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利用均值不等式ab≤a+b2（a>0，b>0）求函数的最值，要特别注意“一正、二定、三相等这三个条件，只有同时满足这三个条件，才能取得最大值或最小值，解题时，为了满足三个条件，必须将函数作巧妙的变形，下面总结函数变形的九大策略．
1．化负为正
例1 （2009全国Ⅰ卷 理16题）π4 解 由π41，y=tan2x•tan3x=2tan4x1－tan2x，
t=1－tan2x，t∈(－∞，0)，
则函数y=2(1－t)2t=2t+2t－4=－(－2t+2－t)－4≤－8，当且仅当t=－1，tan2x=2时等号成立，∴函数y=tan2x•tan3x的最大值是－8．
2．配凑系数
例2
（2010江苏卷理14题）将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记=(梯形的周长）2梯形的面积，则的最小值是______。
解 设DE=x，（0 梯形的面积为=△AC－△ADE=34－34x2，
∴=(3－x)234(1－x2)=4(3－x)23(1－x2)=43•3－x1－x•3－x1+x（0 ∵1－x3－x•1+x3－x=12•(2－2x3－x)(1+x3－x)≤12(2－2x3－x+1+x3－x2)2=12•14=18，
当且仅当2-2x3-x=1+x3-x,即x=13时取到等号
∴≥8•43=3233，∴min=3233．
3．重新组合
例3 （2010四川卷理12题）已知a>b>c>0，则2a2+1ab+1a(a－b)－10ac+2c2的最小值是（）
A 2
4
C 2
D
解 2a2+1ab+1a(a－b)－10ac+2c2=(a－c)2+a2+1ab+1a(a－b)
=(a－c)2+a2+(a－b)+bab(a－b)=(a－c)2+a2+1b(a－b)
=(a－c)2+［b+(a－b)］2+1b(a－b)≥(a－c)2+［2b(a－b)］2+1b(a－b)
=(a－c)2+4b(a－b)+1b(a－b)≥0+24b(a－b)•1b(a－b)=4
当且仅当a=c，b=a－b，4b(a－b)=1b(a－b)时等号成立，即取a=2、b=22、c=2满足条件，故选．
4．统一结构
例4 （2010重庆卷理7题）已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值是（）
A 3
4
C 92
D112
解 由x+2y+2xy=8，可得2xy=8－(x+2y)，2xy=x•2y≤(x+2y2)2，
∴ 8－(x+2y)≤(x+2y2)2，(x+2y)2+4(x+2y)－32≥0，解不等式可得x+2y≥4或
x+2y≤－8，而x>0，y>0，所以x+2y≥4，当且仅当x=2,y=1时取等号，
即x+2y的最小值是4．
．“1的逆代
例 （2009天津卷理6题）a>0，b>0，3是3a与3b的等比中项，则1a+1b的最小值为（）
A 8
4
C 1
D 14
解 3是3a与3b的等比中项，3a•3b=(3)2，3a+b=3，即a+b=1
将1=a+b代入式子的分子得，1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥4，选．
6．巧妙乘“1
例6 （2009山东卷理12题）若x，y满足线性条件3x－y－6≤0x－y+2≥0x≥0,y≥0，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值是12，则2a+3b的最小值为（）
A 26
83
C 113
D 4
解 当直线ax+by=z（a>0，b>0）过直线3x－y－6=0与直线x－y+2=0的交点A(4,6)时，目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大值12，即4a+6b=12，化简得2a+3b6=1，故2a+3b=(2a+3b)•1=(2a+3b)•2a+3b6=136+(ab+ba)≥136+2≥26．选A．
7．上下同除
例7 （2010山东卷理14题）对任意x>0，不等式xx2+3x+1≤a恒成立，则a的取值范围是______。
解 ∵x>0，∴x+1x≥2（当且仅当x=1时取等号），∴xx2+3x+1=1x+1x+3≤12+3=1，即xx2+3x+1的最大值是1，∴a≥1．
8．减元转化
例8 （2008江苏卷理第11题）设x，y，z都是正实数，且满足x－2y+3z=0，则y2xz的最小值为______。
解 这是个三元最值问题，首先要消元，将三元问题转化为二元问题x－2y+3z=0，得到y=x+3z2，y2xz=(x+3z)24xz=x2+6xz+9z24xz=14(xz+9zx+6)≥14(2×3+6)=3，
即当x=3z时，y2xz的最小值为3．
9．连续使用
例9 （2009重庆卷理11题）a>0，b>0，则1a+1b+2ab的最小值为______。
解 ∵a>0，b>0，∴1a+1b≥21ab（当且仅当a=b时取等号）
1a+1b+2ab≥21ab+2ab≥4（当且仅当ab=1时取等号），
∴1a+1b+2ab的最小值为4，当且仅当a=b=1时取等号．
1．化负为正
例1 （2009全国Ⅰ卷 理16题）π4
t=1－tan2x，t∈(－∞，0)，
则函数y=2(1－t)2t=2t+2t－4=－(－2t+2－t)－4≤－8，当且仅当t=－1，tan2x=2时等号成立，∴函数y=tan2x•tan3x的最大值是－8．
2．配凑系数
例2
（2010江苏卷理14题）将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记=(梯形的周长）2梯形的面积，则的最小值是______。
解 设DE=x，（0
∴=(3－x)234(1－x2)=4(3－x)23(1－x2)=43•3－x1－x•3－x1+x（0
当且仅当2-2x3-x=1+x3-x,即x=13时取到等号
∴≥8•43=3233，∴min=3233．
3．重新组合
例3 （2010四川卷理12题）已知a>b>c>0，则2a2+1ab+1a(a－b)－10ac+2c2的最小值是（）
A 2
4
C 2
D
解 2a2+1ab+1a(a－b)－10ac+2c2=(a－c)2+a2+1ab+1a(a－b)
=(a－c)2+a2+(a－b)+bab(a－b)=(a－c)2+a2+1b(a－b)
=(a－c)2+［b+(a－b)］2+1b(a－b)≥(a－c)2+［2b(a－b)］2+1b(a－b)
=(a－c)2+4b(a－b)+1b(a－b)≥0+24b(a－b)•1b(a－b)=4
当且仅当a=c，b=a－b，4b(a－b)=1b(a－b)时等号成立，即取a=2、b=22、c=2满足条件，故选．
4．统一结构
例4 （2010重庆卷理7题）已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值是（）
A 3
4
C 92
D112
解 由x+2y+2xy=8，可得2xy=8－(x+2y)，2xy=x•2y≤(x+2y2)2，
∴ 8－(x+2y)≤(x+2y2)2，(x+2y)2+4(x+2y)－32≥0，解不等式可得x+2y≥4或
x+2y≤－8，而x>0，y>0，所以x+2y≥4，当且仅当x=2,y=1时取等号，
即x+2y的最小值是4．
．“1的逆代
例 （2009天津卷理6题）a>0，b>0，3是3a与3b的等比中项，则1a+1b的最小值为（）
A 8
4
C 1
D 14
解 3是3a与3b的等比中项，3a•3b=(3)2，3a+b=3，即a+b=1
将1=a+b代入式子的分子得，1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥4，选．
6．巧妙乘“1
例6 （2009山东卷理12题）若x，y满足线性条件3x－y－6≤0x－y+2≥0x≥0,y≥0，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值是12，则2a+3b的最小值为（）
A 26
83
C 113
D 4
解 当直线ax+by=z（a>0，b>0）过直线3x－y－6=0与直线x－y+2=0的交点A(4,6)时，目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大值12，即4a+6b=12，化简得2a+3b6=1，故2a+3b=(2a+3b)•1=(2a+3b)•2a+3b6=136+(ab+ba)≥136+2≥26．选A．
7．上下同除
例7 （2010山东卷理14题）对任意x>0，不等式xx2+3x+1≤a恒成立，则a的取值范围是______。
解 ∵x>0，∴x+1x≥2（当且仅当x=1时取等号），∴xx2+3x+1=1x+1x+3≤12+3=1，即xx2+3x+1的最大值是1，∴a≥1．
8．减元转化
例8 （2008江苏卷理第11题）设x，y，z都是正实数，且满足x－2y+3z=0，则y2xz的最小值为______。
解 这是个三元最值问题，首先要消元，将三元问题转化为二元问题x－2y+3z=0，得到y=x+3z2，y2xz=(x+3z)24xz=x2+6xz+9z24xz=14(xz+9zx+6)≥14(2×3+6)=3，
即当x=3z时，y2xz的最小值为3．
9．连续使用
例9 （2009重庆卷理11题）a>0，b>0，则1a+1b+2ab的最小值为______。
解 ∵a>0，b>0，∴1a+1b≥21ab（当且仅当a=b时取等号）
1a+1b+2ab≥21ab+2ab≥4（当且仅当ab=1时取等号），
∴1a+1b+2ab的最小值为4，当且仅当a=b=1时取等号．