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我们已经学会用不等式的知识来解决许多生活中的问题,下面请同学们一起来用不等式的知识探索平面图形——三角形中的不等关系.
首先我们想到的三角形中的不等关系就是“三角形的任意两边之和大于第三边”,这个大家都知道,比如图1的△ABC中,AB+AC>BC.其实,这个结论可以变一下形,根据不等式的性质可得AB>BC-AC,即BC-AC 那么,三角形中还有哪些不等关系呢?如图2,∠CBD是△ABC的外角,∠CBD必大于∠A与∠C.这是为什么呢?我们知道∠A+∠ABC+∠C=180°,且∠ABC+∠CBD=180°,那么可以得到∠CBD=∠A+∠C,三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,必然地就可以得到∠CBD>∠A,∠CBD>∠C,概括为“三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角”.
我们再看图1,这个三角形的三条边都不相等,BC>AB>AC,三个角也不相等,∠A>∠C>∠B,它们之间有什么联系吗?那是当然的.如图3,作∠BAC的平分线AD,将△ABC沿AD翻折,使△ADC翻折到△ADE,由于AB>AC,因此点C落在线段AB上的点E,于是∠C=∠AED.因为∠AED是△BED的外角,根据“三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角”得∠AED>∠B,即∠C>∠B.也就是说:当AB>AC时,∠C>∠B,可以概括为“在一个三角形中,如果两边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大”,简记为“大边对大角”.反之亦成立.
这样,我们就得到了三角形中的3个具有不等关系的结论:
结论1 三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;
结论2 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角;
结论3 在一个三角形中,如果两边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大,简记为“大边对大角”.反之亦然.
下面我们再来探一探三角形中其他衍生的不等关系,我们可以运用不等式的性质和上面的3个结论进行说明.
一、 三角形内一点衍生的不等关系
例1 如图4,D是△ABC内任一点,连接DA、DB、DC.
说明:(1) AB+AC>DB+DC;
(2) AB+BC+CA>DA+DB+DC;
(3) ∠BDC>∠BAC.
【解析】(1) 因DB、DC、AB、AC并不是同一个三角形中的线段,所以只有构造出可以沟通它们之间关系的图形才能加以说明.延长BD交AC于P,在△ABP中,AB+AP>PD+BD①,在△PDC中,PD+PC>CD②,①+②得AB+AP+PD+PC>PD+BD+CD,所以AB+AC>DB+DC;
(2) 根据(1)中的结论AB+AC>DB+DC①,同理可得:BA+BC>DA+DC②,CA+CB>DB+DA③,①+②+③得2AB+2BC+2CA>2DA+2DB+2DC,所以AB+BC+CA>DA+DB+DC.
(3) 根据(1)中的辅助线可知∠BDC是△CDP的外角,则∠BDC>∠CPD;而∠CPD是△BAP的外角,则∠CPD>∠BAC,故根据不等式的传递性可知∠BDC>∠BAC.
二、 三角形内两点衍生的不等关系
例2 已知:如图5,E、F是△ABC内的两点,连接BE、EF、FC.
说明:AB+AC>BE+EF+FC.
【解析】因为要证的线段没在同一个三角形内,它们没有直接关系,需要构造三角形,使它们在同一个三角形中,才能利用三角形三边关系来证.
【方法一】如图6,将线段EF向两端延长,分别交AB、AC于点M、M.在△AMN中,AM+ AN>MN,即AM+AN>ME+EF+FN①;在△BME中,BM+ME>BE②;在△CFN中,FN+CN>FC③.①+②+③得AM+AN+BM+ME+FN+CN>ME+EF+FN+BE+FC,即AB+AC>BE+EF+ FC.
【方法二】如图7,分别延长BE、EF交AC于点O、K.在△ABO中,AB+AO>BE+EO①;在△OEK中,OE+OK>EF+FK②;在△KFC中,FK+CK>FC③.①+②+③得AB+AO+OE+OK+FK+CK>BE+EO+EF+FK+FC,即AB+AC>BE+EF+FC.
【方法三】如图8,延长BE交AC于点O,延长CF交BO于点J.在△ABO中,AB+AO>BE+EO①;在△OJC中,OJ+OC>JF+FC②;在△JEF中,JE+JF>EF③.①+②+③得AB+AO+OJ+OC+JE+JF>BE+EO+JF+FC+EF,即AB+ AC>BE+EF+FC.
三、 三角形角平分线衍生的不等关系
例3 如图9,△ABC中,AB>AC,AG平分∠BAC.
说明:BG>GC.
【解析】因为AG平分∠BAC,故可将△ABC沿AG翻折,使△ABG翻折到△AQG,由于AB>AC,因此点B落在线段AC的延长线上点Q,于是BG=QG,∠B=∠Q.因为∠GCQ是△ABC的外角,根据“三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角”知∠GCQ>∠B,即∠GCQ>∠Q.在△GCQ中,∠GCQ>∠Q,根据“大角对大边”可得QG>GC,所以BG>GC.
首先我们想到的三角形中的不等关系就是“三角形的任意两边之和大于第三边”,这个大家都知道,比如图1的△ABC中,AB+AC>BC.其实,这个结论可以变一下形,根据不等式的性质可得AB>BC-AC,即BC-AC
我们再看图1,这个三角形的三条边都不相等,BC>AB>AC,三个角也不相等,∠A>∠C>∠B,它们之间有什么联系吗?那是当然的.如图3,作∠BAC的平分线AD,将△ABC沿AD翻折,使△ADC翻折到△ADE,由于AB>AC,因此点C落在线段AB上的点E,于是∠C=∠AED.因为∠AED是△BED的外角,根据“三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角”得∠AED>∠B,即∠C>∠B.也就是说:当AB>AC时,∠C>∠B,可以概括为“在一个三角形中,如果两边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大”,简记为“大边对大角”.反之亦成立.
这样,我们就得到了三角形中的3个具有不等关系的结论:
结论1 三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;
结论2 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角;
结论3 在一个三角形中,如果两边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大,简记为“大边对大角”.反之亦然.
下面我们再来探一探三角形中其他衍生的不等关系,我们可以运用不等式的性质和上面的3个结论进行说明.
一、 三角形内一点衍生的不等关系
例1 如图4,D是△ABC内任一点,连接DA、DB、DC.
说明:(1) AB+AC>DB+DC;
(2) AB+BC+CA>DA+DB+DC;
(3) ∠BDC>∠BAC.
【解析】(1) 因DB、DC、AB、AC并不是同一个三角形中的线段,所以只有构造出可以沟通它们之间关系的图形才能加以说明.延长BD交AC于P,在△ABP中,AB+AP>PD+BD①,在△PDC中,PD+PC>CD②,①+②得AB+AP+PD+PC>PD+BD+CD,所以AB+AC>DB+DC;
(2) 根据(1)中的结论AB+AC>DB+DC①,同理可得:BA+BC>DA+DC②,CA+CB>DB+DA③,①+②+③得2AB+2BC+2CA>2DA+2DB+2DC,所以AB+BC+CA>DA+DB+DC.
(3) 根据(1)中的辅助线可知∠BDC是△CDP的外角,则∠BDC>∠CPD;而∠CPD是△BAP的外角,则∠CPD>∠BAC,故根据不等式的传递性可知∠BDC>∠BAC.
二、 三角形内两点衍生的不等关系
例2 已知:如图5,E、F是△ABC内的两点,连接BE、EF、FC.
说明:AB+AC>BE+EF+FC.
【解析】因为要证的线段没在同一个三角形内,它们没有直接关系,需要构造三角形,使它们在同一个三角形中,才能利用三角形三边关系来证.
【方法一】如图6,将线段EF向两端延长,分别交AB、AC于点M、M.在△AMN中,AM+ AN>MN,即AM+AN>ME+EF+FN①;在△BME中,BM+ME>BE②;在△CFN中,FN+CN>FC③.①+②+③得AM+AN+BM+ME+FN+CN>ME+EF+FN+BE+FC,即AB+AC>BE+EF+ FC.
【方法二】如图7,分别延长BE、EF交AC于点O、K.在△ABO中,AB+AO>BE+EO①;在△OEK中,OE+OK>EF+FK②;在△KFC中,FK+CK>FC③.①+②+③得AB+AO+OE+OK+FK+CK>BE+EO+EF+FK+FC,即AB+AC>BE+EF+FC.
【方法三】如图8,延长BE交AC于点O,延长CF交BO于点J.在△ABO中,AB+AO>BE+EO①;在△OJC中,OJ+OC>JF+FC②;在△JEF中,JE+JF>EF③.①+②+③得AB+AO+OJ+OC+JE+JF>BE+EO+JF+FC+EF,即AB+ AC>BE+EF+FC.
三、 三角形角平分线衍生的不等关系
例3 如图9,△ABC中,AB>AC,AG平分∠BAC.
说明:BG>GC.
【解析】因为AG平分∠BAC,故可将△ABC沿AG翻折,使△ABG翻折到△AQG,由于AB>AC,因此点B落在线段AC的延长线上点Q,于是BG=QG,∠B=∠Q.因为∠GCQ是△ABC的外角,根据“三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角”知∠GCQ>∠B,即∠GCQ>∠Q.在△GCQ中,∠GCQ>∠Q,根据“大角对大边”可得QG>GC,所以BG>GC.