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数学研究需要一种平常心，不管什么教学内容，只要有热情，永远是心中研究的热点。上《3的倍数特征》这一课时，在充分理解教材意图以后，我进行了第一次设计：
让学号是2和5的倍数的同学分别举牌起立，相机复习2和5的倍数特征。随后让学生大胆猜想3的倍数特征。因为负迁移，很多学生会从个位判断，我便让学号是3的倍数的同学将学号贴在黑板上，引导学生观察这些数，发现3的倍数个位上不仅仅是3、6、9，从而帮助学生体悟3的倍数特征并不表现在个位上。这时学生迫切想知道3的倍数的特征究竟是什么。我趁机向学生介绍了古人算筹计数法，让学生用小棒将自己的学号摆出来，将抽象的数具体化，帮助学生形象地感知3的倍数与所用小棒的根数有关，然后慢慢扩大数的范围，从一百以内的数扩大到更大的数，揭示它们的共同点，引出普遍性的结论：摆一个3的倍数需要小棒的根数也是3的倍数。
此后，让学生选择3的倍数根的小棒自由摆数，进一步验证结论，同时完善不完全归纳法的缺陷。然后引导学生思考：小棒的根数和摆成的数有什么关系?通过事实让学生理解小棒的总根数就是这个数各位上数的和，并总结出3的倍数特征。最后借助“如果一个数不是3的倍数，各位上数的和也不是3的倍数”的研究，从另一个角度验证发现的规律是正确的。但这次设计没有完成试教，我就对这次设计作了一些新的思考，进行了第二次设计：
提供数字卡片，让学生移动卡片组成2和5的倍数，相机复习2和5的倍数特征。
让学生大胆猜测3的倍数的特征，将猜想写在练习本上但不公布。然后，给每个小组提供不同颗数的珠子，让学生用珠子摆数并判断是否为3的倍数。通过对比激活大家思考：为何有些小组摆出的数全是3的倍数，而有些小组怎么摆都摆不出3的倍数?将学生的目光集中于珠子的颗数。得出3的倍数所用珠予颗数的共同特点是珠子颗数都能被3整除。接着让学生再挑一些3的倍数的珠子摆数，验证学生的猜测是正确的。
数“形”结合，老师报数学生拨珠，充分感知珠子颗数和拨的数间的关系。随后让学生脱离拨珠直接判断，完成抽象。在对3的倍数有了一定的认识后，让学生调整自己猜想，最后归纳总结出3的倍数特征，并从正反两个方面举例验证。然后组织学生交流原来的猜想，借助百数图让学生在观察、交流的过程中自己发现、自我否定，进一步完善认知。
为何进行这样的修改源于以下思考：
一、悬念诱发思维积极参与
一堂好的课随时随地设置一些悬念，勾起学生好奇心，诱发学生思维主动参与。如果按照第一次设计，一些学生提前预习，或者爸爸妈妈在老师教之前主动当起了先锋队，猜想的时候学生挑明3的倍数特征，我该怎么收场?是表扬他为实验提供了很好的思路然后继续实验，还是顺着学生的思路，找几个数将各个数位相加验证一下和是不是3的倍数?我们做实验的目的是让学生在实验过程中充分体验，慢慢感悟，逐层抽象，然后得到结论。如果提前把要探究的新知识和盘托出，虽然学生可能一知半解，但是会受结论干扰，直奔主题，少了细细思考和体悟，实验价值大大削弱。变“探索”为“验证”也是一个办法，但是“验证”的过程真能取代“探究发现”的过程吗?仅仅举几个例子，验证方法单一，思维含量不高，学生则成了执行操作命令的“计算器”!所以第二次设计我让学生将猜想写下来不公布，既能避免知道特征的同学脱口而出干扰了其他同学的思路，又能激发每个学生积极思考：别人的猜想是什么?和我是否一样?究竟3的倍数具有怎样的特征?在这么一连串疑问的指引下，学生们就会产生一种探究的需求，才会有思维上的积极参与。
二、冲突激发思维积极参与
老师要善于为学生制造冲突，激起学生激烈地思维振荡，从而引发新的学习需要，生成主动探索的心向。第一个设计中，学生通过观察发现3的倍数看个位不行。老路子行不通了，学生处于“想知而未知，想得而未得”的学习状态，急需了解究竟什么是3的特征，这时候让学生摆学号，再摆一个更大的数，通过教师引导和观察、比较，学生也能发现小棒的根数与3的倍数的关系。但是总感觉思维冲击力不够大。因此，第二次设计我试着反向操作，给每个小组提供不同颗数的珠子，让学生利用老师提供的珠子摆数，有意让摆出3的倍数的小组汇报，汇报过程中学生发现有些小组怎么摆都是3的倍数，而有些小组怎么摆都摆不出来，极大的落差激发了学生强烈的思维冲突，激起认知上的矛盾，点燃了思维的火花。学生们第一个反应就是跟珠子颗数有关系，将目光投向对珠子颗数的关注，发现如果珠子的颗数是3的倍数，那么摆成的数也是3的倍数。因为有了前面的铺垫，听数拨珠环节，学生潜意识地观察珠子颗数和每个数位上数字和的关系，每拨一个数就建立一个表象，当这些表象积累到一定的程度，学生的外部感知逐步内化，学生从拨珠到脱离珠子，头脑中便形成了一个清晰的数学模型。
三、活动促发思维积极参与
任何学习活动都是外显和内隐活动的统一，都是操作和思维活动的统一，科学的活动往往能触发学生思维的积极投入。第二次设计我预设了一条路线：提供问题素材一初步猜想一可能的结论一检验与改进一改进了的猜想一证明—结论。因为在数学中随着研究的深入，原先的猜想被证明了，但并不意味着研究的结束，而是对原先的猜想做出适当的调整或提出新的猜想，再用实例进行检验，直至得到了可靠的结论。这样的情况非常常见。
根据安排好的路线，设计了初步猜想—提供任意颗数珠子摆数—提供3的倍数颗摆数一听数拨珠—看数直接判断—调整猜想—得出结论等几个层次的活动。首先让学生根据老师提供的珠子摆数，截然不同的结果促使学生思考，思考后发现：只要珠子颗数是3的倍数摆出来的数就是3的倍数。在学生有了发现后，我提供3的倍数颗珠子让学生随意摆，再次验证。在学生获得成功的体验，燃起进一步探究的欲望时，我又趁热打铁报数让学生拨珠子，建立表象。这时候我引导学生思考：珠子颗数和摆成的数有什么关系?再一次激活学生的思维，迫使学生回想刚才拨珠的过程，将珠子和数对接起来。接着让学生直接看数判断，脱离拨珠，实现抽象。随着实验的不断深入，学生对3的倍数特征越来越清晰，这时让学生调整猜想已经水到渠成。最后学生概括出结论，并通过反例进一步验证，更好地理解了结论的本质。课就在不断的猜想与验证中步步深入，完成了从量变到质变的过程。
学生参与课堂教学，不仅仅是行动上的呼应，更重要的是思维的同步。教师应精心设计活动、设计问题，让学生的思维参与成为发自内心的一种需要，只有这样，我们的课堂才能走向高效，学生的知识与能力、情感态度价值观的发展才能落到实处。
(责编 林 剑)
让学号是2和5的倍数的同学分别举牌起立，相机复习2和5的倍数特征。随后让学生大胆猜想3的倍数特征。因为负迁移，很多学生会从个位判断，我便让学号是3的倍数的同学将学号贴在黑板上，引导学生观察这些数，发现3的倍数个位上不仅仅是3、6、9，从而帮助学生体悟3的倍数特征并不表现在个位上。这时学生迫切想知道3的倍数的特征究竟是什么。我趁机向学生介绍了古人算筹计数法，让学生用小棒将自己的学号摆出来，将抽象的数具体化，帮助学生形象地感知3的倍数与所用小棒的根数有关，然后慢慢扩大数的范围，从一百以内的数扩大到更大的数，揭示它们的共同点，引出普遍性的结论：摆一个3的倍数需要小棒的根数也是3的倍数。
此后，让学生选择3的倍数根的小棒自由摆数，进一步验证结论，同时完善不完全归纳法的缺陷。然后引导学生思考：小棒的根数和摆成的数有什么关系?通过事实让学生理解小棒的总根数就是这个数各位上数的和，并总结出3的倍数特征。最后借助“如果一个数不是3的倍数，各位上数的和也不是3的倍数”的研究，从另一个角度验证发现的规律是正确的。但这次设计没有完成试教，我就对这次设计作了一些新的思考，进行了第二次设计：
提供数字卡片，让学生移动卡片组成2和5的倍数，相机复习2和5的倍数特征。
让学生大胆猜测3的倍数的特征，将猜想写在练习本上但不公布。然后，给每个小组提供不同颗数的珠子，让学生用珠子摆数并判断是否为3的倍数。通过对比激活大家思考：为何有些小组摆出的数全是3的倍数，而有些小组怎么摆都摆不出3的倍数?将学生的目光集中于珠子的颗数。得出3的倍数所用珠予颗数的共同特点是珠子颗数都能被3整除。接着让学生再挑一些3的倍数的珠子摆数，验证学生的猜测是正确的。
数“形”结合，老师报数学生拨珠，充分感知珠子颗数和拨的数间的关系。随后让学生脱离拨珠直接判断，完成抽象。在对3的倍数有了一定的认识后，让学生调整自己猜想，最后归纳总结出3的倍数特征，并从正反两个方面举例验证。然后组织学生交流原来的猜想，借助百数图让学生在观察、交流的过程中自己发现、自我否定，进一步完善认知。
为何进行这样的修改源于以下思考：
一、悬念诱发思维积极参与
一堂好的课随时随地设置一些悬念，勾起学生好奇心，诱发学生思维主动参与。如果按照第一次设计，一些学生提前预习，或者爸爸妈妈在老师教之前主动当起了先锋队，猜想的时候学生挑明3的倍数特征，我该怎么收场?是表扬他为实验提供了很好的思路然后继续实验，还是顺着学生的思路，找几个数将各个数位相加验证一下和是不是3的倍数?我们做实验的目的是让学生在实验过程中充分体验，慢慢感悟，逐层抽象，然后得到结论。如果提前把要探究的新知识和盘托出，虽然学生可能一知半解，但是会受结论干扰，直奔主题，少了细细思考和体悟，实验价值大大削弱。变“探索”为“验证”也是一个办法，但是“验证”的过程真能取代“探究发现”的过程吗?仅仅举几个例子，验证方法单一，思维含量不高，学生则成了执行操作命令的“计算器”!所以第二次设计我让学生将猜想写下来不公布，既能避免知道特征的同学脱口而出干扰了其他同学的思路，又能激发每个学生积极思考：别人的猜想是什么?和我是否一样?究竟3的倍数具有怎样的特征?在这么一连串疑问的指引下，学生们就会产生一种探究的需求，才会有思维上的积极参与。
二、冲突激发思维积极参与
老师要善于为学生制造冲突，激起学生激烈地思维振荡，从而引发新的学习需要，生成主动探索的心向。第一个设计中，学生通过观察发现3的倍数看个位不行。老路子行不通了，学生处于“想知而未知，想得而未得”的学习状态，急需了解究竟什么是3的特征，这时候让学生摆学号，再摆一个更大的数，通过教师引导和观察、比较，学生也能发现小棒的根数与3的倍数的关系。但是总感觉思维冲击力不够大。因此，第二次设计我试着反向操作，给每个小组提供不同颗数的珠子，让学生利用老师提供的珠子摆数，有意让摆出3的倍数的小组汇报，汇报过程中学生发现有些小组怎么摆都是3的倍数，而有些小组怎么摆都摆不出来，极大的落差激发了学生强烈的思维冲突，激起认知上的矛盾，点燃了思维的火花。学生们第一个反应就是跟珠子颗数有关系，将目光投向对珠子颗数的关注，发现如果珠子的颗数是3的倍数，那么摆成的数也是3的倍数。因为有了前面的铺垫，听数拨珠环节，学生潜意识地观察珠子颗数和每个数位上数字和的关系，每拨一个数就建立一个表象，当这些表象积累到一定的程度，学生的外部感知逐步内化，学生从拨珠到脱离珠子，头脑中便形成了一个清晰的数学模型。
三、活动促发思维积极参与
任何学习活动都是外显和内隐活动的统一，都是操作和思维活动的统一，科学的活动往往能触发学生思维的积极投入。第二次设计我预设了一条路线：提供问题素材一初步猜想一可能的结论一检验与改进一改进了的猜想一证明—结论。因为在数学中随着研究的深入，原先的猜想被证明了，但并不意味着研究的结束，而是对原先的猜想做出适当的调整或提出新的猜想，再用实例进行检验，直至得到了可靠的结论。这样的情况非常常见。
根据安排好的路线，设计了初步猜想—提供任意颗数珠子摆数—提供3的倍数颗摆数一听数拨珠—看数直接判断—调整猜想—得出结论等几个层次的活动。首先让学生根据老师提供的珠子摆数，截然不同的结果促使学生思考，思考后发现：只要珠子颗数是3的倍数摆出来的数就是3的倍数。在学生有了发现后，我提供3的倍数颗珠子让学生随意摆，再次验证。在学生获得成功的体验，燃起进一步探究的欲望时，我又趁热打铁报数让学生拨珠子，建立表象。这时候我引导学生思考：珠子颗数和摆成的数有什么关系?再一次激活学生的思维，迫使学生回想刚才拨珠的过程，将珠子和数对接起来。接着让学生直接看数判断，脱离拨珠，实现抽象。随着实验的不断深入，学生对3的倍数特征越来越清晰，这时让学生调整猜想已经水到渠成。最后学生概括出结论，并通过反例进一步验证，更好地理解了结论的本质。课就在不断的猜想与验证中步步深入，完成了从量变到质变的过程。
学生参与课堂教学，不仅仅是行动上的呼应，更重要的是思维的同步。教师应精心设计活动、设计问题，让学生的思维参与成为发自内心的一种需要，只有这样，我们的课堂才能走向高效，学生的知识与能力、情感态度价值观的发展才能落到实处。
(责编 林 剑)