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摘要
数学核心素养落地于课堂教学，需要对目标、活动、素材和评价进行改进，使其适合于学生核心素养的发展。确定目标需要关注经验与知识的相互转化，设计活动需要激发学生的学习动力，选取素材需要对学习对象进行深度加工，设定评价需要学习与发展的内部转换。
关键词
数学核心素养 目标确定 活动设计 素材选取 评价设计
如何促进数学核心素养落地是一线数学教师关注的焦点问题，也是組织教学的难点问题。实践中，笔者意识到，只有当教师依托课标，创造性地使用与整合教材，设置能培育学生数学学科核心素养的教学情境，引导、激励学生深度思考，才能让学生在学习数学知识的同时，促进数学学习必备品格和关键能力的形成。下面就以苏科版八年级下册第11章“用反比例函数解决问题（第1课时）”为例，谈谈对目标、活动、素材和评价的改进，以实现数学核心素养在课堂教学中落地。
一、目标确定：经验与知识的相互转化
数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个方面。连续性、阶段性和整合性是数学核心素养的特点。由于学生在不同的学习阶段，针对每个核心素养会有不同的表现，因此，与之对应，教师必须站在学科整体的高度设置课时核心目标，以单元整体的视角来看待具体教学内容。根据教学内容的连续性和系统性确立具体教学目标，帮助学生深度理解内容，在整体教学领域中有重要地位，有助于发展学生的核心素养。
比如，函数单元的教学以培养学生的“数学抽象”素养为主要任务。学生在八年级上学期已经经历了从各种关系中抽象出函数关系，体会了函数概念产生的背景，掌握了函数概念的本质属性，紧接着，又经历了“从实际问题到一次函数（数学模型）→研究一次函数的图像和性质（解决数学问题）→用一次函数解决问题（应用）”这一系列有关函数的完整学习过程。教材为什么不在“一次函数”学习之后继续安排“反比例函数”的学习呢？那是因为“反比例函数”与“分式”有着密切联系，因此教材将“反比例函数”安排在八年级下册“分式”之后。像这样分时段学习函数，即体现了“数学抽象”素养的连续性和阶段性。“用反比例函数解决问题”是“反比例函数”一章的第3节，由于本章的前几节研究了“反比例函数的图像与性质”，学生也已克服由“直线”到“分支曲线”的认知困惑，因此，有一次函数相关知识和分式相关知识的基础，再解决本节课的问题，是水到渠成的事情。
鉴于以上分析，“用反比例函数解决问题”的教学目标设定如下：
1.感受反比例函数是刻画现实世界的一种数学模型;
2.经历运用反比例函数解决实际问题的过程，进一步体会数学建模思想，增强运用数学意识;
3.会用反比例函数的图像和性质对实际问题做出合理解释;
4.在合作交流过程中，敢于发表自己的观点，感受参与的快乐。
二、活动设计：激发学生的学习动力
要培养学生的数学理性精神，就要让学生从低阶思维走向高阶思维，这样才能提升和发展学生的数学核心素养。以往的浅层学习中，本节课往往会被上成习题课，即对一道道题目的机械解决。面对这样看似简单明了的教学内容，怎样才能上出数学味儿？这是笔者思考很久的问题。顾明远先生说：“教书育人在细微处，学生成长在活动中。”学生的深度学习来源于教师对深度学习情境的设计。因此，每节课都需要教师设计能够促进学生深度思考的活动，特别是驱动问题解决所需要的活动，即深度学习所倡导的：设计具有挑战性的学习任务，以此引发学生真正经历问题解决，实现核心素养的发展。
针对“用反比例函数解决问题”的教学目标，笔者设计了如下问题。
问题1：
从无锡到淮安大概有300km，则：
（1）若开车从无锡到淮安，行驶途中所用时间t（h）与行驶速度v（km/h）有什么样的关系？
（2）为了保证行车安全，高速公路雨雾天气限速80 km/h，那么从无锡至少需要多少小时才能到达淮安？
部分课堂实录如下：
在第（1）问解决t与v是函数关系，并且是反比例函数关系后，教师增设问题：“从无锡到淮安，老师花了3小时到达，你知道老师行驶的平均速度是多少吗？”对于接下来的第（2）问，教师安排学生先独立思考，并尽可能从多角度、用多方法来解决，然后安排小组交流，再师生互动，得出如下3种方法：
（1）方程法（利用函数性质）;
（2）不等式法;
（3）图像法（数形结合）。
最后，教师引导学生了解v=[300t]≤80不是我们已学不等式的一般模型。显然，这不是目前阶段解决问题的通法。得到反比例函数之后，我们应该根据其性质或图像来解决问题。
于是，师生共同归纳用反比例函数解决实际问题的一般策略，如图1：
从“已知3小时，求具体速度v”到“限速80km/h，求时间t的最小值”的过渡，即从“已知函数值，求对应的自变量值”到“已知自变量的范围，求相应的函数值的范围”的过渡。这样设置问题，符合研究函数的规律，体现了本章乃至整个函数的研究顺序。数学深度学习是一个过程，存在于个体的思维之中，不可以通过群体间的互动而生成，需要在多角度的深切体验中深化。通过该环节的学习，教师带领学生再次建立函数的模型结构，实现了学生的知识与思想的同步发展，着力提升“数学抽象”和“数学建模”这两大核心素养。
三、素材选取：对学习对象的深度加工
实践中，这样的现象普遍存在：有的教师为了凸显自身能力，会忽视教材的作用，以自己精心设置的题目代替教材例题;有的教师为了省事，会局限于教材例题的教授，从而也局限了学生的数学思维和理性深度。笔者所崇尚的素材选取，并非摒弃教材，另辟蹊径，而是本着“为学生的发展而设计”的教学理念，依托课标对教材素材进行深度加工。 问题2：淮安某水产养殖场计划新建一个长方体蓄水池，水池的底面积S（m2）与其深度h（m）之间的函数关系如图2所示：
（1）蓄水池的体积是 m3;
（2）底面积S（m2）与其深度h（m）的函数关系是 ;
（3）如果蓄水池的深度设计为5m，那么它的底面积应为 ;
（4）如果考虑绿化以及辅助用地的需要，蓄水池的长和宽最多只能分别设计为80m和60m，那么它的深度至少应为多少m（精确到0.1）？
部分课堂实录如下：
对于第（4）问，当S=80×60=4800时，h=8[13]。对h最后的结果取8.3，还是8.4，学生有争论。教师让他们自己想办法去说服对方，于是图像法再次被提出来。此时用彩色笔描出在条件范围内的部分，可以非常直观地看出所求的结果应该在8.3的右边，最终结果确定为8.4m。
细细品读教材例题，我们可以发现还有一个易被忽视的数据处理细节，即：在很多实际问题的解答中，需对计算结果做“进一”处理。在原有例题中，当S=100×60=6000时，h=6[23]=6.6，学生无需深入思考，便会对结果进一。诚然，这不是我们所希望看到的浅层学习样态。因此，笔者稍稍改变了一下条件中的已知数据，使得结果必须经过深入思考之后才能得出。此处，正是一个很好的深度学习的平台，学生有高阶思维发展的用武之地。他们不仅自己知道正确结果，还得想办法把别人讲懂，思维不仅由内隐走向外显，而且走向纵深。另外，本节课是用反比例函数解决问题，而反比例函数的模型不仅仅可以从文字中抽象出，也可以以函数图像的形式来呈现。于是，笔者将教材原有例题的文字做了一些适当处理，最后以图像的形式出现。这样随着问题1 和问题2的形式不同，课堂内容也相应丰富起来。
不难发现，这样处理的目的依然是指向学科核心素养的培养。“数缺形时少直观”，当学生尝试用图像来说理时，说明其“直观想象”的素养再次得到提升。
四、评价设定：学习与发展的内部转换
对教师而言，及时反馈和持续评价有助于发展学生的认知能力。但在实际教学中却存在这样的误区：把“评价”理解成“测试”，最终窄化为“做题”。立德树人的目的是实现学生全面而有个性的成长，因此，教师在日常课堂教学中则应更多地设计“为学习”的评价。
经历过问题1与问题2的解决，笔者设计了一个编题鉴题环节。
问题3：我们已经知道不同的实际问题可以用同一个代数式表示，同一个代数式也可以表示不同的实际意义。而生活中也有很多反比例函数的实际问题，你能否和同伴合作，以y=[1200x]为函数模型设计一个类似例题的实际问题？然后，请其他同学对你的问题作出解答和合理评价。
部分课堂实录如下：
某小组的问题：“小刚进行1200米的跑步，他的平均速度为x米/分钟，他所需时间为y分钟，y和x有什么关系？如果他的平均速度不低于600米/分钟，那么他跑完1200米所需时间最多是多少分钟？”乍一看，该问题和课堂上的两个例题相似，设置得很好，需要根据自变量的范圍来求函数值的范围。作为老师，笔者自然很快知道这里有不切实际的数据存在。但是，学生没有立即发现。于是，笔者故意不发表意见，微笑着看着学生们。稍作思考后，举手的人越来越多。笔者以一句“我们不可能有600米/分钟这么快的跑步速度”点醒学生：今后无论是自己解决问题，还是在自己编题设置数据时，都要尊重事实，注意数据的有效性，这样才能体现数学的严谨美。
遵循“数学来源于生活，又服务于生活”的原则，此处设置“编题鉴题”的活动，主要是为了培养学生的创新能力和表达能力，重在确保表现性评价的完成，需要学生调动高层次学习所需要的知识整合、批判性思维和解决复杂问题的关键能力。
总之，数学学科核心素养六个方面的具体内容，是一线教师实施教学的准确定位。数学教师在备课和组织教学时，需要深入挖掘数学知识内隐的学科价值和育人功能，帮助学生触及学科本质和知识内核，以实现学生核心素养的真正落地为目的。
（作者单位：江苏省锡山高级中学实验学校）
【参考文献】
[1]孙学东.结构性问题设计与高阶思维培养.基础教育课程[J]，2019（1）.
[2]张丽华.激发由情境引起的数学思考.江苏教育[J]，2013（7）.
数学核心素养落地于课堂教学，需要对目标、活动、素材和评价进行改进，使其适合于学生核心素养的发展。确定目标需要关注经验与知识的相互转化，设计活动需要激发学生的学习动力，选取素材需要对学习对象进行深度加工，设定评价需要学习与发展的内部转换。
关键词
数学核心素养 目标确定 活动设计 素材选取 评价设计
如何促进数学核心素养落地是一线数学教师关注的焦点问题，也是組织教学的难点问题。实践中，笔者意识到，只有当教师依托课标，创造性地使用与整合教材，设置能培育学生数学学科核心素养的教学情境，引导、激励学生深度思考，才能让学生在学习数学知识的同时，促进数学学习必备品格和关键能力的形成。下面就以苏科版八年级下册第11章“用反比例函数解决问题（第1课时）”为例，谈谈对目标、活动、素材和评价的改进，以实现数学核心素养在课堂教学中落地。
一、目标确定：经验与知识的相互转化
数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个方面。连续性、阶段性和整合性是数学核心素养的特点。由于学生在不同的学习阶段，针对每个核心素养会有不同的表现，因此，与之对应，教师必须站在学科整体的高度设置课时核心目标，以单元整体的视角来看待具体教学内容。根据教学内容的连续性和系统性确立具体教学目标，帮助学生深度理解内容，在整体教学领域中有重要地位，有助于发展学生的核心素养。
比如，函数单元的教学以培养学生的“数学抽象”素养为主要任务。学生在八年级上学期已经经历了从各种关系中抽象出函数关系，体会了函数概念产生的背景，掌握了函数概念的本质属性，紧接着，又经历了“从实际问题到一次函数（数学模型）→研究一次函数的图像和性质（解决数学问题）→用一次函数解决问题（应用）”这一系列有关函数的完整学习过程。教材为什么不在“一次函数”学习之后继续安排“反比例函数”的学习呢？那是因为“反比例函数”与“分式”有着密切联系，因此教材将“反比例函数”安排在八年级下册“分式”之后。像这样分时段学习函数，即体现了“数学抽象”素养的连续性和阶段性。“用反比例函数解决问题”是“反比例函数”一章的第3节，由于本章的前几节研究了“反比例函数的图像与性质”，学生也已克服由“直线”到“分支曲线”的认知困惑，因此，有一次函数相关知识和分式相关知识的基础，再解决本节课的问题，是水到渠成的事情。
鉴于以上分析，“用反比例函数解决问题”的教学目标设定如下：
1.感受反比例函数是刻画现实世界的一种数学模型;
2.经历运用反比例函数解决实际问题的过程，进一步体会数学建模思想，增强运用数学意识;
3.会用反比例函数的图像和性质对实际问题做出合理解释;
4.在合作交流过程中，敢于发表自己的观点，感受参与的快乐。
二、活动设计：激发学生的学习动力
要培养学生的数学理性精神，就要让学生从低阶思维走向高阶思维，这样才能提升和发展学生的数学核心素养。以往的浅层学习中，本节课往往会被上成习题课，即对一道道题目的机械解决。面对这样看似简单明了的教学内容，怎样才能上出数学味儿？这是笔者思考很久的问题。顾明远先生说：“教书育人在细微处，学生成长在活动中。”学生的深度学习来源于教师对深度学习情境的设计。因此，每节课都需要教师设计能够促进学生深度思考的活动，特别是驱动问题解决所需要的活动，即深度学习所倡导的：设计具有挑战性的学习任务，以此引发学生真正经历问题解决，实现核心素养的发展。
针对“用反比例函数解决问题”的教学目标，笔者设计了如下问题。
问题1：
从无锡到淮安大概有300km，则：
（1）若开车从无锡到淮安，行驶途中所用时间t（h）与行驶速度v（km/h）有什么样的关系？
（2）为了保证行车安全，高速公路雨雾天气限速80 km/h，那么从无锡至少需要多少小时才能到达淮安？
部分课堂实录如下：
在第（1）问解决t与v是函数关系，并且是反比例函数关系后，教师增设问题：“从无锡到淮安，老师花了3小时到达，你知道老师行驶的平均速度是多少吗？”对于接下来的第（2）问，教师安排学生先独立思考，并尽可能从多角度、用多方法来解决，然后安排小组交流，再师生互动，得出如下3种方法：
（1）方程法（利用函数性质）;
（2）不等式法;
（3）图像法（数形结合）。
最后，教师引导学生了解v=[300t]≤80不是我们已学不等式的一般模型。显然，这不是目前阶段解决问题的通法。得到反比例函数之后，我们应该根据其性质或图像来解决问题。
于是，师生共同归纳用反比例函数解决实际问题的一般策略，如图1：
从“已知3小时，求具体速度v”到“限速80km/h，求时间t的最小值”的过渡，即从“已知函数值，求对应的自变量值”到“已知自变量的范围，求相应的函数值的范围”的过渡。这样设置问题，符合研究函数的规律，体现了本章乃至整个函数的研究顺序。数学深度学习是一个过程，存在于个体的思维之中，不可以通过群体间的互动而生成，需要在多角度的深切体验中深化。通过该环节的学习，教师带领学生再次建立函数的模型结构，实现了学生的知识与思想的同步发展，着力提升“数学抽象”和“数学建模”这两大核心素养。
三、素材选取：对学习对象的深度加工
实践中，这样的现象普遍存在：有的教师为了凸显自身能力，会忽视教材的作用，以自己精心设置的题目代替教材例题;有的教师为了省事，会局限于教材例题的教授，从而也局限了学生的数学思维和理性深度。笔者所崇尚的素材选取，并非摒弃教材，另辟蹊径，而是本着“为学生的发展而设计”的教学理念，依托课标对教材素材进行深度加工。 问题2：淮安某水产养殖场计划新建一个长方体蓄水池，水池的底面积S（m2）与其深度h（m）之间的函数关系如图2所示：
（1）蓄水池的体积是 m3;
（2）底面积S（m2）与其深度h（m）的函数关系是 ;
（3）如果蓄水池的深度设计为5m，那么它的底面积应为 ;
（4）如果考虑绿化以及辅助用地的需要，蓄水池的长和宽最多只能分别设计为80m和60m，那么它的深度至少应为多少m（精确到0.1）？
部分课堂实录如下：
对于第（4）问，当S=80×60=4800时，h=8[13]。对h最后的结果取8.3，还是8.4，学生有争论。教师让他们自己想办法去说服对方，于是图像法再次被提出来。此时用彩色笔描出在条件范围内的部分，可以非常直观地看出所求的结果应该在8.3的右边，最终结果确定为8.4m。
细细品读教材例题，我们可以发现还有一个易被忽视的数据处理细节，即：在很多实际问题的解答中，需对计算结果做“进一”处理。在原有例题中，当S=100×60=6000时，h=6[23]=6.6，学生无需深入思考，便会对结果进一。诚然，这不是我们所希望看到的浅层学习样态。因此，笔者稍稍改变了一下条件中的已知数据，使得结果必须经过深入思考之后才能得出。此处，正是一个很好的深度学习的平台，学生有高阶思维发展的用武之地。他们不仅自己知道正确结果，还得想办法把别人讲懂，思维不仅由内隐走向外显，而且走向纵深。另外，本节课是用反比例函数解决问题，而反比例函数的模型不仅仅可以从文字中抽象出，也可以以函数图像的形式来呈现。于是，笔者将教材原有例题的文字做了一些适当处理，最后以图像的形式出现。这样随着问题1 和问题2的形式不同，课堂内容也相应丰富起来。
不难发现，这样处理的目的依然是指向学科核心素养的培养。“数缺形时少直观”，当学生尝试用图像来说理时，说明其“直观想象”的素养再次得到提升。
四、评价设定：学习与发展的内部转换
对教师而言，及时反馈和持续评价有助于发展学生的认知能力。但在实际教学中却存在这样的误区：把“评价”理解成“测试”，最终窄化为“做题”。立德树人的目的是实现学生全面而有个性的成长，因此，教师在日常课堂教学中则应更多地设计“为学习”的评价。
经历过问题1与问题2的解决，笔者设计了一个编题鉴题环节。
问题3：我们已经知道不同的实际问题可以用同一个代数式表示，同一个代数式也可以表示不同的实际意义。而生活中也有很多反比例函数的实际问题，你能否和同伴合作，以y=[1200x]为函数模型设计一个类似例题的实际问题？然后，请其他同学对你的问题作出解答和合理评价。
部分课堂实录如下：
某小组的问题：“小刚进行1200米的跑步，他的平均速度为x米/分钟，他所需时间为y分钟，y和x有什么关系？如果他的平均速度不低于600米/分钟，那么他跑完1200米所需时间最多是多少分钟？”乍一看，该问题和课堂上的两个例题相似，设置得很好，需要根据自变量的范圍来求函数值的范围。作为老师，笔者自然很快知道这里有不切实际的数据存在。但是，学生没有立即发现。于是，笔者故意不发表意见，微笑着看着学生们。稍作思考后，举手的人越来越多。笔者以一句“我们不可能有600米/分钟这么快的跑步速度”点醒学生：今后无论是自己解决问题，还是在自己编题设置数据时，都要尊重事实，注意数据的有效性，这样才能体现数学的严谨美。
遵循“数学来源于生活，又服务于生活”的原则，此处设置“编题鉴题”的活动，主要是为了培养学生的创新能力和表达能力，重在确保表现性评价的完成，需要学生调动高层次学习所需要的知识整合、批判性思维和解决复杂问题的关键能力。
总之，数学学科核心素养六个方面的具体内容，是一线教师实施教学的准确定位。数学教师在备课和组织教学时，需要深入挖掘数学知识内隐的学科价值和育人功能，帮助学生触及学科本质和知识内核，以实现学生核心素养的真正落地为目的。
（作者单位：江苏省锡山高级中学实验学校）
【参考文献】
[1]孙学东.结构性问题设计与高阶思维培养.基础教育课程[J]，2019（1）.
[2]张丽华.激发由情境引起的数学思考.江苏教育[J]，2013（7）.