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在高中数学教学中,例、习题的教学占有相当重要的地位,同时,它也蕴含着丰富的教学资源。因此,处理好这部分内容的教学,不仅可以加深概念、法则、定理等的理解、掌握,更重要的是在开发学生智力、培养学生解决问题能力等方面,能发挥其独特的功效。
习题是训练学生的思维素材，是教者将自己的思想、方法以及分析问题和解决问题的技能技巧施达于学生的载体。通过习题的变式教学形成数学的基本思想、基本方法和基本态度所构成的认知体系以及学会用数学的思维方式去考虑问题、处理问题的自觉意识或思维习惯是学生数学素质的核心内容。
现在的教学资源很丰富，教学资料随处可得，用哪种资料的习题，不用哪种资料习题，教师和学生很难作出选择。根据自己多年的高中教学经验，我认为教师所选用的习题应“源于课本”，然后对它进行变式，使它“高于课本”，变式时要紧扣考试说明，以“考纲为纲”。历年的高考题都源于课本，都是课本习题的变式，如何进行课本习题的变式教学？下面谈谈自己的看法。
一、习题变式教学的目的
对于课本的习题，需要教师去领会和研究。在中学数学教学中，搞好习题变式的教学，特别是搞好课本习题的变式教学，不仅能加深基础知识的理解和掌握，更重要的是在开发学生智力，培养和提高学生的数学素质。
二、习题变式教学的原则
1、针对性原则
习题变式教学，不同于习题课的教学，它惯穿于新授课、习题课和复习课，与新授课、习题课和复习课并存，一般情况下不单独成课。因此，对于不同的授课，对习题的变式也应不同。例如，新授课的习题变式应服务于本节课的教学目的；习题课的习题变式应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数学方法；复习课的习题变式不但要渗透数学思想和数学方法，还要进行纵向和横向的联系，同时变式习题要紧扣考纲。在习题变式教学时，要根据教学目标和学生的学习现状，切忌随意性和盲目性。
2、可行性原则
选择课本习题进行变式，不要“变”得过于简单，过于简单的变式题会让学生认为是简单的“重复劳动”，影响学生思维的质量；难度“变”大的变式习题易挫伤学生的学习积极性，使学生难以获得成功的喜悦，长此以往，将使学生丧失自信心，因此，在选择课本习题进行变式时要变得有“度”。
3、参与性原则
在习题变式教学中，教师要让学生主动参与，不要总是教师“变”，学生“练”。要鼓励学生大胆地“变”，培养学生的创新意识和创新精神。
三、习题变式教学的方法
下面以课本的一道习题为例，谈谈习题变式教学的方法。
原题：求曲线上与原点距离最近的点的坐标。
1、条件一般化
条件一般化是指将原题中特殊条件，改为具有普遍性的条件，使题目具有一般性。将课本习题条件一般化，引导学生挖掘条件，是设计变式题首先考虑的一种方法。例如，将原题改为：
变式1：在曲线上求一点M（X，Y），使它到点A（a,0）的距离最短。
将原式的特殊点（原点）改为一般的点A（a,0），这符合由特殊到一般的认识规律，学生容易接受。
2、改变背景
改变背景是指在某些条件不变的情况下，改变另一些条件的形式，使问题得到进一步深化。在教学过程中，变换习题的形式，可激发学生的探求欲望，从而提高学生的创新能力。例如，将原题改为：
变式2：已知抛物线 与直线y=kx+3没有公共点，求k的取值范围。
也可进一步改为：
变式3：已知抛物线与动圆没有公共点，求a的取值范围。
3、联系实际
联系实际是将抽象的数学问题转化为日常生活中常见的问题。要求教师要有丰富的生活经验和数学应用意识，教师在教习题变式的过程中，要创设情景，引起或指引学生进行联想，让学生知道“数学来源于生活”、“生活中充满了数学”、“数学就在你的身边”；通过联系实际的习题变式教学来提高学生应用数学的意识和学习数学的兴趣。例如，将原题改为：
变式4、一只高脚酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式为 ，在杯内放一个玻璃小球，问多大的玻璃小球才能触及酒杯的底部？
这样的变式练习，学生可以实验得出，也可以通过数学方法得出，通过这样的练习一定能提高学生学习数学的兴趣，从而达到教学目的。
4、变换条件和结论
变换条件和结论是将原题的条件和结论都有所变动和加深，但所用的知识不离开“源题”的范围。这种变式习题要根据学生的实际情况和授课类型而定。例如，在高三复习时，可将原题变为：
变式5、是否存在同时满足下列条件的抛物线：（1）准线是；（2）顶点在Y轴上；（3）原点O到此抛物线上的动点P的距离的最小值为2 。若存在，有几条？若不存在，请说明理由。
将常规题变为探索题，是设计变式题的又一途径。由常规题变出来的探索题，对学生来说更具创造性和挑战性。
四、习题变式教学应注意的问题
根据多年的实践经验，在中学数学习题变式教学中，应注意如下几个问题：
1、源于课本，高于课本
在中学数学习题变式教学中，所选用的“源题”应以课本的习题为主，课本习题
均是经过专家学者多次筛选后的题目的精品，我们没有理由放弃它。在教学中我们要精心设计和挖掘课本的习题，编制一题多变、一题多解、一题多用和多题一解以提高学生灵活运用知识的能力。
2、循序渐进，有的放矢
在中学数学习题变式教学中，对习题的变式要循序渐进，有的放矢。例如，在上完《椭圆和它的标准方程》的例3“已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任一点P向X轴作垂线段，求线段中点M的轨迹。”后，可将此题目变为：
变式1、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任一点P向Y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹。
变式2、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任一点P向坐标轴作垂线段，求线段中点M的轨迹方程。
变式3、已知一个椭圆的方程为 ，从这个椭圆上任一点P向x轴作垂线段，求线段中点M的轨迹。
变式4、已知一个椭圆的方程为 ，从这个椭圆上任一点P向坐标轴作垂线段，求线段中点M的轨迹方程。
变式1是对例题的模仿，目的是让学生熟悉利用中间变量法求轨迹的过程；变式2的目的是让学生进一步熟悉利用中间变量法求轨迹的方法，并要进行分步
讨论；四个变式的目的都是让学生掌握利用中间变量法求轨迹的方法。
3、纵向联系,温故知新
在中学数学习题变式教学中，对习题的变式要注意纵向联系，要紧密联系以前所学知识，让学生在学习新知识的同时对旧知识也得到复习、巩固和提高，从而提高学习效率，让学生明白“任何事物都是相互联系的”这一哲学道理。
例如，在学习《抛物线及其标准方程》后，可将课本中的例3“斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长”可变为：
变式1：选择题
经过抛物线的焦点的弦与抛物线相交于两点A、B，以线段AB为直径的圆与抛物线的准线的关系是（）
（A）相交；（B）相切；（C）相离；（D）没办法确定
变式2：证明题
求证：经过抛物线y2=2px的焦点的弦与抛物线相交于两点A、B，以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
变式3：探索题
问：经过抛物线y2=2px的焦点的弦与抛物线相交于两点A、B，以线段AB为直径的圆与抛物线的准线有何关系？
通过上述变式题的练习，既巩固了抛物线的定义，又复习了圆与直线的知识，也复习了梯形的中位线定理等等，从而达到了变式练习的目的。
4、紧扣《考试说明》，万变不离其宗
在中学数学习题变式教学中，习题的变式要紧扣《考试说明》，要以考纲为“纲”进行“变”；不要“变”出一些偏离考纲的“繁、难、杂”题目来浪费学生的宝贵的学习时间和挫伤学生学习数学的兴趣。
总之,在数学教学中引进“变式”教学,可使以例带类、以例启思,有利于在类比、归纳和联想的基础上发展学生的创造力。由于这类问题覆盖面大,综合性强,解题方法灵活,而且具有一定的深度和难度,因此对培养学生的学习兴趣和发展学生的思维具有深远的意义。
习题是训练学生的思维素材，是教者将自己的思想、方法以及分析问题和解决问题的技能技巧施达于学生的载体。通过习题的变式教学形成数学的基本思想、基本方法和基本态度所构成的认知体系以及学会用数学的思维方式去考虑问题、处理问题的自觉意识或思维习惯是学生数学素质的核心内容。
现在的教学资源很丰富，教学资料随处可得，用哪种资料的习题，不用哪种资料习题，教师和学生很难作出选择。根据自己多年的高中教学经验，我认为教师所选用的习题应“源于课本”，然后对它进行变式，使它“高于课本”，变式时要紧扣考试说明，以“考纲为纲”。历年的高考题都源于课本，都是课本习题的变式，如何进行课本习题的变式教学？下面谈谈自己的看法。
一、习题变式教学的目的
对于课本的习题，需要教师去领会和研究。在中学数学教学中，搞好习题变式的教学，特别是搞好课本习题的变式教学，不仅能加深基础知识的理解和掌握，更重要的是在开发学生智力，培养和提高学生的数学素质。
二、习题变式教学的原则
1、针对性原则
习题变式教学，不同于习题课的教学，它惯穿于新授课、习题课和复习课，与新授课、习题课和复习课并存，一般情况下不单独成课。因此，对于不同的授课，对习题的变式也应不同。例如，新授课的习题变式应服务于本节课的教学目的；习题课的习题变式应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数学方法；复习课的习题变式不但要渗透数学思想和数学方法，还要进行纵向和横向的联系，同时变式习题要紧扣考纲。在习题变式教学时，要根据教学目标和学生的学习现状，切忌随意性和盲目性。
2、可行性原则
选择课本习题进行变式，不要“变”得过于简单，过于简单的变式题会让学生认为是简单的“重复劳动”，影响学生思维的质量；难度“变”大的变式习题易挫伤学生的学习积极性，使学生难以获得成功的喜悦，长此以往，将使学生丧失自信心，因此，在选择课本习题进行变式时要变得有“度”。
3、参与性原则
在习题变式教学中，教师要让学生主动参与，不要总是教师“变”，学生“练”。要鼓励学生大胆地“变”，培养学生的创新意识和创新精神。
三、习题变式教学的方法
下面以课本的一道习题为例，谈谈习题变式教学的方法。
原题：求曲线上与原点距离最近的点的坐标。
1、条件一般化
条件一般化是指将原题中特殊条件，改为具有普遍性的条件，使题目具有一般性。将课本习题条件一般化，引导学生挖掘条件，是设计变式题首先考虑的一种方法。例如，将原题改为：
变式1：在曲线上求一点M（X，Y），使它到点A（a,0）的距离最短。
将原式的特殊点（原点）改为一般的点A（a,0），这符合由特殊到一般的认识规律，学生容易接受。
2、改变背景
改变背景是指在某些条件不变的情况下，改变另一些条件的形式，使问题得到进一步深化。在教学过程中，变换习题的形式，可激发学生的探求欲望，从而提高学生的创新能力。例如，将原题改为：
变式2：已知抛物线 与直线y=kx+3没有公共点，求k的取值范围。
也可进一步改为：
变式3：已知抛物线与动圆没有公共点，求a的取值范围。
3、联系实际
联系实际是将抽象的数学问题转化为日常生活中常见的问题。要求教师要有丰富的生活经验和数学应用意识，教师在教习题变式的过程中，要创设情景，引起或指引学生进行联想，让学生知道“数学来源于生活”、“生活中充满了数学”、“数学就在你的身边”；通过联系实际的习题变式教学来提高学生应用数学的意识和学习数学的兴趣。例如，将原题改为：
变式4、一只高脚酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式为 ，在杯内放一个玻璃小球，问多大的玻璃小球才能触及酒杯的底部？
这样的变式练习，学生可以实验得出，也可以通过数学方法得出，通过这样的练习一定能提高学生学习数学的兴趣，从而达到教学目的。
4、变换条件和结论
变换条件和结论是将原题的条件和结论都有所变动和加深，但所用的知识不离开“源题”的范围。这种变式习题要根据学生的实际情况和授课类型而定。例如，在高三复习时，可将原题变为：
变式5、是否存在同时满足下列条件的抛物线：（1）准线是；（2）顶点在Y轴上；（3）原点O到此抛物线上的动点P的距离的最小值为2 。若存在，有几条？若不存在，请说明理由。
将常规题变为探索题，是设计变式题的又一途径。由常规题变出来的探索题，对学生来说更具创造性和挑战性。
四、习题变式教学应注意的问题
根据多年的实践经验，在中学数学习题变式教学中，应注意如下几个问题：
1、源于课本，高于课本
在中学数学习题变式教学中，所选用的“源题”应以课本的习题为主，课本习题
均是经过专家学者多次筛选后的题目的精品，我们没有理由放弃它。在教学中我们要精心设计和挖掘课本的习题，编制一题多变、一题多解、一题多用和多题一解以提高学生灵活运用知识的能力。
2、循序渐进，有的放矢
在中学数学习题变式教学中，对习题的变式要循序渐进，有的放矢。例如，在上完《椭圆和它的标准方程》的例3“已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任一点P向X轴作垂线段，求线段中点M的轨迹。”后，可将此题目变为：
变式1、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任一点P向Y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹。
变式2、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任一点P向坐标轴作垂线段，求线段中点M的轨迹方程。
变式3、已知一个椭圆的方程为 ，从这个椭圆上任一点P向x轴作垂线段，求线段中点M的轨迹。
变式4、已知一个椭圆的方程为 ，从这个椭圆上任一点P向坐标轴作垂线段，求线段中点M的轨迹方程。
变式1是对例题的模仿，目的是让学生熟悉利用中间变量法求轨迹的过程；变式2的目的是让学生进一步熟悉利用中间变量法求轨迹的方法，并要进行分步
讨论；四个变式的目的都是让学生掌握利用中间变量法求轨迹的方法。
3、纵向联系,温故知新
在中学数学习题变式教学中，对习题的变式要注意纵向联系，要紧密联系以前所学知识，让学生在学习新知识的同时对旧知识也得到复习、巩固和提高，从而提高学习效率，让学生明白“任何事物都是相互联系的”这一哲学道理。
例如，在学习《抛物线及其标准方程》后，可将课本中的例3“斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长”可变为：
变式1：选择题
经过抛物线的焦点的弦与抛物线相交于两点A、B，以线段AB为直径的圆与抛物线的准线的关系是（）
（A）相交；（B）相切；（C）相离；（D）没办法确定
变式2：证明题
求证：经过抛物线y2=2px的焦点的弦与抛物线相交于两点A、B，以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
变式3：探索题
问：经过抛物线y2=2px的焦点的弦与抛物线相交于两点A、B，以线段AB为直径的圆与抛物线的准线有何关系？
通过上述变式题的练习，既巩固了抛物线的定义，又复习了圆与直线的知识，也复习了梯形的中位线定理等等，从而达到了变式练习的目的。
4、紧扣《考试说明》，万变不离其宗
在中学数学习题变式教学中，习题的变式要紧扣《考试说明》，要以考纲为“纲”进行“变”；不要“变”出一些偏离考纲的“繁、难、杂”题目来浪费学生的宝贵的学习时间和挫伤学生学习数学的兴趣。
总之,在数学教学中引进“变式”教学,可使以例带类、以例启思,有利于在类比、归纳和联想的基础上发展学生的创造力。由于这类问题覆盖面大,综合性强,解题方法灵活,而且具有一定的深度和难度,因此对培养学生的学习兴趣和发展学生的思维具有深远的意义。