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摘 要：高中立体几何的所有问题无非就是讨论点、线、面三者之间的不同位置关系，其中点与点、点与线、线与线（异面直线除外）的相互位置关系都已在初中平面几何中解决。剩下的点与面、线与面、面与面（包括异面直线）之间的相互位置关系就是高中立体几何学习的主要内容。下面结合例题，阐述平面法向量在立体几何有关空间距离问题当中的重要应用，以期让学生感受这种有别于传统几何法的新方法——向量解法，并体验其过程的新颖别致，感悟其思路的自然流畅，回味其解法的赏心悦目。
关键词：立体几何 空间距离 问题 法向量 破解
立体几何是高中数学学习的一个难点，其难度主要体现在用传统几何方法来解，往往要通过作辅助线、推理、证明等各种手段进行转化，具有很大的灵活性。即传统几何方法要求学生要有一定的空间想象能力和演绎推理能力，这在思维能力上来讲本身就是一个较高的要求。正基于此，导致学生学习立体几何普遍感到困难，对传统几何方法较难接受，甚至一些学生对立体几何的学习产生畏惧心理。而空间向量的引入，特别是高二选修当中平面法向量的介入，为立体几何问题的有效解决提供了一套强有力的工具。
定性来讲，高中立体几何的所有问题无非就是讨论点、线、面三者之间的不同位置关系，其中点与点、点与线、线与线（异面直线除外）的相互位置关系都已在初中平面几何中解决。剩下的点与面、线与面、面与面（包括异面直线）之间的相互位置关系就是高中立体几何学习的主要内容。显然可以看出“面”作为一个独立要素在立体几何的问题讨论中占有不可获缺的重要地位，而平面的法向量定义正是沟通点与面、线与面、面与面之间相互位置关系的最佳载体。至于求空间角与空间距离可以理解为点、线、面三者之间不同位置关系的一种定量分析。
但可惜的是，教材中对平面法向量在立体几何中的应用没有做深入的拓展。使得破解立体几何当中有关平面问题的这一法宝利器依然处于沉睡状态。下面结合例题，阐述平面法向量在立体几何当中的重要应用，以期让学生感受这种有别于传统几何法的新方法——向量解法，并体验其过程的新颖别致，感悟其思路的自然流畅，回味其解法的赏心悦目。
求空间距离类题型共有以下四种情况，如下表所示：
例：已知：正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点。
（1）求异面直线BC与AB1的距离。
（2）求点C到平面A1BD的距离。
（1） 解：在BC、B1C1棱上分别取中点M、N，连接AM、MN。又可知是正三棱柱ABC-A1B1C1，所以如上图建立空间直角坐标系M-xyz。
则M（0，0，0），B（1，0，0，），C（-1，0，0），B1（1，2，0），C1（-1，2，0），
又∵D为CC1的中点，D（-1，1，0）在Rt△ABM中，AM= AB2-BM2= 3。
∴A（0，0， 3），A1（0，2， 3），即：BC=（-2，0，0），AB1=（1，2，- 3），
设n1=（x1，1，z1）是异面直线BC与AB1的一个公共法向量。
∴n1=（0，1， ），又∴BB1=（0，2，0），
设异面直线BC与AB1的距离为d1，
得：d1=
（2）解：∵BD=（-2，1，0），BA1=（1，2，- 3）。
设n2=（1，y2，z2）是平面A1BD的一个法向量，
∴n2=（1，2，- 3），又∵BC=（-2，0，0），
设点C到平面A1BD的距离为d2，
得：d2=
点评：求空间距离是历年高考当中的重点考查内容。其中又以异面直线间的距离、点到平面的距离最为常见。用向量法求异面直线间的距离，先要求出两条异面直线的一个公共法向量，这一点与求平面的法向量步骤完全一样，因此我们对求异面直线间的距离、点到平面的距离就有一个统一的解题模式，这将有利于学生的记忆，增强了用法向量求各种空间距离的可操作性。而线面距离和面面距离都可转化为点面距离来解决。
空间向量的引入，给立体几何的内容注入了新的活力，特别是法向量就好比是立体几何的一把金钥匙，给我们提供了一条新的解题途径，极大地拓宽了学生的视野，丰富了学生的思维结构，其“以算代证”的优势，是传统几何方法所无法比拟的，特别适合空间想象能力弱和作辅助线困难的学生。
望广大考生能充分体会向量解法的优越性，以摧枯拉朽之势“秒杀”立体几何当中有关平面的各种问题。
关键词：立体几何 空间距离 问题 法向量 破解
立体几何是高中数学学习的一个难点，其难度主要体现在用传统几何方法来解，往往要通过作辅助线、推理、证明等各种手段进行转化，具有很大的灵活性。即传统几何方法要求学生要有一定的空间想象能力和演绎推理能力，这在思维能力上来讲本身就是一个较高的要求。正基于此，导致学生学习立体几何普遍感到困难，对传统几何方法较难接受，甚至一些学生对立体几何的学习产生畏惧心理。而空间向量的引入，特别是高二选修当中平面法向量的介入，为立体几何问题的有效解决提供了一套强有力的工具。
定性来讲，高中立体几何的所有问题无非就是讨论点、线、面三者之间的不同位置关系，其中点与点、点与线、线与线（异面直线除外）的相互位置关系都已在初中平面几何中解决。剩下的点与面、线与面、面与面（包括异面直线）之间的相互位置关系就是高中立体几何学习的主要内容。显然可以看出“面”作为一个独立要素在立体几何的问题讨论中占有不可获缺的重要地位，而平面的法向量定义正是沟通点与面、线与面、面与面之间相互位置关系的最佳载体。至于求空间角与空间距离可以理解为点、线、面三者之间不同位置关系的一种定量分析。
但可惜的是，教材中对平面法向量在立体几何中的应用没有做深入的拓展。使得破解立体几何当中有关平面问题的这一法宝利器依然处于沉睡状态。下面结合例题，阐述平面法向量在立体几何当中的重要应用，以期让学生感受这种有别于传统几何法的新方法——向量解法，并体验其过程的新颖别致，感悟其思路的自然流畅，回味其解法的赏心悦目。
求空间距离类题型共有以下四种情况，如下表所示：
例：已知：正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点。
（1）求异面直线BC与AB1的距离。
（2）求点C到平面A1BD的距离。
（1） 解：在BC、B1C1棱上分别取中点M、N，连接AM、MN。又可知是正三棱柱ABC-A1B1C1，所以如上图建立空间直角坐标系M-xyz。
则M（0，0，0），B（1，0，0，），C（-1，0，0），B1（1，2，0），C1（-1，2，0），
又∵D为CC1的中点，D（-1，1，0）在Rt△ABM中，AM= AB2-BM2= 3。
∴A（0，0， 3），A1（0，2， 3），即：BC=（-2，0，0），AB1=（1，2，- 3），
设n1=（x1，1，z1）是异面直线BC与AB1的一个公共法向量。
∴n1=（0，1， ），又∴BB1=（0，2，0），
设异面直线BC与AB1的距离为d1，
得：d1=
（2）解：∵BD=（-2，1，0），BA1=（1，2，- 3）。
设n2=（1，y2，z2）是平面A1BD的一个法向量，
∴n2=（1，2，- 3），又∵BC=（-2，0，0），
设点C到平面A1BD的距离为d2，
得：d2=
点评：求空间距离是历年高考当中的重点考查内容。其中又以异面直线间的距离、点到平面的距离最为常见。用向量法求异面直线间的距离，先要求出两条异面直线的一个公共法向量，这一点与求平面的法向量步骤完全一样，因此我们对求异面直线间的距离、点到平面的距离就有一个统一的解题模式，这将有利于学生的记忆，增强了用法向量求各种空间距离的可操作性。而线面距离和面面距离都可转化为点面距离来解决。
空间向量的引入，给立体几何的内容注入了新的活力，特别是法向量就好比是立体几何的一把金钥匙，给我们提供了一条新的解题途径，极大地拓宽了学生的视野，丰富了学生的思维结构，其“以算代证”的优势，是传统几何方法所无法比拟的，特别适合空间想象能力弱和作辅助线困难的学生。
望广大考生能充分体会向量解法的优越性，以摧枯拉朽之势“秒杀”立体几何当中有关平面的各种问题。