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我们知道生活中处处用到数学，很多数学知识被人们运用到实际生活当中去.
1. “等量代换”法的应用：
故事1 《曹冲称象》的故事：曹冲年少聪明善于观察，到五六岁的时候，知识和判断能力所达到的程度，可以比得上成人.孙权曾经送来过一头巨象，曹操想要知道这象的重量，询问他的下属，都没法想出称象的办法.曹冲说："把象安放到大船上，在水面所达到的地方做上记号，再让船装载其他东西，称一下这些东西，那么就能知道结果了.曹操听了很高兴，马上照这个办法做了.
【解析】“曹冲称象”在中国几乎是妇孺皆知的故事.年仅六岁的曹冲，利用漂浮在水面上的物体的重力等于水对物体的浮力这一物理原理，解决了一个连许多有学问的成年人都一筹莫展的大难题，这不能不说是一个奇迹.可是，在那个年代（公元200年），虽然阿基米德原理已经发现了500年，但这一原理直到1627年才传入中国，小曹冲不可能知道这个原理，更不用说浮沉条件了.实际上，聪明的曹冲所用的方法是“等量替换”法.用许多石头代替大象，在船舷上刻画记号，让大象与石头产生等量的效果，再一次一次称出石头的重量，使“大”转化为“小”，分而治之，这一难题就得到圆满的解决.
故事2 美国大发明家爱迪生有一位数学基础相当好的助手叫阿普顿.有一次，爱迪生把一只电灯泡的玻璃壳交给阿普顿，要他计算一下灯泡的容积.阿普顿看着梨形的灯泡壳，思索了好久之后，画出了灯泡壳的剖视图、立体图，画出了一条条复杂的曲线，测量了一个个数据，列出了一道道算式.经过几个小时的紧张计算，还未得出结果.爱迪生看后很不满意.只见爱迪生在灯泡壳里装满水，再把水倒进量杯，不到一分钟，就把灯泡的容积“算”出来了.
【解析】马是在大年三十的晚上丢的，那是一匹快要下小马驹的母马.这则故事给我们两点启示：（1） 要读懂题目中的隐含条件；（2） 学习数学，要有分类思想.下面分别谈一下.
（1） 读懂题目中的隐含条件：
例1 已知：如图1，AC、BD相交于点O，
求证：∠A ∠B=∠C ∠D.
【分析】要证明∠A ∠B=∠C ∠D，就要通过三角形内角和定理和对顶角相等条件得出结果.
【答案】如图1所示，
∵∠A ∠B ∠AOB=180°，
∠C ∠D ∠COD=180°（三角形内角和定理），且∠AOB=∠COD（对顶角相等），
∴∠A ∠B=∠C ∠D.
（2） 数学学习，要有分类思想：
寻马的故事告诉我们事物是发展的，会从量变到质变（数量多少的变化会引起性质不同的变化）.如寻马中的“去年”“今年”“一匹马”“两匹马”等分开讨论，都体现了分类思想，下面举例讨论一下：
例2 已知：等腰△ABC中，一条边的长是6，另一条边的长是9.求第三条边的长.
【分析】本题要分情况说明，体现了分类思想，同时还要结合三角形构成的条件说明.
【答案】（1） 当一腰长是6时，另一腰长也是6. ∵符合6 6>9的条件，∴另一条边长是6.
（2） 当一腰长是9时，另一腰长也是9.
∵符合6 9>9的条件，∴另一条边长是9.
3. 反证法的应用：
故事4 有关八仙的故事家喻户晓.八仙之一的铁拐李喜好游山玩水，一日，拐仙游性大发，便身背那只形影不离的宝葫芦腾云驾雾，寻找游玩的好去处.忽见一都市繁华非常，就按下云头，走进市内东张西望，只见迎面一家大店铺，招牌上写着“抬杠铺”三个大字.拐仙看了心中十分纳闷，他想：“我铁拐李等诸仙漂洋过海，天上人间什么稀奇古怪的事儿没见过？唯独这等专门抬杠的店铺倒真的还没见过.也好，我今天倒要进去见识见识.”他来到店铺门前，才发现大门框上还贴着一副对联，上联是：天下事事事可抬杠；下联是：进铺人人人输吾乎.横批是：只赢不输.铁拐李看罢，早把“仙不与民争”的古训忘在脑后，气得大叫一声：“掌柜的，吾乃是八仙之一的铁拐李，今天专程来与你玩玩抬杠，赌个输赢！”
掌柜的不慌不忙地站起来，拱了拱手说：“久仰，久仰.不知客官要抬什么事？”拐仙顺手取下宝葫芦放在柜台上：“就抬此物.”掌柜笑道：“也好，不过丑话说在前头，若我输了，情愿把此店铺输于你，但不知您客官打算抵押何物？”铁拐李忙答：“若我输了，情愿将宝葫芦输于你.”掌柜将葫芦轻轻一转：“这个破葫芦有何用处？”拐仙大笑：“说你是个肉胎凡夫不识宝，我这宝葫芦乃是天上有、地上无之物，能消灾灭祸，包治百病！”掌柜一听，冷笑一声，拿起宝葫芦便往屋里走，铁拐李马上一拐一拐地追进去嚷道：“你为何不抬杠，却抢走了我的葫芦？”掌柜转身笑道：“我赢了，当然此物归我所有.”拐仙气呼呼地质问：“还未抬杠，怎知输赢？”
果然，掌柜只点破谜底一句话，铁拐李马上满面羞愧，张着大嘴无言以对，只好离去.
亲爱的同学，你知道这“点破谜底的一句话”是什么吗？
【答案】掌柜问铁拐李：“宝葫芦包治百病，为何连你的腿瘸都治不好呢？”
在民间，神仙铁拐李无人不知，无人不晓，他随身不离的那只宝葫芦，更是法力无边的镇身之宝.现在拐仙用葫芦押作赌注，倒不是输红了眼，孤注一掷之招，而是以一种稳操胜券的心态来与对手较量的.看起来，力量对比如此悬殊，只会“耍嘴皮子”的掌柜必输无疑了.可是，这位掌柜身手不凡，一句“宝葫芦包治百病，可惜治不了你的瘸腿病”就把对手打了个人仰马翻，灰溜溜地败下阵去.掌柜的成功在于他一不畏强手（神仙），二善于听其言，观其行，抓住对方语言的自相矛盾之处，先退后进，击一猛掌，取得胜利.掌柜的取胜绝招叫作反证法，这也是数学解题的重要方法.
由于同学们对反证法解题比较生疏，现仍以铁拐李抬杠故事为“楼梯”，介绍反证法的解题步骤.为简略起见，将反证法解题要点步骤归纳如下表：
下面通过具体的例子来展开说明：
例3 已知：l1∥l3，l2∥l3.求证：l1∥l2.
【分析】正难则反，先假设l1与l2不平行，则l1与l2相交于点P.
【答案】∵l1∥l3，l2∥l3，根据平行公理：过直线外一点（如本题中的点P），有且只有一条直线与已知直线平行，可是这里过点P有两条直线l1、l2与已知直线l3平行，说明l1与l2不平行是错误的.∴原假设错误，即l1∥l2.
总结：学法同兵法，当你无法直接证明时，你可以采用一下反证法，这样可以通过逻辑推理，从中找出与已知条件、公理、定义、定理……自相矛盾处，反戈一击，打他个措手不及，这就是反证法，其核心是正难则反，逻辑制胜，所以反证法也是解题的重要方法之一.
（作者单位：江苏省连云港市海头中心小学）
1. “等量代换”法的应用：
故事1 《曹冲称象》的故事：曹冲年少聪明善于观察，到五六岁的时候，知识和判断能力所达到的程度，可以比得上成人.孙权曾经送来过一头巨象，曹操想要知道这象的重量，询问他的下属，都没法想出称象的办法.曹冲说："把象安放到大船上，在水面所达到的地方做上记号，再让船装载其他东西，称一下这些东西，那么就能知道结果了.曹操听了很高兴，马上照这个办法做了.
【解析】“曹冲称象”在中国几乎是妇孺皆知的故事.年仅六岁的曹冲，利用漂浮在水面上的物体的重力等于水对物体的浮力这一物理原理，解决了一个连许多有学问的成年人都一筹莫展的大难题，这不能不说是一个奇迹.可是，在那个年代（公元200年），虽然阿基米德原理已经发现了500年，但这一原理直到1627年才传入中国，小曹冲不可能知道这个原理，更不用说浮沉条件了.实际上，聪明的曹冲所用的方法是“等量替换”法.用许多石头代替大象，在船舷上刻画记号，让大象与石头产生等量的效果，再一次一次称出石头的重量，使“大”转化为“小”，分而治之，这一难题就得到圆满的解决.
故事2 美国大发明家爱迪生有一位数学基础相当好的助手叫阿普顿.有一次，爱迪生把一只电灯泡的玻璃壳交给阿普顿，要他计算一下灯泡的容积.阿普顿看着梨形的灯泡壳，思索了好久之后，画出了灯泡壳的剖视图、立体图，画出了一条条复杂的曲线，测量了一个个数据，列出了一道道算式.经过几个小时的紧张计算，还未得出结果.爱迪生看后很不满意.只见爱迪生在灯泡壳里装满水，再把水倒进量杯，不到一分钟，就把灯泡的容积“算”出来了.
【解析】马是在大年三十的晚上丢的，那是一匹快要下小马驹的母马.这则故事给我们两点启示：（1） 要读懂题目中的隐含条件；（2） 学习数学，要有分类思想.下面分别谈一下.
（1） 读懂题目中的隐含条件：
例1 已知：如图1，AC、BD相交于点O，
求证：∠A ∠B=∠C ∠D.
【分析】要证明∠A ∠B=∠C ∠D，就要通过三角形内角和定理和对顶角相等条件得出结果.
【答案】如图1所示，
∵∠A ∠B ∠AOB=180°，
∠C ∠D ∠COD=180°（三角形内角和定理），且∠AOB=∠COD（对顶角相等），
∴∠A ∠B=∠C ∠D.
（2） 数学学习，要有分类思想：
寻马的故事告诉我们事物是发展的，会从量变到质变（数量多少的变化会引起性质不同的变化）.如寻马中的“去年”“今年”“一匹马”“两匹马”等分开讨论，都体现了分类思想，下面举例讨论一下：
例2 已知：等腰△ABC中，一条边的长是6，另一条边的长是9.求第三条边的长.
【分析】本题要分情况说明，体现了分类思想，同时还要结合三角形构成的条件说明.
【答案】（1） 当一腰长是6时，另一腰长也是6. ∵符合6 6>9的条件，∴另一条边长是6.
（2） 当一腰长是9时，另一腰长也是9.
∵符合6 9>9的条件，∴另一条边长是9.
3. 反证法的应用：
故事4 有关八仙的故事家喻户晓.八仙之一的铁拐李喜好游山玩水，一日，拐仙游性大发，便身背那只形影不离的宝葫芦腾云驾雾，寻找游玩的好去处.忽见一都市繁华非常，就按下云头，走进市内东张西望，只见迎面一家大店铺，招牌上写着“抬杠铺”三个大字.拐仙看了心中十分纳闷，他想：“我铁拐李等诸仙漂洋过海，天上人间什么稀奇古怪的事儿没见过？唯独这等专门抬杠的店铺倒真的还没见过.也好，我今天倒要进去见识见识.”他来到店铺门前，才发现大门框上还贴着一副对联，上联是：天下事事事可抬杠；下联是：进铺人人人输吾乎.横批是：只赢不输.铁拐李看罢，早把“仙不与民争”的古训忘在脑后，气得大叫一声：“掌柜的，吾乃是八仙之一的铁拐李，今天专程来与你玩玩抬杠，赌个输赢！”
掌柜的不慌不忙地站起来，拱了拱手说：“久仰，久仰.不知客官要抬什么事？”拐仙顺手取下宝葫芦放在柜台上：“就抬此物.”掌柜笑道：“也好，不过丑话说在前头，若我输了，情愿把此店铺输于你，但不知您客官打算抵押何物？”铁拐李忙答：“若我输了，情愿将宝葫芦输于你.”掌柜将葫芦轻轻一转：“这个破葫芦有何用处？”拐仙大笑：“说你是个肉胎凡夫不识宝，我这宝葫芦乃是天上有、地上无之物，能消灾灭祸，包治百病！”掌柜一听，冷笑一声，拿起宝葫芦便往屋里走，铁拐李马上一拐一拐地追进去嚷道：“你为何不抬杠，却抢走了我的葫芦？”掌柜转身笑道：“我赢了，当然此物归我所有.”拐仙气呼呼地质问：“还未抬杠，怎知输赢？”
果然，掌柜只点破谜底一句话，铁拐李马上满面羞愧，张着大嘴无言以对，只好离去.
亲爱的同学，你知道这“点破谜底的一句话”是什么吗？
【答案】掌柜问铁拐李：“宝葫芦包治百病，为何连你的腿瘸都治不好呢？”
在民间，神仙铁拐李无人不知，无人不晓，他随身不离的那只宝葫芦，更是法力无边的镇身之宝.现在拐仙用葫芦押作赌注，倒不是输红了眼，孤注一掷之招，而是以一种稳操胜券的心态来与对手较量的.看起来，力量对比如此悬殊，只会“耍嘴皮子”的掌柜必输无疑了.可是，这位掌柜身手不凡，一句“宝葫芦包治百病，可惜治不了你的瘸腿病”就把对手打了个人仰马翻，灰溜溜地败下阵去.掌柜的成功在于他一不畏强手（神仙），二善于听其言，观其行，抓住对方语言的自相矛盾之处，先退后进，击一猛掌，取得胜利.掌柜的取胜绝招叫作反证法，这也是数学解题的重要方法.
由于同学们对反证法解题比较生疏，现仍以铁拐李抬杠故事为“楼梯”，介绍反证法的解题步骤.为简略起见，将反证法解题要点步骤归纳如下表：
下面通过具体的例子来展开说明：
例3 已知：l1∥l3，l2∥l3.求证：l1∥l2.
【分析】正难则反，先假设l1与l2不平行，则l1与l2相交于点P.
【答案】∵l1∥l3，l2∥l3，根据平行公理：过直线外一点（如本题中的点P），有且只有一条直线与已知直线平行，可是这里过点P有两条直线l1、l2与已知直线l3平行，说明l1与l2不平行是错误的.∴原假设错误，即l1∥l2.
总结：学法同兵法，当你无法直接证明时，你可以采用一下反证法，这样可以通过逻辑推理，从中找出与已知条件、公理、定义、定理……自相矛盾处，反戈一击，打他个措手不及，这就是反证法，其核心是正难则反，逻辑制胜，所以反证法也是解题的重要方法之一.
（作者单位：江苏省连云港市海头中心小学）