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摘 要：方程教学是小学中高段重要的教学内容，是学生由算数思维向代数思维过度的重要时期，抓好这阶段的教学，对培养学生分析、解决问题有重要意义。经过实践研究，学生列方程解应用题的能力得到了进一步的提升。
关键词：方程；算数思维；方程思维
1.问题的提出及提出的背景
用方程解决问题是数学教学中的重要思维方法，对培养学生分析、解决问题有重要意义，同时也培养了学生合作精神和创新意识，通过对多种实际问题中数量关系的分析，使学生初步感受方程是刻画现实世界的有效模型。算术解法和方程解法是互相联系、相互依存的，从算术到代数是学生认识现实世界数量关系过程中的一个飞跃，也是学生数学学习的一个转折点。但由于学生数学思维发展水平和代数的抽象特点之间的矛盾以及算术思维定势的影响等，使小学生在学习列方程解应用题时遇到很多困难。
在四年级下册第七单元开始，学生学习用字母表示数、数量关系、计量单位、计算公式等，进而学习方程，知道了什么叫方程、根据等式的性质会解简单的一元一次方程。然后学习用列方程的方法解决问题。例：教材94页《猜数游戏》中的一个情景。笑笑：把你心里想的数乘2，再加上20等于多少？淘气：等于80。笑笑：你想得数是30，淘气：你是怎样想的？这道题学生首先想到这个数是几？怎样找出这个数呢？根据经验找，用一些数去乘2再加上20，如果等于80就对了，最后得出结果是30。另一种方法就是淘气的想法，用列方程的方法去解决。列得方程2X+20=80，然后用等式的性质解方程得到结果是30。用方程解就要弄清数量之间的等量关系，这是关键。但是目前看有些题目的等量关系较为明显，学生容易找出来，如：路程=速度×时间，单价×数量=总价……但是有些题目的数量关系复杂，给学生造成了寻找的困难。如：一个数的几倍多或少几，到了五、六年级中分（百分）数应用题的解答要求学生找出等量关系就比较困难了。学生马上想到的就是算术方法，如果要求用列方程解决时，优秀的学生很快就找出等量关系，但大多数学生感到迷茫，如果不要求的话即使会用方程解的学生也还是寻求算术法解决，那为什么学生会有这样的表现呢？为什么有这样的困惑呢？学生在学习数学过程中不多用甚至不愿意用方程解应用题的原因是什么呢？
什么是算术思维？ 算术思维即根据条件推理算出结果的思维，每一步都有思维根据。相对算术思维即方程思维，方程思维关键是找出等量关系，由等量关系列出方程再解出结果，只要找出等量关系就能很快解决问题。算术思路是一种逆向性思维，代数思路是一种顺向性思维。但不管那种思路，都是要讲数量的关系式。如果帮助学生理清数量之间的关系，得出准确的关系式，那么这两种思维都能得到解决。算术方法是通过查对已知条件和问题的关系来确定数量关系式得出解法。代数方法是根据数量关系式，直接把已知条件和问题代入关系式来解答，其实，代数方法是直接利用基本数量关系式。由此可见算术方法是间接利用基本数量关系式。所以要让帮助学生从算术思维向代数思维过渡，首要的任务是帮助学生快速判断基本数量关系。“注意基本数量关系在小学中的学习线索，帮助学生形成一些基本数量关系：在分析问题和解决问题的过程中，还需要帮助学生学习一些基本的数量关系，这些关系对于解决问题和今后学习都是重要的。在课标修订中，明确了小学需要学习的两个基本数量关系：一个是物理模型中的“路程、时间和速度”的关系；一个是经济模型中的“总价、数量和单价”关系。这两个关系不仅仅在生活中有着广泛的应用，同时也是学生学习（如微积分）的两个关系。在学习方程的过程中学生的一个挑战。学生不习惯运用方程來解决问题，而习惯算术方法怎么办。那么这种“不习惯”背后学生真实的想法又是什么呢？不妨看看如下对已学过方程的学生的访谈资料。
访谈问题：你在什么时候会想到用列方程的方法解决问题？
学生1：题目比较难时。学生2：有两个未知量时。学生3：老师说需要逆思考时。学生4：接很难的奥数题时，老师交给我们设两个未知数x、y。
访谈问题：还记得刚开始列方程学习方程解应用题时，你们有哪些不适应？
学生1：有些题目太简单了，读完题目后我得数都算出来了，还让我们列方程，我觉得多此一举。学生2：刚开始列方程总是不习惯把x 当成已知数（处理），现在觉得很好。学生3：我刚开始列方程时总是用算术方法，结果列成一边是x 的等式，老师告诉我说这样未知数没有参加运算，考试不能得分。现在我明白了。
从上面的访谈中不难看出，学生确实对于列方程解决实际问题存在着不习惯。理由主要有两个：其一，在等量关系比较简单的情况下，学生不愿意列方程，反而觉得方程步骤比较复杂；其二，也许是受思维习惯影响，学生不习惯用代数的方法，不习惯新的思维方式。实际上从算术法到方程法存在着思维的飞跃，需要学生改变原先对于运算或符号的某些理解。例如：对于等号的理解。在过去的算术思维中，学生对于它的理解往往是表示要输出的结果，因此要求的未知数的结果应该在等号的右边；而在方程中，学生需要将等号理解为连接等量关系的符号，等号左右两边只要存在着相等关系即可，因此未知数在等号的两边都是可以的。所以，教学中要帮助学生逐步理解到等号既可以表示“输出结果”，也可以表示一个相等关系。
从以上调查和研究中我们看出小学代数思维的培养是要经过一个很长时间的洗礼和磨练，不是一下子就成功的。小学生在初步学习列方程解应用题的过程中究竟会出现哪些问题呢？
2.课堂研究：遴选4道稍复杂的题目要求学生用方程解决
2.1 目的：通过这节课的探究学习看学生掌用方程解应用题的情况怎么样？
2.2 预想：学生会出现哪些问题？为什么出现这些问题？我们还会怎样去解决？
调查统计：
学校体育组买足球花了240元，比买篮球花的钱数的3倍少84元，买篮球花了多少钱？
内容：第一题 等量关系与方程都正确 等量关系与方程都错误 等量关系错误但方程式正确（反之） 调查共115人，正确率达到61%，错误率达到18%，其他达到21%
一个长方形水池的周长是13米，水池的宽是2.5米，水池的长是多少米？
内容：第二题 等量关系与方程都正确 等量关系与方程都错误 等量关系错误但方程式正确（反之）
调查共115人，正确率达到64%，错误率达到21%，其他达到15%
用一根长18.98米的钢丝做晾衣架，第一次用去3.2米，第二次用去1.29米，还剩下多少米？
内容：第三题 等量关系与方程都正确 等量关系与方程都错误 等量关系错误但方程式正确（反之）
调查共115人，正确率达到68%，错误率达到11%，其他达到21%
向阳纺纱厂共有职工350人，其中女职工人数是男职工人数的4倍，这个厂男女职工各有多少人？
内容：第四题 等量关系与方程都正确 等量关系与方程都错误 等量关系错误但方程式
调查共115人，正确率达到74%，错误率达到10%，其他达到16%
对调研结果的分析
我们可以看到学生对列方程解决问题在找等量关系上，大部分学生还是能找出来，1-4题正确率能达到61%-74%，但是也有部分同学找等量关系还是很困难。我们还发现学生在用列方程解决问题的过程中，并没有把等量关系跟方程联系在一起，没有形成等量关系是列方程的前提和必要的思想，所以在最后一栏里面，部分同学的等量关系和方程是不一致的，也就是说他的等量关系是错误的但列的方程是正确的，而这部分人占了近20%，不容小觑。
3.对学生学习过程中出现以上问题的分析
首先学生还没有形成先准确找等量关系的意识，1-3题将近有20%的同学等量关系和列出的方程是不一致的，5题等量关系与方程都错的同学占47%，再者学生在找等量关系时，他们一直视所求的数按照算术的列法来找，总是想着所求的数能一下子求出来，这样的话，稍复杂的题就搅得学生反应不过来，不会运用逆向思维，就把未知数当做已知数找到等量关系。最后，审题不清，在找等量关系时不会“总-分”的思想，“总”就是找到大体上的等量关系，就像第四题，知道总人数就等于男职工人数加上女职工人数，“分”就是再找到男女职工之间的关系，我们发现女职工人数就等于男职工人数的1.2倍，把得到的这个关系代入到总体的等量关系里，我们就得到了最终的等量关系，而部分同学就想着一次性找到等量关系，而往往审题不清，这使得学生在找等量关系更加混乱了；易粗心马虎，列方程就会容易出错。
4.根據自己的教学经验归纳出小学生初步用方程解决数学问题的几种方法
4.1牢记计算公式，根据公式来找等量关系。
这种方法一般适用于几何应用题。学生要牢记周长公式来解决问题。例如：“一个长方形的周长为32厘米，长是9厘米，宽是多少厘米？
4.2理解和熟记数量关系，根据常见的数量关系来找等量关系，这样方法一般在工程问题、行程问题、价格问题比较常见，教师在教学这三种问题时不但要学生理解，还应让学生记熟：“工作效率×工作时间=工作总量、速度X时间=路程、单价×数量=总价”等数量关系式。
4.3抓住关键词，根据字词的提示找等量关系。这种方法，一般适用于和差，倍数关系的应用题。在题中常有这样的提示：一共有”，“比……多（少）”，“是……的几倍”，等，在解题时，可根据这些关键的字词来找等量关系，按叙述的顺序列出方程。
4.4根据题意画线段图帮助学生直观的找出等量关系，从而列出方程。
5.后续思考
通过以上调研，我们了解了小学生在初步学习方程中一些困惑和想法，找出了一些用方程解决数学问题的方法，对学生的认知领域有很大提升。但是，在调研过程中这四道题目对于小学四年级学生来说难度、坡度到底有多大？可信度又会怎样？以后学生还会学习分数应用题，这些方法对学生的影响又有多大呢？值得思考。
参考文献
[1]注释①-----张丹《小学数学教学策略》121页，北京师范大学出版社。
[2]注释②-----张丹《小学数学教学策略》-139页----140页，北京师范大学出版社。
（作者单位：宁夏银川市永宁县蓝山学校）
关键词：方程；算数思维；方程思维
1.问题的提出及提出的背景
用方程解决问题是数学教学中的重要思维方法，对培养学生分析、解决问题有重要意义，同时也培养了学生合作精神和创新意识，通过对多种实际问题中数量关系的分析，使学生初步感受方程是刻画现实世界的有效模型。算术解法和方程解法是互相联系、相互依存的，从算术到代数是学生认识现实世界数量关系过程中的一个飞跃，也是学生数学学习的一个转折点。但由于学生数学思维发展水平和代数的抽象特点之间的矛盾以及算术思维定势的影响等，使小学生在学习列方程解应用题时遇到很多困难。
在四年级下册第七单元开始，学生学习用字母表示数、数量关系、计量单位、计算公式等，进而学习方程，知道了什么叫方程、根据等式的性质会解简单的一元一次方程。然后学习用列方程的方法解决问题。例：教材94页《猜数游戏》中的一个情景。笑笑：把你心里想的数乘2，再加上20等于多少？淘气：等于80。笑笑：你想得数是30，淘气：你是怎样想的？这道题学生首先想到这个数是几？怎样找出这个数呢？根据经验找，用一些数去乘2再加上20，如果等于80就对了，最后得出结果是30。另一种方法就是淘气的想法，用列方程的方法去解决。列得方程2X+20=80，然后用等式的性质解方程得到结果是30。用方程解就要弄清数量之间的等量关系，这是关键。但是目前看有些题目的等量关系较为明显，学生容易找出来，如：路程=速度×时间，单价×数量=总价……但是有些题目的数量关系复杂，给学生造成了寻找的困难。如：一个数的几倍多或少几，到了五、六年级中分（百分）数应用题的解答要求学生找出等量关系就比较困难了。学生马上想到的就是算术方法，如果要求用列方程解决时，优秀的学生很快就找出等量关系，但大多数学生感到迷茫，如果不要求的话即使会用方程解的学生也还是寻求算术法解决，那为什么学生会有这样的表现呢？为什么有这样的困惑呢？学生在学习数学过程中不多用甚至不愿意用方程解应用题的原因是什么呢？
什么是算术思维？ 算术思维即根据条件推理算出结果的思维，每一步都有思维根据。相对算术思维即方程思维，方程思维关键是找出等量关系，由等量关系列出方程再解出结果，只要找出等量关系就能很快解决问题。算术思路是一种逆向性思维，代数思路是一种顺向性思维。但不管那种思路，都是要讲数量的关系式。如果帮助学生理清数量之间的关系，得出准确的关系式，那么这两种思维都能得到解决。算术方法是通过查对已知条件和问题的关系来确定数量关系式得出解法。代数方法是根据数量关系式，直接把已知条件和问题代入关系式来解答，其实，代数方法是直接利用基本数量关系式。由此可见算术方法是间接利用基本数量关系式。所以要让帮助学生从算术思维向代数思维过渡，首要的任务是帮助学生快速判断基本数量关系。“注意基本数量关系在小学中的学习线索，帮助学生形成一些基本数量关系：在分析问题和解决问题的过程中，还需要帮助学生学习一些基本的数量关系，这些关系对于解决问题和今后学习都是重要的。在课标修订中，明确了小学需要学习的两个基本数量关系：一个是物理模型中的“路程、时间和速度”的关系；一个是经济模型中的“总价、数量和单价”关系。这两个关系不仅仅在生活中有着广泛的应用，同时也是学生学习（如微积分）的两个关系。在学习方程的过程中学生的一个挑战。学生不习惯运用方程來解决问题，而习惯算术方法怎么办。那么这种“不习惯”背后学生真实的想法又是什么呢？不妨看看如下对已学过方程的学生的访谈资料。
访谈问题：你在什么时候会想到用列方程的方法解决问题？
学生1：题目比较难时。学生2：有两个未知量时。学生3：老师说需要逆思考时。学生4：接很难的奥数题时，老师交给我们设两个未知数x、y。
访谈问题：还记得刚开始列方程学习方程解应用题时，你们有哪些不适应？
学生1：有些题目太简单了，读完题目后我得数都算出来了，还让我们列方程，我觉得多此一举。学生2：刚开始列方程总是不习惯把x 当成已知数（处理），现在觉得很好。学生3：我刚开始列方程时总是用算术方法，结果列成一边是x 的等式，老师告诉我说这样未知数没有参加运算，考试不能得分。现在我明白了。
从上面的访谈中不难看出，学生确实对于列方程解决实际问题存在着不习惯。理由主要有两个：其一，在等量关系比较简单的情况下，学生不愿意列方程，反而觉得方程步骤比较复杂；其二，也许是受思维习惯影响，学生不习惯用代数的方法，不习惯新的思维方式。实际上从算术法到方程法存在着思维的飞跃，需要学生改变原先对于运算或符号的某些理解。例如：对于等号的理解。在过去的算术思维中，学生对于它的理解往往是表示要输出的结果，因此要求的未知数的结果应该在等号的右边；而在方程中，学生需要将等号理解为连接等量关系的符号，等号左右两边只要存在着相等关系即可，因此未知数在等号的两边都是可以的。所以，教学中要帮助学生逐步理解到等号既可以表示“输出结果”，也可以表示一个相等关系。
从以上调查和研究中我们看出小学代数思维的培养是要经过一个很长时间的洗礼和磨练，不是一下子就成功的。小学生在初步学习列方程解应用题的过程中究竟会出现哪些问题呢？
2.课堂研究：遴选4道稍复杂的题目要求学生用方程解决
2.1 目的：通过这节课的探究学习看学生掌用方程解应用题的情况怎么样？
2.2 预想：学生会出现哪些问题？为什么出现这些问题？我们还会怎样去解决？
调查统计：
学校体育组买足球花了240元，比买篮球花的钱数的3倍少84元，买篮球花了多少钱？
内容：第一题 等量关系与方程都正确 等量关系与方程都错误 等量关系错误但方程式正确（反之） 调查共115人，正确率达到61%，错误率达到18%，其他达到21%
一个长方形水池的周长是13米，水池的宽是2.5米，水池的长是多少米？
内容：第二题 等量关系与方程都正确 等量关系与方程都错误 等量关系错误但方程式正确（反之）
调查共115人，正确率达到64%，错误率达到21%，其他达到15%
用一根长18.98米的钢丝做晾衣架，第一次用去3.2米，第二次用去1.29米，还剩下多少米？
内容：第三题 等量关系与方程都正确 等量关系与方程都错误 等量关系错误但方程式正确（反之）
调查共115人，正确率达到68%，错误率达到11%，其他达到21%
向阳纺纱厂共有职工350人，其中女职工人数是男职工人数的4倍，这个厂男女职工各有多少人？
内容：第四题 等量关系与方程都正确 等量关系与方程都错误 等量关系错误但方程式
调查共115人，正确率达到74%，错误率达到10%，其他达到16%
对调研结果的分析
我们可以看到学生对列方程解决问题在找等量关系上，大部分学生还是能找出来，1-4题正确率能达到61%-74%，但是也有部分同学找等量关系还是很困难。我们还发现学生在用列方程解决问题的过程中，并没有把等量关系跟方程联系在一起，没有形成等量关系是列方程的前提和必要的思想，所以在最后一栏里面，部分同学的等量关系和方程是不一致的，也就是说他的等量关系是错误的但列的方程是正确的，而这部分人占了近20%，不容小觑。
3.对学生学习过程中出现以上问题的分析
首先学生还没有形成先准确找等量关系的意识，1-3题将近有20%的同学等量关系和列出的方程是不一致的，5题等量关系与方程都错的同学占47%，再者学生在找等量关系时，他们一直视所求的数按照算术的列法来找，总是想着所求的数能一下子求出来，这样的话，稍复杂的题就搅得学生反应不过来，不会运用逆向思维，就把未知数当做已知数找到等量关系。最后，审题不清，在找等量关系时不会“总-分”的思想，“总”就是找到大体上的等量关系，就像第四题，知道总人数就等于男职工人数加上女职工人数，“分”就是再找到男女职工之间的关系，我们发现女职工人数就等于男职工人数的1.2倍，把得到的这个关系代入到总体的等量关系里，我们就得到了最终的等量关系，而部分同学就想着一次性找到等量关系，而往往审题不清，这使得学生在找等量关系更加混乱了；易粗心马虎，列方程就会容易出错。
4.根據自己的教学经验归纳出小学生初步用方程解决数学问题的几种方法
4.1牢记计算公式，根据公式来找等量关系。
这种方法一般适用于几何应用题。学生要牢记周长公式来解决问题。例如：“一个长方形的周长为32厘米，长是9厘米，宽是多少厘米？
4.2理解和熟记数量关系，根据常见的数量关系来找等量关系，这样方法一般在工程问题、行程问题、价格问题比较常见，教师在教学这三种问题时不但要学生理解，还应让学生记熟：“工作效率×工作时间=工作总量、速度X时间=路程、单价×数量=总价”等数量关系式。
4.3抓住关键词，根据字词的提示找等量关系。这种方法，一般适用于和差，倍数关系的应用题。在题中常有这样的提示：一共有”，“比……多（少）”，“是……的几倍”，等，在解题时，可根据这些关键的字词来找等量关系，按叙述的顺序列出方程。
4.4根据题意画线段图帮助学生直观的找出等量关系，从而列出方程。
5.后续思考
通过以上调研，我们了解了小学生在初步学习方程中一些困惑和想法，找出了一些用方程解决数学问题的方法，对学生的认知领域有很大提升。但是，在调研过程中这四道题目对于小学四年级学生来说难度、坡度到底有多大？可信度又会怎样？以后学生还会学习分数应用题，这些方法对学生的影响又有多大呢？值得思考。
参考文献
[1]注释①-----张丹《小学数学教学策略》121页，北京师范大学出版社。
[2]注释②-----张丹《小学数学教学策略》-139页----140页，北京师范大学出版社。
（作者单位：宁夏银川市永宁县蓝山学校）