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问题 如图1,E是直线AB,CD内部一点,AB∥CD,连接EA,ED。
探究猜想:
①若∠A=30°,∠D=60°,则∠AED等于 °;
②猜想图1中∠AED,∠BAE,∠EDC的关系,并说明你的理由。
本题是由2018年随州市中考题改编而来,是一道从特殊角的计算,到一般结论的猜想与说理题。周老师就问题②猜想的结论∠AED=∠BAE ∠EDC的说理过程的四种解法,与同学们谈谈复杂问题中基本图形的构造。
一、从“E”点出发构造平行线基本图形
【解法1】如图2,过点E作EF∥AB,因为AB∥CD,所以CD∥EF,得∠BAE=∠AEF,∠EDC=∠FED,所以∠AED=∠AEF ∠FED=∠BAE ∠EDC。
【解法反思】通过作平行线,利用两直线平行内错角相等,两角分别转化,角的关系清楚呈现。
二、从“E”点出发构造三角形基本图形
【解法2】如图3,过E作EH⊥CD,垂足为H,并反向延长EH,交AB于G,由平行线性质得∠AGH=90°,所以∠BAE ∠AEG=90°,∠EDC ∠DEH=90°,所以(∠BAE ∠EDC) (∠AEG ∠DEH)=180°。又因為∠AED (∠AEG ∠DEH)=180°,所以∠AED=∠BAE ∠EDC。(过点E直接作直线与AB、CD相交也可以。)
【解法反思】从“E”出发,把∠BAE,∠EDC放入两个三角形中,利用三角形内角和和平角的定义,结合等式的性质,代换出三角关系。
三、从“AE”出发构造平行线基本图形
【解法3】如图4,延长AE交CD于点F,由∠AED是△DEF的外角,得∠AED=∠EDC ∠AFD,由AB∥CD,∠BAE=∠AFD,所以∠AED =∠BAE ∠EDC。
【解法反思】延长AE,既构造了三角形的外角,又转化了∠BAE,可见构造平行模型十分重要。
四、从“AD”出发构造平行线、三角形基本图形
【解法4】如图5,连接AD,由AB∥CD得∠BAD ∠ADC=180°,即(∠BAE ∠EDC) (∠1 ∠2)=180°。由△ADE内角和为180°,得(∠1 ∠2) ∠AED=180°,所以∠AED =∠BAE ∠EDC。
【解法反思】连接AD,既构造了平行模型,又得到三角形。事实说明:解题中,只要有思路,就会有出路。只要大胆尝试,就可能找到解决问题的途径。
(作者单位:江苏省建湖县城南实验初中教育集团)
探究猜想:
①若∠A=30°,∠D=60°,则∠AED等于 °;
②猜想图1中∠AED,∠BAE,∠EDC的关系,并说明你的理由。
本题是由2018年随州市中考题改编而来,是一道从特殊角的计算,到一般结论的猜想与说理题。周老师就问题②猜想的结论∠AED=∠BAE ∠EDC的说理过程的四种解法,与同学们谈谈复杂问题中基本图形的构造。
一、从“E”点出发构造平行线基本图形
【解法1】如图2,过点E作EF∥AB,因为AB∥CD,所以CD∥EF,得∠BAE=∠AEF,∠EDC=∠FED,所以∠AED=∠AEF ∠FED=∠BAE ∠EDC。
【解法反思】通过作平行线,利用两直线平行内错角相等,两角分别转化,角的关系清楚呈现。
二、从“E”点出发构造三角形基本图形
【解法2】如图3,过E作EH⊥CD,垂足为H,并反向延长EH,交AB于G,由平行线性质得∠AGH=90°,所以∠BAE ∠AEG=90°,∠EDC ∠DEH=90°,所以(∠BAE ∠EDC) (∠AEG ∠DEH)=180°。又因為∠AED (∠AEG ∠DEH)=180°,所以∠AED=∠BAE ∠EDC。(过点E直接作直线与AB、CD相交也可以。)
【解法反思】从“E”出发,把∠BAE,∠EDC放入两个三角形中,利用三角形内角和和平角的定义,结合等式的性质,代换出三角关系。
三、从“AE”出发构造平行线基本图形
【解法3】如图4,延长AE交CD于点F,由∠AED是△DEF的外角,得∠AED=∠EDC ∠AFD,由AB∥CD,∠BAE=∠AFD,所以∠AED =∠BAE ∠EDC。
【解法反思】延长AE,既构造了三角形的外角,又转化了∠BAE,可见构造平行模型十分重要。
四、从“AD”出发构造平行线、三角形基本图形
【解法4】如图5,连接AD,由AB∥CD得∠BAD ∠ADC=180°,即(∠BAE ∠EDC) (∠1 ∠2)=180°。由△ADE内角和为180°,得(∠1 ∠2) ∠AED=180°,所以∠AED =∠BAE ∠EDC。
【解法反思】连接AD,既构造了平行模型,又得到三角形。事实说明:解题中,只要有思路,就会有出路。只要大胆尝试,就可能找到解决问题的途径。
(作者单位:江苏省建湖县城南实验初中教育集团)