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【摘要】数学概念是人对客观事物中有关数量关系和空间形式方面本质属性的抽象。它既是数学基础知识的重要组成部分，又是数学的逻辑起点，更是发展学生思维、培养数学能力的基础。数学概念教学常用的两种推理模式，即合情推理与演绎推理，虽然是两种不同的推理路径，但它们除了在不同的概念建构中因其自身的特质各自发挥着应有的作用外，两种推理路径在概念的建构中又是相辅相成的。
【关键词】概念教学；合情推理；演绎推理
【中图分类号】G625 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）81-0035-03
【作者简介】吴亚娟，江苏省常州市武进区横林实验小学（江苏常州，213161）校长，高级教师，常州市骨干教师。
在小学数学概念教学中，学生思维能力的培养既离不开感性的合情推理，也离不开理性的演绎推理。数学推理模式本质上有两种，即演绎推理与合情推理，在一般情况下，人们是借助合情推理“预测”数学结果，借助演绎推理“验证”数学结果。演绎推理和合情推理虽不相同，但是相辅相成的两种推理，两者不能人为割裂。
一、合情推理在概念建构中的条件解析
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011版课标”）中明确：归纳和类比是合情推理的主要形式，因此，小学阶段有相当一部分的概念必须通过比较、类比、联想、归纳等创造性的思考来培养合情推理能力。其次，鉴于小学生的年龄与认知特点，教材中的概念教学大量地采用了数学猜想、枚举归纳、类比迁移等合情推理的方法。
1.合情在概念从特殊到一般时。
概念教学由过程开始，然后转变为对象的认知，因此，我们不应把概念过早推给学生，而是应该遵循从特殊到一般、从具体到抽象、从过程到结果的原则，逐步帮助学生明晰概念。如教学苏教版五下《分数的意义》时，我们必须通过列举大量日常生活中平均分配的实例来说明“平均分”，抽象“单位1”，从而自然而然地引出“分数”的概念。整个教学过程，教者充分运用合情推理从特殊到一般的模式，通过举例、归纳、抽象出“分数”的本质概念，同时，借助“分数”概念的建构，学生的抽象概括能力、合情推理能力、总结提升能力都得到了有效提高。
2.合情在概念从特殊到特殊时。
当某一概念必须根据两个不同对象的某些方面（如特性、关系、属性等）的相同或相似点，来推出它们在其他方面也可能有的相同或相似的思维形式时，从特殊到特殊的合情推理就应运而生了。如在教学苏教版六上《百分数》一课时，当教者借助大量的生活经验引入百分数的概念后，又通过迁移旧知，让学生认识了百分数的外在属性，再通过回顾分数意义，搭建分数和百分数的联系，然后从具体到抽象，逐步完善百分数的概念。但理解百分数的概念如果就此打住，那么，这堂课就成了为教概念而教概念了。因此，教者启发学生思考：百分数定义中包含几个数？表示两个数之间怎样的关系？接着出示例子“A是B的300﹪”，并将此例子与“A是B的3倍”“A是B的 ”“A∶B=3∶1”等进行对比，从而引导学生发现知识之间的联系。最后得出结论：百分数与整数、分数和比一样，可以用来表示两个数之间的倍数关系，所以百分数也叫百分率或百分比。至此，百分数的概念就真正建构得非常完整而又深刻了。整个教学过程，教者通过类比的合情推理，把概括而得的百分数的本质属性推广到整数、分数、比等同类概念中去，它既是百分数概念的运用过程，又是一个在高层次上抽象概括的过程，最后把新获得的百分数的概念纳入到同一类别的概念体系中，建立新概念与原有概念之间的联系，达到概念教学的高级阶段。
3.合情在概念从猜想到验证时。
“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现”，因此有些概念在建构的过程中必须要通过观察、实验、类比、归纳等手段提出猜想。教师应该积极创设条件，引导学生大胆猜想，缜密验证，让思维插上合情推理的翅膀。
例如在教学苏教版五下“能被3整除的数的特征”时，学生易受能被2或5整除的数的特征影响，做出“个位是3的数都能被3整除”的猜想。因此，教学时，教师分别出示下列几组数：（1）256、46、113、176、6、359、896；（2）21、18、129、36、243、234、342。当验证完第一组后，学生马上意识到原先的猜想是错误的，心中充满疑惑的同时，探求新知的欲望油然而生。这时，教师马上引导学生去观察、验证第二组，看看这些数能否被3整除，这些数又有怎样的特征。由此，新的猜想诞生了：可能与各个数位上的数的和有关，于是，第二轮验证又如火如荼地开始了。整个教学过程，教者通过引导学生大胆猜想、举例验证、总结提升，使合情推理的思维过程贯穿于教学的始终，“能被3整除的数的特征”这一抽象的概念在一次次的猜想、验证、推理的过程中清晰建构。
二、演绎推理在概念建构中的条件解析
演绎推理是从一般到特殊的推理，虽然，小学阶段以合情推理为主，但在2011版课标中明确提出，第三学段有必要引导学生“体会证明的必要性，发展初步的演绎推理能力”。特别是学生在遇到一些內容体系逻辑性较强、知识结构高度抽象的概念时，演绎推理能发挥合情推理所不能起到的作用。
1.演绎在概念内容体系逻辑较强时。
当概念逻辑性较强时，学生学习的过程都是以演绎的方法展开的，这时学生既不必要完全经历数学发现的过程，发现学习也不可能成为学生学习数学知识的唯一形式。这时，演绎推理则是展开数学知识体系的主要形式。如在教学苏教版六上《长方体和正方体的认识》时，我们一般是先引导学生通过观察、测量、比较得出长方体有6个面、8个顶点、12条棱，并且每个面都是长方形，其中相对的两个面是完全相同的，这是从面和棱的角度认识长方体。在此基础上，用同样的方法认识正方体的特征。接下来，如何在演绎中寻求长方体和正方体的关系，从而打通相互间的逻辑体系，就显得尤为重要了，因此“正方体具有长方体的所有特征吗？”这一问题，就引发学生借助知识之间的逻辑关系进行深入思考，而学生的思考过程以及所获得的结论就是一个演绎推理过程。这一基于知识本质之间的推理，不仅有助于认识长方体和正方体的特征，而且能进一步厘清两个概念之间的逻辑关系，从而培养学生的演绎推理能力。 2.演绎在概念知识结构高度抽象时。
实践表明，概念的本质特征越多，学习越容易，非本质特征越多，学习越困难，这时，演绎推理就能在一定程度上发挥其应有的作用。比如在教学苏教版五下《圆的认识》时，我们应让学生知道：在同一个圆中，半径的长度都相等，直径的长度都相等，直径的长度等于半径的2倍。如果教学时，我们单纯地通过量一量、比一比，或者借助多媒体演示得出结论，那么，学生在数学思想方法的感受和抽象能力的培养上，就属于较低层次。由此，教学时，我们可以通过画、量、对比、归纳得出半径的长度都相等，然后可以根据直径和半径的定义推理得出：直径的长度是半径的2倍，接着根据“等量的同倍量相等”，由上述两个结论通过演绎推理得出：直径的长度都相等。教学中，如果我们能像上述教学过程一样契合实际地正确把握这种结构，用演绎推理的手段组织学习过程，不但能帮助学生掌握思考方法，理解高度抽象的概念内容的逻辑结构，还能提高学生的模式辨认能力，缩短推理过程，从而培养学生思维的缜密性、抽象性、逻辑性，并较好地发展学生的演绎推理能力。
当然，在概念教学中，培养学生的演绎推理能力，不仅要注意层次性，而且要关注学生的差异，要使每个学生都能体会证明的必要性，从而使学习演绎推理成为学生的自觉要求，克服“为了证明而证明”的盲目性。
三、合情与演绎的有机融合在概念建构中的条件解析
2011版课标对推理能力的内涵作了如下阐述：“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。”这就是说，学生获得数学结论应当经历合情推理到演绎推理的过程，这虽然是两种不同的推理路径，但它们除了在不同的概念建构中因其自身的特质各自发挥着应有的作用外，两种推理路径在概念的建构中又是相辅相成的。
如在教学苏教版四下“三角形内角和”一课时，教师先让学生汇报两种三角板每个角的度数，再说出每个三角板三个内角的和，引发学生猜想：“你认为每个三角形的内角和是多少？”学生纷纷猜测是180°，接着引导学生小组合作，任意剪出不同的三角形，并把每个三角形的三个内角剪下来拼在一起，学生通过观察惊奇地发现，任意三角形三个内角拼在一起都是平角，至此“三角形内角和是180度”这个结论自然而然地被学生接受了，接着让学生独立计算“已知三角形的两个角分别是72°和34°，求出第三个角”的练习，再要求学生说说自己计算的根据，最后再让学生量一量算出的角度数，进一步感受结论的正确性。整个教学过程，教者先引導学生在观察、分析、类比的基础上，得出符合猜想的合情推理，然后让学生自行计算、度量，演绎推理出结论的正确性。我们不难发现，这两种推理方法的有机结合，学生更好地掌握了新知识，锻炼了学生的推理能力，激发了学生学习数学的兴趣。
在概念的建构过程中，如果我们能准确把握每种推理路径的实质，并在各自的领域发挥其应有的作用，有时为了需要还能把这两种推理路径有机地结合起来，那就能使我们的概念教学，甚至是整个数学的教学过程达到一个知识与能力、思想与方法、过程与结果的完美统一。■
【关键词】概念教学；合情推理；演绎推理
【中图分类号】G625 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）81-0035-03
【作者简介】吴亚娟，江苏省常州市武进区横林实验小学（江苏常州，213161）校长，高级教师，常州市骨干教师。
在小学数学概念教学中，学生思维能力的培养既离不开感性的合情推理，也离不开理性的演绎推理。数学推理模式本质上有两种，即演绎推理与合情推理，在一般情况下，人们是借助合情推理“预测”数学结果，借助演绎推理“验证”数学结果。演绎推理和合情推理虽不相同，但是相辅相成的两种推理，两者不能人为割裂。
一、合情推理在概念建构中的条件解析
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011版课标”）中明确：归纳和类比是合情推理的主要形式，因此，小学阶段有相当一部分的概念必须通过比较、类比、联想、归纳等创造性的思考来培养合情推理能力。其次，鉴于小学生的年龄与认知特点，教材中的概念教学大量地采用了数学猜想、枚举归纳、类比迁移等合情推理的方法。
1.合情在概念从特殊到一般时。
概念教学由过程开始，然后转变为对象的认知，因此，我们不应把概念过早推给学生，而是应该遵循从特殊到一般、从具体到抽象、从过程到结果的原则，逐步帮助学生明晰概念。如教学苏教版五下《分数的意义》时，我们必须通过列举大量日常生活中平均分配的实例来说明“平均分”，抽象“单位1”，从而自然而然地引出“分数”的概念。整个教学过程，教者充分运用合情推理从特殊到一般的模式，通过举例、归纳、抽象出“分数”的本质概念，同时，借助“分数”概念的建构，学生的抽象概括能力、合情推理能力、总结提升能力都得到了有效提高。
2.合情在概念从特殊到特殊时。
当某一概念必须根据两个不同对象的某些方面（如特性、关系、属性等）的相同或相似点，来推出它们在其他方面也可能有的相同或相似的思维形式时，从特殊到特殊的合情推理就应运而生了。如在教学苏教版六上《百分数》一课时，当教者借助大量的生活经验引入百分数的概念后，又通过迁移旧知，让学生认识了百分数的外在属性，再通过回顾分数意义，搭建分数和百分数的联系，然后从具体到抽象，逐步完善百分数的概念。但理解百分数的概念如果就此打住，那么，这堂课就成了为教概念而教概念了。因此，教者启发学生思考：百分数定义中包含几个数？表示两个数之间怎样的关系？接着出示例子“A是B的300﹪”，并将此例子与“A是B的3倍”“A是B的 ”“A∶B=3∶1”等进行对比，从而引导学生发现知识之间的联系。最后得出结论：百分数与整数、分数和比一样，可以用来表示两个数之间的倍数关系，所以百分数也叫百分率或百分比。至此，百分数的概念就真正建构得非常完整而又深刻了。整个教学过程，教者通过类比的合情推理，把概括而得的百分数的本质属性推广到整数、分数、比等同类概念中去，它既是百分数概念的运用过程，又是一个在高层次上抽象概括的过程，最后把新获得的百分数的概念纳入到同一类别的概念体系中，建立新概念与原有概念之间的联系，达到概念教学的高级阶段。
3.合情在概念从猜想到验证时。
“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现”，因此有些概念在建构的过程中必须要通过观察、实验、类比、归纳等手段提出猜想。教师应该积极创设条件，引导学生大胆猜想，缜密验证，让思维插上合情推理的翅膀。
例如在教学苏教版五下“能被3整除的数的特征”时，学生易受能被2或5整除的数的特征影响，做出“个位是3的数都能被3整除”的猜想。因此，教学时，教师分别出示下列几组数：（1）256、46、113、176、6、359、896；（2）21、18、129、36、243、234、342。当验证完第一组后，学生马上意识到原先的猜想是错误的，心中充满疑惑的同时，探求新知的欲望油然而生。这时，教师马上引导学生去观察、验证第二组，看看这些数能否被3整除，这些数又有怎样的特征。由此，新的猜想诞生了：可能与各个数位上的数的和有关，于是，第二轮验证又如火如荼地开始了。整个教学过程，教者通过引导学生大胆猜想、举例验证、总结提升，使合情推理的思维过程贯穿于教学的始终，“能被3整除的数的特征”这一抽象的概念在一次次的猜想、验证、推理的过程中清晰建构。
二、演绎推理在概念建构中的条件解析
演绎推理是从一般到特殊的推理，虽然，小学阶段以合情推理为主，但在2011版课标中明确提出，第三学段有必要引导学生“体会证明的必要性，发展初步的演绎推理能力”。特别是学生在遇到一些內容体系逻辑性较强、知识结构高度抽象的概念时，演绎推理能发挥合情推理所不能起到的作用。
1.演绎在概念内容体系逻辑较强时。
当概念逻辑性较强时，学生学习的过程都是以演绎的方法展开的，这时学生既不必要完全经历数学发现的过程，发现学习也不可能成为学生学习数学知识的唯一形式。这时，演绎推理则是展开数学知识体系的主要形式。如在教学苏教版六上《长方体和正方体的认识》时，我们一般是先引导学生通过观察、测量、比较得出长方体有6个面、8个顶点、12条棱，并且每个面都是长方形，其中相对的两个面是完全相同的，这是从面和棱的角度认识长方体。在此基础上，用同样的方法认识正方体的特征。接下来，如何在演绎中寻求长方体和正方体的关系，从而打通相互间的逻辑体系，就显得尤为重要了，因此“正方体具有长方体的所有特征吗？”这一问题，就引发学生借助知识之间的逻辑关系进行深入思考，而学生的思考过程以及所获得的结论就是一个演绎推理过程。这一基于知识本质之间的推理，不仅有助于认识长方体和正方体的特征，而且能进一步厘清两个概念之间的逻辑关系，从而培养学生的演绎推理能力。 2.演绎在概念知识结构高度抽象时。
实践表明，概念的本质特征越多，学习越容易，非本质特征越多，学习越困难，这时，演绎推理就能在一定程度上发挥其应有的作用。比如在教学苏教版五下《圆的认识》时，我们应让学生知道：在同一个圆中，半径的长度都相等，直径的长度都相等，直径的长度等于半径的2倍。如果教学时，我们单纯地通过量一量、比一比，或者借助多媒体演示得出结论，那么，学生在数学思想方法的感受和抽象能力的培养上，就属于较低层次。由此，教学时，我们可以通过画、量、对比、归纳得出半径的长度都相等，然后可以根据直径和半径的定义推理得出：直径的长度是半径的2倍，接着根据“等量的同倍量相等”，由上述两个结论通过演绎推理得出：直径的长度都相等。教学中，如果我们能像上述教学过程一样契合实际地正确把握这种结构，用演绎推理的手段组织学习过程，不但能帮助学生掌握思考方法，理解高度抽象的概念内容的逻辑结构，还能提高学生的模式辨认能力，缩短推理过程，从而培养学生思维的缜密性、抽象性、逻辑性，并较好地发展学生的演绎推理能力。
当然，在概念教学中，培养学生的演绎推理能力，不仅要注意层次性，而且要关注学生的差异，要使每个学生都能体会证明的必要性，从而使学习演绎推理成为学生的自觉要求，克服“为了证明而证明”的盲目性。
三、合情与演绎的有机融合在概念建构中的条件解析
2011版课标对推理能力的内涵作了如下阐述：“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。”这就是说，学生获得数学结论应当经历合情推理到演绎推理的过程，这虽然是两种不同的推理路径，但它们除了在不同的概念建构中因其自身的特质各自发挥着应有的作用外，两种推理路径在概念的建构中又是相辅相成的。
如在教学苏教版四下“三角形内角和”一课时，教师先让学生汇报两种三角板每个角的度数，再说出每个三角板三个内角的和，引发学生猜想：“你认为每个三角形的内角和是多少？”学生纷纷猜测是180°，接着引导学生小组合作，任意剪出不同的三角形，并把每个三角形的三个内角剪下来拼在一起，学生通过观察惊奇地发现，任意三角形三个内角拼在一起都是平角，至此“三角形内角和是180度”这个结论自然而然地被学生接受了，接着让学生独立计算“已知三角形的两个角分别是72°和34°，求出第三个角”的练习，再要求学生说说自己计算的根据，最后再让学生量一量算出的角度数，进一步感受结论的正确性。整个教学过程，教者先引導学生在观察、分析、类比的基础上，得出符合猜想的合情推理，然后让学生自行计算、度量，演绎推理出结论的正确性。我们不难发现，这两种推理方法的有机结合，学生更好地掌握了新知识，锻炼了学生的推理能力，激发了学生学习数学的兴趣。
在概念的建构过程中，如果我们能准确把握每种推理路径的实质，并在各自的领域发挥其应有的作用，有时为了需要还能把这两种推理路径有机地结合起来，那就能使我们的概念教学，甚至是整个数学的教学过程达到一个知识与能力、思想与方法、过程与结果的完美统一。■