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【关键词】数学计算 数学规律 推导
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2015）04A-
0076-02
数学规律题的逻辑性、抽象性很强，学生解答时要具备较强的识记能力和理解能力，具备一定的分析推理能力。教师应根据初中生的心理特征、知识基础、认知结构等实际，结合题意，合理设问质疑，引导学生从最熟悉的计算切入，激励和唤醒学生的积极思维，启发学生通过观察、分析、猜想、尝试、计算、推理、归纳等过程，严谨地推导数学规律题，让每个学生跳一跳都能摘到“果子”。“题”让学生自己解，“法”让学生自己探，通过尝试计算找到规律，创造性地应用所学知识。
教学时，教师应启发七年级新生从熟悉的知识了解规律题，尝试计算推导数学规律题，掌握要领。首先，营造一个轻松的学习氛围，由易到难、循序渐进、逐步深入，引导学生积极参与到学习中。其次，用小学的规律题举例填空，体验成功的快乐，提高学习的兴趣。最后，引伸到用字母表示数的规律题，使教师想说的结论由学生亲口说出来，教师的想法在学生的头脑中显现出来，掌握答题要领。
例1，填空：2，4，6，8，10 ，14；学生脱口而出：“填12。”笔者顺势由此题变形为以下的题目：
例2，有一数列为：2，4，6，8，10，12，14……第20个数为 ；第100个数为 ；第n个数为 。通过设问启发学生理解题意，如问“12”是第几个数？学生很容易找到“12”是第6个数。再问“12”是怎样算出来的？有几种算法？学生积极思考，答案并不唯一。如：10+2=12、14-2=12、2+2×5=12、2×6=12等。承前启后，激励学生类比例1算法推导例2。学生通过独立思考，解得第20个数为“40”，并归纳出用到第20个数中的“20”，即20×2=40这个算法快，乘胜追击第100个数为200，第n个数为2n。引导学生总结归纳，综合列表如下：
这样列表，学生一目了然，理解“位置数”，并知道可以用“位置数”参与表示对应项的值，计算方式不变，体验如何尝试计算推导规律题的全过程，让旧知迅速正迁移到规律题。
七年级学生多加练习，积累数感，可以尝试计算，列出如例2的表格，解出规律题。而启发八、九年级的学生，则应通过尝试计算推导比较复杂的数学规律题，一般可分以下四个步骤。
一、初步理解题意，拓展到最近发展区
经过初步读题，承前启后，迅速拓展已知。举一些新的例子，有数的添上新数，有式子的添写新式，有图的添画新图…… 引导学生迈开第一步。降低难度，化难为易，分层次启发学生尝试解题，层层深入到规律中，让每个学生学到相应的数学知识。教会学生观察、分析、思考，承上启下，以此类推，拓展到最近发展区，让学生初步理解题意。
例3，观察下列各式，探索、拓展规律：13=12；13+23=9；13+23+33=36……用含正整数n的等式表示你所发现的规律为 。启发学生先解答：“第4个式子为 。”“第5个式子为 。”……是否有简便算法？
例4，将一些半径相同的小圆，按如下图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆……以此类推，第6个图形有 个小圆，第n个图形有 个小圆。
第1个图形 第2个图形 第3个图形
启发学生先解答：“第4个图形为 ，第5个图形为 .”“分别用几个小圆？若不画图可否猜想出第6个图形的小圆个数？”……通过举更多具体的例子，达到最近发展区，直到学生读懂题意、理解题意为止。此时，教师还可以迎难而上，让学生快速计算位置数较大时对应项的值。试一试，如例题3的第100个式子是 ？如例题4的第50个图形的小圆个数是 ？
二、进行尝试计算，发掘表达式
在初步理解题意的基础上，列表探索“位置数”较大时，会简便计算相应项的值，结合例子，由简到繁，耐心尝试，找到一致算法挖掘表达式。大胆猜想，由第1个例子到第2个例子……尝试对比，从推理过程或从结论的数量特点，直接或间接用“位置数”推出相应项的值，且计算的方式一致，适合每个例子。经历从特殊到一般的分析、推理、归纳的过程，围绕“位置数”不断猜想、尝试，找到符合题意的计算方式，挖掘出表达式，一般从以下两种情况进行尝试计算。
（一）从结论的特征发现规律
首先观察例子，结论有明显特征的，就猜想着手变形，直接或间接发现有特定的变化规律。如例3，每个式子的左边已经熟悉，重点对比每个式子的右边，依次为：1，9，36，100，……即变形为特征数列得：12，32，62，102，……依此，原式可变形特征式：
第1个式子：13=12=1
第2个式子：13+23=（1+2）2=9
第3个式子：13+23+33=（1+2+3）2=36
……
第100个式子：13+23+…+993+1003=（1+2+…+99+100）2=〔〕2
=〔×（1+100）〕2=25502500.
……
最后，发掘出表达式，找到通用的、简便的计算方式，用“位置数”计算相应项的值，算法相同。
第n个式子：13+23+…+（n-1）3+n3=〔1+2+…+（n-1）+n〕2
=〔（1+n）〕2=
（二）从计算的过程中发现规律
例4 经过尝试计算可成功列出如例2的表格：
解得第n个圆形的小圆个数为n（n+1）+4。此类题目从推理的过程中，存在某种计算方式，从简单第1个例可引伸到所有例，抓住变量与不变量挖掘出表达式，用“位置数”计算相应项的值。
一般来说，在尝试计算时，列表罗列已知例子，对比过程或结论，把“位置数”套到通用的算法中，可以合理推导出表达式，拓展到中等发展区。
三、推证表达式，确定规律
乘胜追击，做到心中有数，验证表达式的合理性。首先，用“位置数”代入表达式，求出相应项的结论；其次，据“初步理解题意”拓展到的最近发展区，直观形象地计算出该“位置数”相应项的结论；最后，对比两类计算的结论，若“位置数”相同，结论也相同时，则该表达式正确，成功找到规律，反之，该表达式不正确，需要重新进行尝试计算。
如例3 计算第4个式子：13+23+33+43= 时，把“位置数”4即把n=4 代入表达式：13+23+…（n-1）3+n3=[1+2+ …+（n-1）+n]2，算出13+23+33+43=（1+2+3+4）2=100.
而按初步理解时直接计算：13+23+33+43=1+8+27+64=100，两类算法一致。
以此类推，用第5、第6、第7、第8……等式子检验都成功，则可验证所得表达式正确。
四、运用规律，解答问题
解规律题时，把表达式当成一个公式，围绕“位置数”进行合理分析，这样，学生就能快速、正确地解答规律题。初中阶段，需要熟练掌握以下两种类型：
（一）顺用表达式——已知某个“位置数”，求相应项的结论
如例3 第10个式子是 。
把n=10代入表达式：13+23+…（n-1）3+n3=[1+2+…+（n-1）+n]2中得13+23+…93+103=（1+2+…+9+10）2=3025
（二）逆用规律式——已知某项的结论，求相应的“位置数”
如例4 用2554个小圆围成的是第 个图。设围成的是第n个图，把2554代入表达式得：n（n+1）+4=2554
解得：n=50.
这样，当学生熟悉规律探索过程，理解“位置数”与“相应项的值”一一对应时，运用表达式可以简便解答规律题。
通过以上例子表述，营造以学生为主体的课堂，老师少说，穿针引线暗地忙；学生多做，养成刻苦钻研的习惯，遇到陌生的规律题，掌握以上方法，大胆尝试计算后，就能找出潜在的规律，迅速解答。
（责编 林 剑）
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2015）04A-
0076-02
数学规律题的逻辑性、抽象性很强，学生解答时要具备较强的识记能力和理解能力，具备一定的分析推理能力。教师应根据初中生的心理特征、知识基础、认知结构等实际，结合题意，合理设问质疑，引导学生从最熟悉的计算切入，激励和唤醒学生的积极思维，启发学生通过观察、分析、猜想、尝试、计算、推理、归纳等过程，严谨地推导数学规律题，让每个学生跳一跳都能摘到“果子”。“题”让学生自己解，“法”让学生自己探，通过尝试计算找到规律，创造性地应用所学知识。
教学时，教师应启发七年级新生从熟悉的知识了解规律题，尝试计算推导数学规律题，掌握要领。首先，营造一个轻松的学习氛围，由易到难、循序渐进、逐步深入，引导学生积极参与到学习中。其次，用小学的规律题举例填空，体验成功的快乐，提高学习的兴趣。最后，引伸到用字母表示数的规律题，使教师想说的结论由学生亲口说出来，教师的想法在学生的头脑中显现出来，掌握答题要领。
例1，填空：2，4，6，8，10 ，14；学生脱口而出：“填12。”笔者顺势由此题变形为以下的题目：
例2，有一数列为：2，4，6，8，10，12，14……第20个数为 ；第100个数为 ；第n个数为 。通过设问启发学生理解题意，如问“12”是第几个数？学生很容易找到“12”是第6个数。再问“12”是怎样算出来的？有几种算法？学生积极思考，答案并不唯一。如：10+2=12、14-2=12、2+2×5=12、2×6=12等。承前启后，激励学生类比例1算法推导例2。学生通过独立思考，解得第20个数为“40”，并归纳出用到第20个数中的“20”，即20×2=40这个算法快，乘胜追击第100个数为200，第n个数为2n。引导学生总结归纳，综合列表如下：
这样列表，学生一目了然，理解“位置数”，并知道可以用“位置数”参与表示对应项的值，计算方式不变，体验如何尝试计算推导规律题的全过程，让旧知迅速正迁移到规律题。
七年级学生多加练习，积累数感，可以尝试计算，列出如例2的表格，解出规律题。而启发八、九年级的学生，则应通过尝试计算推导比较复杂的数学规律题，一般可分以下四个步骤。
一、初步理解题意，拓展到最近发展区
经过初步读题，承前启后，迅速拓展已知。举一些新的例子，有数的添上新数，有式子的添写新式，有图的添画新图…… 引导学生迈开第一步。降低难度，化难为易，分层次启发学生尝试解题，层层深入到规律中，让每个学生学到相应的数学知识。教会学生观察、分析、思考，承上启下，以此类推，拓展到最近发展区，让学生初步理解题意。
例3，观察下列各式，探索、拓展规律：13=12；13+23=9；13+23+33=36……用含正整数n的等式表示你所发现的规律为 。启发学生先解答：“第4个式子为 。”“第5个式子为 。”……是否有简便算法？
例4，将一些半径相同的小圆，按如下图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆……以此类推，第6个图形有 个小圆，第n个图形有 个小圆。
第1个图形 第2个图形 第3个图形
启发学生先解答：“第4个图形为 ，第5个图形为 .”“分别用几个小圆？若不画图可否猜想出第6个图形的小圆个数？”……通过举更多具体的例子，达到最近发展区，直到学生读懂题意、理解题意为止。此时，教师还可以迎难而上，让学生快速计算位置数较大时对应项的值。试一试，如例题3的第100个式子是 ？如例题4的第50个图形的小圆个数是 ？
二、进行尝试计算，发掘表达式
在初步理解题意的基础上，列表探索“位置数”较大时，会简便计算相应项的值，结合例子，由简到繁，耐心尝试，找到一致算法挖掘表达式。大胆猜想，由第1个例子到第2个例子……尝试对比，从推理过程或从结论的数量特点，直接或间接用“位置数”推出相应项的值，且计算的方式一致，适合每个例子。经历从特殊到一般的分析、推理、归纳的过程，围绕“位置数”不断猜想、尝试，找到符合题意的计算方式，挖掘出表达式，一般从以下两种情况进行尝试计算。
（一）从结论的特征发现规律
首先观察例子，结论有明显特征的，就猜想着手变形，直接或间接发现有特定的变化规律。如例3，每个式子的左边已经熟悉，重点对比每个式子的右边，依次为：1，9，36，100，……即变形为特征数列得：12，32，62，102，……依此，原式可变形特征式：
第1个式子：13=12=1
第2个式子：13+23=（1+2）2=9
第3个式子：13+23+33=（1+2+3）2=36
……
第100个式子：13+23+…+993+1003=（1+2+…+99+100）2=〔〕2
=〔×（1+100）〕2=25502500.
……
最后，发掘出表达式，找到通用的、简便的计算方式，用“位置数”计算相应项的值，算法相同。
第n个式子：13+23+…+（n-1）3+n3=〔1+2+…+（n-1）+n〕2
=〔（1+n）〕2=
（二）从计算的过程中发现规律
例4 经过尝试计算可成功列出如例2的表格：
解得第n个圆形的小圆个数为n（n+1）+4。此类题目从推理的过程中，存在某种计算方式，从简单第1个例可引伸到所有例，抓住变量与不变量挖掘出表达式，用“位置数”计算相应项的值。
一般来说，在尝试计算时，列表罗列已知例子，对比过程或结论，把“位置数”套到通用的算法中，可以合理推导出表达式，拓展到中等发展区。
三、推证表达式，确定规律
乘胜追击，做到心中有数，验证表达式的合理性。首先，用“位置数”代入表达式，求出相应项的结论；其次，据“初步理解题意”拓展到的最近发展区，直观形象地计算出该“位置数”相应项的结论；最后，对比两类计算的结论，若“位置数”相同，结论也相同时，则该表达式正确，成功找到规律，反之，该表达式不正确，需要重新进行尝试计算。
如例3 计算第4个式子：13+23+33+43= 时，把“位置数”4即把n=4 代入表达式：13+23+…（n-1）3+n3=[1+2+ …+（n-1）+n]2，算出13+23+33+43=（1+2+3+4）2=100.
而按初步理解时直接计算：13+23+33+43=1+8+27+64=100，两类算法一致。
以此类推，用第5、第6、第7、第8……等式子检验都成功，则可验证所得表达式正确。
四、运用规律，解答问题
解规律题时，把表达式当成一个公式，围绕“位置数”进行合理分析，这样，学生就能快速、正确地解答规律题。初中阶段，需要熟练掌握以下两种类型：
（一）顺用表达式——已知某个“位置数”，求相应项的结论
如例3 第10个式子是 。
把n=10代入表达式：13+23+…（n-1）3+n3=[1+2+…+（n-1）+n]2中得13+23+…93+103=（1+2+…+9+10）2=3025
（二）逆用规律式——已知某项的结论，求相应的“位置数”
如例4 用2554个小圆围成的是第 个图。设围成的是第n个图，把2554代入表达式得：n（n+1）+4=2554
解得：n=50.
这样，当学生熟悉规律探索过程，理解“位置数”与“相应项的值”一一对应时，运用表达式可以简便解答规律题。
通过以上例子表述，营造以学生为主体的课堂，老师少说，穿针引线暗地忙；学生多做，养成刻苦钻研的习惯，遇到陌生的规律题，掌握以上方法，大胆尝试计算后，就能找出潜在的规律，迅速解答。
（责编 林 剑）