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一、教材分析
“点到直线的距离”是“直线与方程”这一章的重点内容,也是第三节“直线的交点坐标与距离公式”的难点,它起到承上启下的作用。点到直线的距离公式的推导过程是两点间距离公式的应用,是直线方程的应用,是坐标法的继续;是求平行线间的距离的基础,又是研究直线和圆的位置关系等问题的重要工具。从学生已有的知识与经验看,不难知道,可以把点到直线的距离问题转化为点到点的距离,然而由于含字母的问题求解,运算量大,部分学生会感到困难,难以独立完成任务。
1.教学目标
(1)知识与技能:理解点到直线的距离公式的推导过程,掌握点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离。
(2)过程与方法:引导学生构思距离公式的推导方案,通过学生观察、分析、发现、探索点到直线的距离公式的过程,领会转化思想、数形结合的数学思想方法,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力。
(3)情感、态度与价值观:在学习中,体验探索过程,培养善于观察、勇于探索的良好习惯,形成严谨的科学态度。
2.教学重点和难点
点到直线的距离公式的推导及其应用是教学的重点;恰当选择推导公式的方法是本节课的难点。
二、教学和学法
高中数学课程标准强调:鼓励学生在学习过程中,养成独立思考、积极探索的习惯。力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动,让学生体验数学发现和创造的历程,发展他们的创新意识。本节课坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每位学生都得到充分发展”的原则,采用问题引导式的教学方法,充分利用数形结合,促使学生从感性认知上升为理性认知。通过创设情境,提出问题;探索尝试,反思优化;变式训练,学会应用;归纳总结,拓展应用;布置作业,提高升华等环节,让学生在问题情境中,自己去观察、分析、发现,合作交流,寻求并证明公式、经历探索问题的过程。从学生已有的知识与经验看,可以把点到直线的距离问题转化为点到点的距离。尊重学生的思维过程,充分发挥学生的主动性。启发学生类比两点间距离公式的推导过程,能否也构造一个直角三角形,体会两种方法各自的优点。
三、教学过程
1.创设情境,提出问题
问题1 上节课我们通过构造直角三角形,利用转化思想,数形结合的思想方法探究了两点间距离公式,今天让我们一起来探究点到直线的距离公式。
下面请同学们完成三个简单的问题:
①求点 到直线 : 的距离。
②求点 到直线 : 的距离。
③点 到直线 的距离是_______;点 到直线 的距离是_______;
学生活动:独立思考。
教师行为:板书课题,提出问题、引导学生作答。
设计意图:明确今天要研究的任务。“标准”强调要注重学生的数学思维能力,问题1的设置就是想通过具体问题的解决推导出一般性规律,形成一定的归纳推理的能力,让学生知道从特殊到一般是数学研究的普遍策略。同时数形结合的使用为推导公式做了铺垫。入口的降低也使一些学习困难生有机会答对,进而激发学生的兴趣。
2.探索尝试,反思优化
问题2 问题1中的直线位置比较特殊,若直线既不平行于 轴也不垂直于 轴,例如:你能求出点 到直线 : 距离吗?请你给出解决问题的思路?
学生活动:独立思考,做答。
教师行为:提问、引导学生作答,板书。
设计意图:如果直接给出课本第106页的“思考?”学生有思路,但不易作答,然而这种思路又是最自然的,给出具体问题,降低了难度,有利于整理思路,同时又巩固了前几节所学知识。根据学生解决问题的思路教师板书,用框图表示解题步骤渗透算法思想。
问题3 如果问题2中的点和直线的方程都是一般情况:
已知:点 的坐标为 ,直线 方程为: ,求点 到直线 的距离。你能快速的得出结果吗?(停顿:听学生回答)我们可以按上面的解题步骤求解,但由于要解含有字母系数的方程组,过程比较繁琐。想一想能否找到一种比较简便的方法?
学生活动:小组合作探求问题的答案。
教师行为:在方法探究的关键
点处,必要时教师引导学生回顾建
立两点间距离公式的推导过程,从
形的角度去分析问题,给学生足够
的时间,让他们通过构图、观察、
思考、探究对问题的解决。在学生
的活动过程,教师应及时给予帮
助,理清思路,画出框图。 图1
根据本人所教学生的认知水平,在学生口述的基础上师生共同完成推导过程。
设计意图:“标准”强调通过数学教学提高学生提出问题、分析和解决问题的能力。教师提出问题起到领引的作用,同时激发学生的学习热情和求知欲,培养学生的创新意识。引导学生重视图形的作用,体会数形结合的思想和转化思想。学生合作探究有助于互帮互学形成良好的学习氛围,师生共同合作教师板书启到示范作用。
3.变式训练,学会应用
问题4 下面请大家运用我们研究的成果,通过计算填写下面的表格:
序号 点
直于
点 到直线 的距离
启示
1
不要忘记绝对值符号
2
化直线方程为一般式
3
点 在直线 上
4
不要忘记绝对值符号
5
可用公式也可以不用公式
6
可用公式也可以不用公式
学生活动:独立思考。
教师行为:对学生的回答应给予肯定,强调直线方程必须是一般式,公式对特殊问题同样适用,特殊问题能特殊对待更好。
设计意图:及时使用有助于帮助学生正确认识公式,学会用公式,形成一定的技能。
问题5已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC的面积。
学生活动:小组合作探求问题的答案。
教师行为:给出问题,观察学生活动,提醒学生画出图形(图2) ,给学生一点思考的时间,寻找解决问题的办法,帮助学困生理清解题思路,叫一名成绩较好的学生板书解题过程。在此期间,让完成任务的学生阅读课本,注意解答的正确书写,同时鼓励学生用其他方法计算的面积,可能有一些学生会重新选择底边来求解,教师可以启发在图形上做文章,运用割补法求的面积(图3)。
设计意图:培养学生综合运用知识解决问题的能力,一题多解培养学生的思维能力,割补法的运用体会数形结合的思想方法的重要性。
图2图3
4.归纳总结,拓展应用
问题6 你能从知识角度和能力角度对今天学习做一下总结吗?
学生活动:独立思考,做答。
教师行为:对学生概括总结给出正确的评价。从知识角度我们学习了点到直线的距离公式;从能力角度来看会用公式解决一些简单问题,探索点到直线距离公式的推导过程运用了坐标法、转化思想和数形结合的思想方法。
设计意图:及时小结使学生在对过程的梳理,知识的整理中体会数学的思想方法,形成技能。教师对学生概括总结给出正确的评价有助于培养学生良好的学习习惯。
问题7 通过学习我们会求点到点、点到线的距离,那么线到线的距离你会求吗?
求平行直线 : 与 : 之间的距离。
学生活动:独立思考,做答。
教师行为:提出问题,观察学生活动,提醒学生如何取点,可使计算简单?待学生完成后进一步让学生猜想两平行线 : 与 : 之间的距离公式,课后给出证明。
设计意图:此问题安排在小结之后目的是在学生形成新知识和技能的基础上,再一次迎接新的挑战,通过具体运算、观察、猜想两平行线间的距离公式,让学生带着问题走出课堂。
5.布置作业,提高升华
根据学生的实际情况,作业布置分为必做题和选做题。必做题要求每位学生都要做,选做题要求学生根据个人的实际情况尽力完成,对学有余力的尖子生要求他们要完成。必做题课本第110页 A组第9、10题,选做题课本第110 B组2、3、4题。
板书设计
课题:3.3.3点到直线的距离
______________
收稿日期:2010-06-29
“点到直线的距离”是“直线与方程”这一章的重点内容,也是第三节“直线的交点坐标与距离公式”的难点,它起到承上启下的作用。点到直线的距离公式的推导过程是两点间距离公式的应用,是直线方程的应用,是坐标法的继续;是求平行线间的距离的基础,又是研究直线和圆的位置关系等问题的重要工具。从学生已有的知识与经验看,不难知道,可以把点到直线的距离问题转化为点到点的距离,然而由于含字母的问题求解,运算量大,部分学生会感到困难,难以独立完成任务。
1.教学目标
(1)知识与技能:理解点到直线的距离公式的推导过程,掌握点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离。
(2)过程与方法:引导学生构思距离公式的推导方案,通过学生观察、分析、发现、探索点到直线的距离公式的过程,领会转化思想、数形结合的数学思想方法,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力。
(3)情感、态度与价值观:在学习中,体验探索过程,培养善于观察、勇于探索的良好习惯,形成严谨的科学态度。
2.教学重点和难点
点到直线的距离公式的推导及其应用是教学的重点;恰当选择推导公式的方法是本节课的难点。
二、教学和学法
高中数学课程标准强调:鼓励学生在学习过程中,养成独立思考、积极探索的习惯。力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动,让学生体验数学发现和创造的历程,发展他们的创新意识。本节课坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每位学生都得到充分发展”的原则,采用问题引导式的教学方法,充分利用数形结合,促使学生从感性认知上升为理性认知。通过创设情境,提出问题;探索尝试,反思优化;变式训练,学会应用;归纳总结,拓展应用;布置作业,提高升华等环节,让学生在问题情境中,自己去观察、分析、发现,合作交流,寻求并证明公式、经历探索问题的过程。从学生已有的知识与经验看,可以把点到直线的距离问题转化为点到点的距离。尊重学生的思维过程,充分发挥学生的主动性。启发学生类比两点间距离公式的推导过程,能否也构造一个直角三角形,体会两种方法各自的优点。
三、教学过程
1.创设情境,提出问题
问题1 上节课我们通过构造直角三角形,利用转化思想,数形结合的思想方法探究了两点间距离公式,今天让我们一起来探究点到直线的距离公式。
下面请同学们完成三个简单的问题:
①求点 到直线 : 的距离。
②求点 到直线 : 的距离。
③点 到直线 的距离是_______;点 到直线 的距离是_______;
学生活动:独立思考。
教师行为:板书课题,提出问题、引导学生作答。
设计意图:明确今天要研究的任务。“标准”强调要注重学生的数学思维能力,问题1的设置就是想通过具体问题的解决推导出一般性规律,形成一定的归纳推理的能力,让学生知道从特殊到一般是数学研究的普遍策略。同时数形结合的使用为推导公式做了铺垫。入口的降低也使一些学习困难生有机会答对,进而激发学生的兴趣。
2.探索尝试,反思优化
问题2 问题1中的直线位置比较特殊,若直线既不平行于 轴也不垂直于 轴,例如:你能求出点 到直线 : 距离吗?请你给出解决问题的思路?
学生活动:独立思考,做答。
教师行为:提问、引导学生作答,板书。
设计意图:如果直接给出课本第106页的“思考?”学生有思路,但不易作答,然而这种思路又是最自然的,给出具体问题,降低了难度,有利于整理思路,同时又巩固了前几节所学知识。根据学生解决问题的思路教师板书,用框图表示解题步骤渗透算法思想。
问题3 如果问题2中的点和直线的方程都是一般情况:
已知:点 的坐标为 ,直线 方程为: ,求点 到直线 的距离。你能快速的得出结果吗?(停顿:听学生回答)我们可以按上面的解题步骤求解,但由于要解含有字母系数的方程组,过程比较繁琐。想一想能否找到一种比较简便的方法?
学生活动:小组合作探求问题的答案。
教师行为:在方法探究的关键
点处,必要时教师引导学生回顾建
立两点间距离公式的推导过程,从
形的角度去分析问题,给学生足够
的时间,让他们通过构图、观察、
思考、探究对问题的解决。在学生
的活动过程,教师应及时给予帮
助,理清思路,画出框图。 图1
根据本人所教学生的认知水平,在学生口述的基础上师生共同完成推导过程。
设计意图:“标准”强调通过数学教学提高学生提出问题、分析和解决问题的能力。教师提出问题起到领引的作用,同时激发学生的学习热情和求知欲,培养学生的创新意识。引导学生重视图形的作用,体会数形结合的思想和转化思想。学生合作探究有助于互帮互学形成良好的学习氛围,师生共同合作教师板书启到示范作用。
3.变式训练,学会应用
问题4 下面请大家运用我们研究的成果,通过计算填写下面的表格:
序号 点
直于
点 到直线 的距离
启示
1
不要忘记绝对值符号
2
化直线方程为一般式
3
点 在直线 上
4
不要忘记绝对值符号
5
可用公式也可以不用公式
6
可用公式也可以不用公式
学生活动:独立思考。
教师行为:对学生的回答应给予肯定,强调直线方程必须是一般式,公式对特殊问题同样适用,特殊问题能特殊对待更好。
设计意图:及时使用有助于帮助学生正确认识公式,学会用公式,形成一定的技能。
问题5已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC的面积。
学生活动:小组合作探求问题的答案。
教师行为:给出问题,观察学生活动,提醒学生画出图形(图2) ,给学生一点思考的时间,寻找解决问题的办法,帮助学困生理清解题思路,叫一名成绩较好的学生板书解题过程。在此期间,让完成任务的学生阅读课本,注意解答的正确书写,同时鼓励学生用其他方法计算的面积,可能有一些学生会重新选择底边来求解,教师可以启发在图形上做文章,运用割补法求的面积(图3)。
设计意图:培养学生综合运用知识解决问题的能力,一题多解培养学生的思维能力,割补法的运用体会数形结合的思想方法的重要性。
图2图3
4.归纳总结,拓展应用
问题6 你能从知识角度和能力角度对今天学习做一下总结吗?
学生活动:独立思考,做答。
教师行为:对学生概括总结给出正确的评价。从知识角度我们学习了点到直线的距离公式;从能力角度来看会用公式解决一些简单问题,探索点到直线距离公式的推导过程运用了坐标法、转化思想和数形结合的思想方法。
设计意图:及时小结使学生在对过程的梳理,知识的整理中体会数学的思想方法,形成技能。教师对学生概括总结给出正确的评价有助于培养学生良好的学习习惯。
问题7 通过学习我们会求点到点、点到线的距离,那么线到线的距离你会求吗?
求平行直线 : 与 : 之间的距离。
学生活动:独立思考,做答。
教师行为:提出问题,观察学生活动,提醒学生如何取点,可使计算简单?待学生完成后进一步让学生猜想两平行线 : 与 : 之间的距离公式,课后给出证明。
设计意图:此问题安排在小结之后目的是在学生形成新知识和技能的基础上,再一次迎接新的挑战,通过具体运算、观察、猜想两平行线间的距离公式,让学生带着问题走出课堂。
5.布置作业,提高升华
根据学生的实际情况,作业布置分为必做题和选做题。必做题要求每位学生都要做,选做题要求学生根据个人的实际情况尽力完成,对学有余力的尖子生要求他们要完成。必做题课本第110页 A组第9、10题,选做题课本第110 B组2、3、4题。
板书设计
课题:3.3.3点到直线的距离
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收稿日期:2010-06-29