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摘 要：三角函数在中学数学中占有很高的地位，且公式繁多，知识结构复杂，学生在解题中容易出现很多不该出现的错误。就此，我们利用例题的形式，从易导致错误的五个方面进行阐述。
关键词：三角函数 错误 例子 剖析
三角函数是中学数学的核心内容之一，本章公式繁多，知识结构复杂，而且涉及到函数的很多重要性质，学生在应用中往往容易出现很多错误。下面就个人在教学中遇到的某些问题通过例子作出剖析。
一、公式记不牢，导致结果错误
例1．化简：sin(a+12°)sin(18°-a)-cos(a+12°)cos(18°-a)
【错解】：原式=cos[(a+12°)+(18°-a)
=cos30°=
【错因分析】：这是一种常见错误，原因是对公式记不牢，符号弄错。
【正确解法】：
原式=-[cos(a+12°)cos(18°-a)-sin(a+12°)sin(18°-a)]=-cos[(a+12°)+(18°-a)]
=-cos30°=-
例2化简：cos(nπ+a)+cos（nπ-a） （n∈Z）
【错解】：原式=cosa+cos（-a）=2cosa
【错因分析】：错在没有对n进行讨论，关键是对诱导公式（一）没有理解透，公式（一）中的角为kπ+a ，即一定要是π的偶数倍加a。
【正确解法】：
（1）当n为奇数时，令a=2k+1（k∈Z）
原式=cos[(2k+1)π+a]+cos[(2k+1)π-a ]
=cos(π+a)+cos(πa)
=-cosa-cosa=-2cosa
(2)当n为偶数时，令 =a=2k(k∈Z）
原式＝cos(2kπ+a)+cos(2kπ-a)
=cosa+cos(-2)
=2cosa
二、在求值中，忽视题目所给条件——角的范围，导致结论错误
例3已知sin(π-a)-cos(π+a )= (＜a＜π)求cosa-sina的值。
【错解】：∵sin(π-a)=sina， cos(π+a)=-cosa
∴sin(π-a)-cos(π+a)=sina+cosa=
两边平方得：2sinacosa=-
∴coaa-sina==
==
【错因分析】：本题在求coaa-sina的值时，利用了平方、开方运算，忽略了符号问题，从而导致出错。
【正确解法】：∵（＜a＜π）
∴sina＞0 coaa＜0coaa-sina＜0
∴coaa-sina==-
例4已知0＜a＜＜β＜π，sina= ，cos(a+β)
=- ，求sinβ的值。
【错解】：
∵0＜a＜，sina=
∴cosa=
又∵＜β＜π∴＜a+β＜
由cos(a+β)=-得sin(a+β)=±
（1）当sin(a+β)=时
sinβ=sin[(a +β)- a]
=sin(a+β)cosa-cos(a+β)sina=
（2）同理当sin(a+β)=-时，sinβ=-×－（-）×=0
错因分析：本题在求sin(a+β)的值时充分考虑到了a+β的范围，但由于忽略了＜β＜π这一条件，故sinβ＞0，也就是说sin (a+β)=-是不成立的，即sinβ=0应舍去，正确答案只有一解：sinβ=。
三、忽略题目中的隐含条件，导致错误。
例5：已知sina-sinβ=- ①
cosa-cosβ=②
且 a、β∈（0， ），试求tan(a-β)的值。
【错解】：由①2+②2并整理得cos(a-β)=又∵a 、β∈（0， ）
∴-＜a-β＜
∴sin(a-β)=±2=±
∴tan (a-β)=±
【错因分析】：以上解题过程似乎推理严谨，无懈可击，但只
要认真观察便可发现，条件sina-sinβ=-中隐含了“a＜β”，故sin(a-β)=-（只能取“-”），tan(a-β)= -
例6已知a 、β均为锐角，且sina= ，sinβ=，求a+β。
【错解】：因为a、β均为锐角，故cosa=，cosβ=
所以，sin(a+β)=sinacosβ+cosasinβ=×+×=
∴a+β=或a+β=
【错因分析】：从以上解题过程来看，既考虑到了条件a、β均为锐角，同时在由sin(a+β)=时，也考虑到了（a+β）可能在第一象限，也可能在第二象限，故a+β=或a+β=。但就是没有注意到题目已具体给出了a、β的三角函数值，从而a、β的范围是可进一步作出判断的。因为sina=＜，sinβ=＜。所以，0＜a＜，0＜β＜，0＜a+β＜，从而a+β是一个锐角，所以，a+β=
四、忽视三角函数的有界性，导致错误。
例7：求y=sim2a-4cosa+3值域
【错解】：因为y=-cos2a-4cosa+4
=-(cosa+2)2+8
所以：当cosa=-2时，ymax=8
当cosa=1时，ymin=-1
∴函数的值域为[-1，8]
【错因分析】：没有注意到正弦函数的值域
即 ∣cosa∣≤1，cosa=-2显然是错误的
【正确解法】：因为y=-（cos +2)2 +8
又因为-1≤cosa≤1
所以：当cosa=-1时，ymax=7
当cosa=1时，ymin=-1
∴原函数的值域是[-1，7]
例8求函数f(a)=sinacosa+sina+cosa的值域。
【错解】令sina+cosa=t，则sinacosa=
∴f(t)=+t=t+t-=[(t+1)-1]-
=(t+1)-1
∴当t=-1时，fmin=-1
∴原函数的值域是：[-1，+∞]
【错因分析】：在令sina+cosa=t后，没有由三角函数的性质，求出t的范围，即|t|≤ ，就直接由配方法求二次函数的最值。
【正确解法】：令sina+cosa=t，（|x|≤ 2），则
sinacosa=
∴f(t)=+t=(t+1)-1
∵- ≤t=
∴当t=-1时，fmin=-1
当t=时，fmax=+
∴原函数的值域是：[-1， ]
五、图象的平移变换
例9要得到函数y=sin（2a-）的图象，只要将函数
y=sin2a的图象即可得到。
【错解】：只要将y=sina图象右移个单位，即得到y=sin（2a-）的图象。
【错因分析】：这是学生常犯的一种错误，图象的平移过程中忽略了左、右平移是针对自变量而言的。
【正确解法】：因为y=sin（2a -）=sin2(a-），故应是把y=sin2a的图象右移个单位而得到y=sin(2a-)的图象。
例10 要得到函数y=sin(2x-) 的图像，只要将函数y=sin的图像（）
A)先把每个x值缩小到原来的倍，y值不变，再向右平移个单位长度
B)先把每个值扩大到原来的4倍，y值不变，再向左平移个单位长度
C) 先把每个值扩大到原来的4倍，y值不变，再向左平移个单位长度
D) 先把每个值扩大到原来的倍，y值不变，再向右平移个 单位长度
【错解】：A
【错因分析】：把y=sinx变为y=sin(2x-),即变为y=sin2(x-)，应当向右平移个单位，有的同学错误地认为是平移 个单位长度，这样导致错误，所以选A。
【正确解法】：D。把y=sin(2x-)变为y=sin2（x-)） ，把y=sin的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x，再把y=sin2x的图像向右平移个单位长度，纵坐标不变，得到y=sin2(x-)，即y=sin(2x-)。
参考文献：
张泉著《世纪金榜（高中版）》2008年3月延边大学出版社。
关键词：三角函数 错误 例子 剖析
三角函数是中学数学的核心内容之一，本章公式繁多，知识结构复杂，而且涉及到函数的很多重要性质，学生在应用中往往容易出现很多错误。下面就个人在教学中遇到的某些问题通过例子作出剖析。
一、公式记不牢，导致结果错误
例1．化简：sin(a+12°)sin(18°-a)-cos(a+12°)cos(18°-a)
【错解】：原式=cos[(a+12°)+(18°-a)
=cos30°=
【错因分析】：这是一种常见错误，原因是对公式记不牢，符号弄错。
【正确解法】：
原式=-[cos(a+12°)cos(18°-a)-sin(a+12°)sin(18°-a)]=-cos[(a+12°)+(18°-a)]
=-cos30°=-
例2化简：cos(nπ+a)+cos（nπ-a） （n∈Z）
【错解】：原式=cosa+cos（-a）=2cosa
【错因分析】：错在没有对n进行讨论，关键是对诱导公式（一）没有理解透，公式（一）中的角为kπ+a ，即一定要是π的偶数倍加a。
【正确解法】：
（1）当n为奇数时，令a=2k+1（k∈Z）
原式=cos[(2k+1)π+a]+cos[(2k+1)π-a ]
=cos(π+a)+cos(πa)
=-cosa-cosa=-2cosa
(2)当n为偶数时，令 =a=2k(k∈Z）
原式＝cos(2kπ+a)+cos(2kπ-a)
=cosa+cos(-2)
=2cosa
二、在求值中，忽视题目所给条件——角的范围，导致结论错误
例3已知sin(π-a)-cos(π+a )= (＜a＜π)求cosa-sina的值。
【错解】：∵sin(π-a)=sina， cos(π+a)=-cosa
∴sin(π-a)-cos(π+a)=sina+cosa=
两边平方得：2sinacosa=-
∴coaa-sina==
==
【错因分析】：本题在求coaa-sina的值时，利用了平方、开方运算，忽略了符号问题，从而导致出错。
【正确解法】：∵（＜a＜π）
∴sina＞0 coaa＜0coaa-sina＜0
∴coaa-sina==-
例4已知0＜a＜＜β＜π，sina= ，cos(a+β)
=- ，求sinβ的值。
【错解】：
∵0＜a＜，sina=
∴cosa=
又∵＜β＜π∴＜a+β＜
由cos(a+β)=-得sin(a+β)=±
（1）当sin(a+β)=时
sinβ=sin[(a +β)- a]
=sin(a+β)cosa-cos(a+β)sina=
（2）同理当sin(a+β)=-时，sinβ=-×－（-）×=0
错因分析：本题在求sin(a+β)的值时充分考虑到了a+β的范围，但由于忽略了＜β＜π这一条件，故sinβ＞0，也就是说sin (a+β)=-是不成立的，即sinβ=0应舍去，正确答案只有一解：sinβ=。
三、忽略题目中的隐含条件，导致错误。
例5：已知sina-sinβ=- ①
cosa-cosβ=②
且 a、β∈（0， ），试求tan(a-β)的值。
【错解】：由①2+②2并整理得cos(a-β)=又∵a 、β∈（0， ）
∴-＜a-β＜
∴sin(a-β)=±2=±
∴tan (a-β)=±
【错因分析】：以上解题过程似乎推理严谨，无懈可击，但只
要认真观察便可发现，条件sina-sinβ=-中隐含了“a＜β”，故sin(a-β)=-（只能取“-”），tan(a-β)= -
例6已知a 、β均为锐角，且sina= ，sinβ=，求a+β。
【错解】：因为a、β均为锐角，故cosa=，cosβ=
所以，sin(a+β)=sinacosβ+cosasinβ=×+×=
∴a+β=或a+β=
【错因分析】：从以上解题过程来看，既考虑到了条件a、β均为锐角，同时在由sin(a+β)=时，也考虑到了（a+β）可能在第一象限，也可能在第二象限，故a+β=或a+β=。但就是没有注意到题目已具体给出了a、β的三角函数值，从而a、β的范围是可进一步作出判断的。因为sina=＜，sinβ=＜。所以，0＜a＜，0＜β＜，0＜a+β＜，从而a+β是一个锐角，所以，a+β=
四、忽视三角函数的有界性，导致错误。
例7：求y=sim2a-4cosa+3值域
【错解】：因为y=-cos2a-4cosa+4
=-(cosa+2)2+8
所以：当cosa=-2时，ymax=8
当cosa=1时，ymin=-1
∴函数的值域为[-1，8]
【错因分析】：没有注意到正弦函数的值域
即 ∣cosa∣≤1，cosa=-2显然是错误的
【正确解法】：因为y=-（cos +2)2 +8
又因为-1≤cosa≤1
所以：当cosa=-1时，ymax=7
当cosa=1时，ymin=-1
∴原函数的值域是[-1，7]
例8求函数f(a)=sinacosa+sina+cosa的值域。
【错解】令sina+cosa=t，则sinacosa=
∴f(t)=+t=t+t-=[(t+1)-1]-
=(t+1)-1
∴当t=-1时，fmin=-1
∴原函数的值域是：[-1，+∞]
【错因分析】：在令sina+cosa=t后，没有由三角函数的性质，求出t的范围，即|t|≤ ，就直接由配方法求二次函数的最值。
【正确解法】：令sina+cosa=t，（|x|≤ 2），则
sinacosa=
∴f(t)=+t=(t+1)-1
∵- ≤t=
∴当t=-1时，fmin=-1
当t=时，fmax=+
∴原函数的值域是：[-1， ]
五、图象的平移变换
例9要得到函数y=sin（2a-）的图象，只要将函数
y=sin2a的图象即可得到。
【错解】：只要将y=sina图象右移个单位，即得到y=sin（2a-）的图象。
【错因分析】：这是学生常犯的一种错误，图象的平移过程中忽略了左、右平移是针对自变量而言的。
【正确解法】：因为y=sin（2a -）=sin2(a-），故应是把y=sin2a的图象右移个单位而得到y=sin(2a-)的图象。
例10 要得到函数y=sin(2x-) 的图像，只要将函数y=sin的图像（）
A)先把每个x值缩小到原来的倍，y值不变，再向右平移个单位长度
B)先把每个值扩大到原来的4倍，y值不变，再向左平移个单位长度
C) 先把每个值扩大到原来的4倍，y值不变，再向左平移个单位长度
D) 先把每个值扩大到原来的倍，y值不变，再向右平移个 单位长度
【错解】：A
【错因分析】：把y=sinx变为y=sin(2x-),即变为y=sin2(x-)，应当向右平移个单位，有的同学错误地认为是平移 个单位长度，这样导致错误，所以选A。
【正确解法】：D。把y=sin(2x-)变为y=sin2（x-)） ，把y=sin的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x，再把y=sin2x的图像向右平移个单位长度，纵坐标不变，得到y=sin2(x-)，即y=sin(2x-)。
参考文献：
张泉著《世纪金榜（高中版）》2008年3月延边大学出版社。