关运算与解析几何的坐标运算联系起来,可以用向量及有关的运算工具研究解决几何问题,为解析几何试题的命制开拓了新的思路,为实现在知识网络交汇点处设计试题提供了良好的素材,此类试题已成为近几年数学高考的热点. 09年高考数学中多份试卷涉及到向量,如全国Ⅰ20、湖北理科20、陕西理科21等等. 2.2.2 探究性问题在高考解析几何综合题中都备受命题者青睐
探究性问题是高考根据测试能力的要求,常常出现的一类高考综合试题题型. 因为存在性问题体现理性思维的特征,所以在解析几何综合题中更多的是以探索存在与否的问题体现出来. 存在性问题的表现形式一般有:肯定型、否定型和讨论型. 解决存在性的探索型问题,较少存在现成的思路和常规程序,需要较多的分析和数学思想方法的综合运用,对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括各方面的能力有较高的要求. 如09年高考卷中福建理19、山东理22、上海卷理21等都很好的体现了上述特点.
2.2.3 最值、定值问题作为高考的热点,在高考解析几何综合题中其“热度不减”
最值、定值问题,之所以在高考解几综合题中“热度不减”,原因在于解析几何的主体内容通过最值、定值的提问方式,能将其它章节重要数学知识内容结合起来,能够考查到学生函数的思想、方程的思想以及分类讨论的思想方法,能将学生代数运算能力、推理论证能力和抽象概括能力的考查,天然浑成地贯穿于一道试题之中,体现试题的综合性,这种试题选拔的功能性强,符合高考命题的指导思想,“有助于高校科学公正的选拔人才”. 09年高考有多个省市的解析几何综合题考查到最值、定值. 如江西卷理21、辽宁卷理20、上海卷理21等.
2.2.4 解析几何与其他传统数学内容的综合
解析几何与其他传统数学内容的综合,也是考查的重点和热点. 如与数列、三角函数的联系(安徽卷理科第20题)、与不等式的联系(陕西卷理科第21)、与导数的联系(浙江卷理21题)、以及圆锥曲线与图形面积的结合(在理科的18套试卷中有五套试卷涉及到了面积问题:全国Ⅰ20、湖北20、陕西21,天津9、上海12.这是否对以后的高考复习有所指导值得考虑).
3 教学建议
解析几何部分知识点多,运算量大,能力要求高,综合性强,其高考试题源于教材又高于教材.如何搞好解析几何的教学与复习,简短的篇幅并不能回答这个问题,只能谈几点建议共同仁们参考.
3.1 夯实基础,重视通性通法
深刻理解并熟练掌握解析几何的基础知识和基本方法,是构建有关知识网络的基础,尤其要注重一些常规问题的基本解法,在抓住通性通法的同时,有意识地训练有关减少解析几何运算量的常用解题技巧,从而使学生能迅速、准确地解决问题.同时有必要记住一些重要的结论,或者对一些重要结论要知道推理过程,这有利于解决小题,也有利于大题思路的形成.
3.2 突出重点,注重新旧整合
解析几何的重点是各种曲线的标准方程、几何性质以及基本的数学思想方法.同时还要重视解析几何知识的横向联系以及与其它板块的交叉整合,提高运用函数和方程的思想、向量与导数的方法求解解析几何问题的能力,力争突破高考解析几何综合题这道难关.
3.3 强化运算,力争避繁求简
运算能力是解析几何最突出的特点,而运算的求简意识则集中体现在圆锥曲线的有关综合问题之中,因此,在遵循“设——列——解”的程序化运算的基础上,突出解析几何设而不解的运算本色,努力帮助学生克服重思路方法、轻运算技巧的顽疾,突破如何避繁求简这一瓶颈,充分发挥圆锥曲线的定义和利用平面几何知识化难为易、化繁为简的作用.
3.4 抓好典型题的复习,做到精讲精练
“高考题是最好的复习题”!上一年的高考题往往会成为新一年高考命题的借鉴. 所以,我们通过上面对09年高考解析几何综合题的归类分析,来帮助高三师生在复习过程中,更快地发现哪些内容需要做更多的思考,哪些方法需要更多的训练.
作者简介 钟海荣,男,1982年4月出生,中学数学一级教师,从事高中学数学教学与研究六年,善于探索,勇于创新,治学严谨、业务精良. 有多篇论文在省市级论文评比中获奖.