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【摘 要】“思维经验”是伴随着思维活动的过程性体验同步产生的最直接、最朴素的感性认识。由于这种认知体验是原生态、碎片化的，因而它的存在状态极不稳定。这就需要教师在教学中有意识地帮助学生加以呵护、固化、积累。对此，教师可以通过积累“思维经验”的两条基本途径进行教学实践：一是通过反思进行点状积累；二是通过链接进行线状积累。
【关键词】小学数学 思维经验 积累
从“双基”到“四基”，是国家《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程目标设置方面的重要变化。新增的“两基”中，“数学思想”是对数学事实与理论提炼概括后的本质认识，属于理性层面。“数学活动经验”则不然，它是学生在经历数学活动的过程中所获得的感性层面的认识和体验。感性层面的东西往往难以表述，也不易把握。因而，近年来有关“数学基本活动经验”的话题备受热议。按照史宁中教授的观点，“数学活动经验”主要包括“实践的经验”和“思维的经验”。“实践经验”的获得有赖于数学与现实世界的相互作用（如数学抽象、数学应用）。但数学本质上是思维的科学，无论是数学与外部的联系，或是数学内部的发展（如合情推理、演绎推理），都离不开思维活动。在日常的数学教学中，“数学活动经验”更多地体现为“思维的经验”。为此，我们自2014年起开展了“小学生‘思维经验’积累的实践与研究”。一方面试图通过研究把握“思维经验”的核心内涵，另一方面则致力于借助课例研究寻找积累“思维经验”的方法与途径。
一、什么是“思维经验”
思维是人脑对客观事物的概括和间接的反映。“经验”则可以看成是认知活动中所伴生的具有原生态特点的认识和体验。因而，本文将“思维经验”定义为在思维活动过程中所获得的那些最直接、最朴素的感性认识。在这里，我们可以通过相关概念的比较进一步把握“思维经验”的内涵。
一方面，“经验”不同于“知识”，尽管两者同宗同源。不同之处在于：“经验”是原生态的，所以是不系统的，碎片化的；“知识”则是对“经验”进行选择、梳理、组织之后得到的，所以是成体系的，有结构的。可以说“知识”源于“经验”但又超越“经验”。也正因为如此，“知识”属于社会，“经验”属于个体。“知识”可以传递，“经验”只能感悟。
另一方面，“经验”也不同于“能力”。“能力”是一种相对稳定的个性心理特征，它可以进行分类（如思维能力可以分为形象思维能力、抽象思维能力、辩证思维能力等），可以专项训练，也可以进行检测（从完成特定活动的效度上体现出来）。而作为思维活动中伴生的“思维经验”则是不稳定的，也更具综合性和内隐性。因而积累“思维经验”需要一个长期的过程，很难通过短期的训练取得效果，也很难利用特定的材料进行直接检测。
从上述分析中可以看到，“思维经验”事实上是伴随着思维活动的过程性体验同步产生的。但由于这种认知体验是原生态、碎片化的，因而它的存在状态极不稳定。这就需要教师在教学中有意识地帮助学生加以呵护、固化、积累。“经验”的长期累积最终将形成一定的数学直观，并在具体的问题情境中以直观判断（未经逻辑分析的）的形式表现出来。这就如同一位经验丰富的足球运动员在比赛过程中，往往能根据场上的形势瞬间作出最为合理的判断和选择。
二、积累“思维经验”的基本途径
（一）反思——“思维经验”的点状积累
围绕具体的“知识点”展开思维活动并积累“思维经验”，我们称之为点状积累。面对同一个知识内容（包括知识、技能及数学问题等），学生的思维方式和途径可能是有差别的。那么，在多元化的思维方式背后是否存在一个共同的思维源头或者思维基础呢？显然，这是隐性层面的。教学中积极引导学生反思自己的思维过程，探寻思维的源头，了解思维的基础，这对于积累“思维经验”是非常有益的。
如在“三角形内角和”教学中，学生可以通过“量一量”“拼一拼”（图1.1）“折一折”（图1.2）等多种方法展开探索。尽管操作的方式不同，但我们看到内在的思维基础是相一致的——都体现了“合”的思想。因此，教学中我们应该引导学生对这些方法本身进行反思：为什么要“量”“拼”“折”？“量”的目的是为了“算”，也就是把三个角的度数加起来；“拼”和“折”的目的也是为了把处于不同位置的三个内角拼合在一起，形成一个平角。所以说三种方法其实都是为了同一个目的。在这里，沟通三种方法之间的联系显然要比方法本身更重要。
又如，在认识图形的教学中，我们通常需要借助“分类”的方法。分类的思维基础是什么呢？“比较”。在比较中发现事物本身的特征以及事物之间的共性和差异。教学中我们也应该积极引导学生反思如何对事物进行观察和比较？思考一：这些图形形状各不相同，为什么都叫三角形？以此感悟观察事物时可以通过“比较”找到相同点：它们都是三条线段首尾相接围成的图形。思考二：为什么三角形既可以分成“锐角三角形、直角三角形、钝角三角形”，也可以分成“一般三角形、等腰三角形、等边三角形”？以此感悟对事物进行观察时要注意通过“比较”寻找不同点：前者比较角的不同，后者比较边的不同。
在小学数学中，由于课时的划分使知识内容一般是呈点状分布的，因而“思维经验”也主要是通过点状的方式逐步积累的。上述案例给我们的启示是：教学中我们应该重视研究学生思考问题的思维基础，因为越是本源的就越具一般性，也就更有价值。
（二）链接——“思维经验”的线状积累
数学是一门系统性很强的学科。通常我们更多的是关注知识层面，注重沟通新旧知识点之间的联系，使之形成“知识链”。事实上如果从思维层面看，很多知识内容背后的思维基础也是相通的，因而我们也有必要构建“思维链”。通过链接激活已有的“思维经验”，并在新的问题情境中进行经验整合，形成新的“思维经验”，我们称之为线状积累。
如在三年级“多位数乘一位数”教学中，计算“12×3”，可以算法多样化：（1）3×3×4；（2）2×3×6；（3）10×3 2×3……这些算法从数学思想方法的角度看都是“化归”（将未知转化为已知），从思维基础的角度看也是一样的，即将两位数进行“分解”。前两种方法是把12拆成两数之积：12=3×4，12=2×6；第三种方法是拆成两数之和：12=10 2。前者用到了乘法结合律，后者用到了乘法分配律。这样的思维方式不仅在后面学习“简便方法计算”时会再现，甚至在五年级计算“组合图形”的面积时，也会用到。如计算图2.1的面积，前三种方法（图2.2）事实上都是对已知图形的“分解”。
又如关于“有序思考”。一年级“数的组成”（图3.1）、二年级“数图形”（图3.2）、三年级“搭配”（图3.3）、四年级“鸡兔同笼”的列表法（图3.4）等内容，我们都可以引导学生思考同一个问题：怎样思考可以做到“不重复、不遗漏”？因为这些内容的思维方式都是相通的，即有条理、有次序地展开思考。
上述案例中，我们可以看到尽管很多教学内容阶段不同、知识领域不同，但思维基础是一致的。教学中连点成线，打通内在的思维脉络，不仅有助于“思维经验”的积累，也有利于形成数学思维的一般模式。从过程上看，“思维经验”的线状积累主要包含三个阶段：第一阶段是寻找思维的起点，也就是考虑从哪里开始想起？主要通过模型的识别和新旧问题情境的链接激活已有的思维经验。第二阶段是选择思维路径，即确定朝哪个方向思考？经验，往往外显为思考和解决问题的方法和策略。过往的经历以及其中的体验决定思维方向的准确性和思维路径的合理性。第三阶段是进行经验整合，也就是对“思维经验”进行联结、类化和结构化。这样，已有的“思维经验”进一步提升并生成新的“思维经验”。
综上，我们认为作为思维活动的伴生产物，“思维经验”的获得是必然的。我们所做的研究旨在改变它的无意识状态，从而增加积累的强度和效度。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2]史宁中. 基本概念与运算法则[M].北京：高等教育出版社，2013（5）.
[3]郭玉峰，史宁中.“数学基本活动经验研究”：内涵与维度划分[J].教育学报，2012（5）.
（浙江省湖州市湖师附小教育集团 313000）
【关键词】小学数学 思维经验 积累
从“双基”到“四基”，是国家《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程目标设置方面的重要变化。新增的“两基”中，“数学思想”是对数学事实与理论提炼概括后的本质认识，属于理性层面。“数学活动经验”则不然，它是学生在经历数学活动的过程中所获得的感性层面的认识和体验。感性层面的东西往往难以表述，也不易把握。因而，近年来有关“数学基本活动经验”的话题备受热议。按照史宁中教授的观点，“数学活动经验”主要包括“实践的经验”和“思维的经验”。“实践经验”的获得有赖于数学与现实世界的相互作用（如数学抽象、数学应用）。但数学本质上是思维的科学，无论是数学与外部的联系，或是数学内部的发展（如合情推理、演绎推理），都离不开思维活动。在日常的数学教学中，“数学活动经验”更多地体现为“思维的经验”。为此，我们自2014年起开展了“小学生‘思维经验’积累的实践与研究”。一方面试图通过研究把握“思维经验”的核心内涵，另一方面则致力于借助课例研究寻找积累“思维经验”的方法与途径。
一、什么是“思维经验”
思维是人脑对客观事物的概括和间接的反映。“经验”则可以看成是认知活动中所伴生的具有原生态特点的认识和体验。因而，本文将“思维经验”定义为在思维活动过程中所获得的那些最直接、最朴素的感性认识。在这里，我们可以通过相关概念的比较进一步把握“思维经验”的内涵。
一方面，“经验”不同于“知识”，尽管两者同宗同源。不同之处在于：“经验”是原生态的，所以是不系统的，碎片化的；“知识”则是对“经验”进行选择、梳理、组织之后得到的，所以是成体系的，有结构的。可以说“知识”源于“经验”但又超越“经验”。也正因为如此，“知识”属于社会，“经验”属于个体。“知识”可以传递，“经验”只能感悟。
另一方面，“经验”也不同于“能力”。“能力”是一种相对稳定的个性心理特征，它可以进行分类（如思维能力可以分为形象思维能力、抽象思维能力、辩证思维能力等），可以专项训练，也可以进行检测（从完成特定活动的效度上体现出来）。而作为思维活动中伴生的“思维经验”则是不稳定的，也更具综合性和内隐性。因而积累“思维经验”需要一个长期的过程，很难通过短期的训练取得效果，也很难利用特定的材料进行直接检测。
从上述分析中可以看到，“思维经验”事实上是伴随着思维活动的过程性体验同步产生的。但由于这种认知体验是原生态、碎片化的，因而它的存在状态极不稳定。这就需要教师在教学中有意识地帮助学生加以呵护、固化、积累。“经验”的长期累积最终将形成一定的数学直观，并在具体的问题情境中以直观判断（未经逻辑分析的）的形式表现出来。这就如同一位经验丰富的足球运动员在比赛过程中，往往能根据场上的形势瞬间作出最为合理的判断和选择。
二、积累“思维经验”的基本途径
（一）反思——“思维经验”的点状积累
围绕具体的“知识点”展开思维活动并积累“思维经验”，我们称之为点状积累。面对同一个知识内容（包括知识、技能及数学问题等），学生的思维方式和途径可能是有差别的。那么，在多元化的思维方式背后是否存在一个共同的思维源头或者思维基础呢？显然，这是隐性层面的。教学中积极引导学生反思自己的思维过程，探寻思维的源头，了解思维的基础，这对于积累“思维经验”是非常有益的。
如在“三角形内角和”教学中，学生可以通过“量一量”“拼一拼”（图1.1）“折一折”（图1.2）等多种方法展开探索。尽管操作的方式不同，但我们看到内在的思维基础是相一致的——都体现了“合”的思想。因此，教学中我们应该引导学生对这些方法本身进行反思：为什么要“量”“拼”“折”？“量”的目的是为了“算”，也就是把三个角的度数加起来；“拼”和“折”的目的也是为了把处于不同位置的三个内角拼合在一起，形成一个平角。所以说三种方法其实都是为了同一个目的。在这里，沟通三种方法之间的联系显然要比方法本身更重要。
又如，在认识图形的教学中，我们通常需要借助“分类”的方法。分类的思维基础是什么呢？“比较”。在比较中发现事物本身的特征以及事物之间的共性和差异。教学中我们也应该积极引导学生反思如何对事物进行观察和比较？思考一：这些图形形状各不相同，为什么都叫三角形？以此感悟观察事物时可以通过“比较”找到相同点：它们都是三条线段首尾相接围成的图形。思考二：为什么三角形既可以分成“锐角三角形、直角三角形、钝角三角形”，也可以分成“一般三角形、等腰三角形、等边三角形”？以此感悟对事物进行观察时要注意通过“比较”寻找不同点：前者比较角的不同，后者比较边的不同。
在小学数学中，由于课时的划分使知识内容一般是呈点状分布的，因而“思维经验”也主要是通过点状的方式逐步积累的。上述案例给我们的启示是：教学中我们应该重视研究学生思考问题的思维基础，因为越是本源的就越具一般性，也就更有价值。
（二）链接——“思维经验”的线状积累
数学是一门系统性很强的学科。通常我们更多的是关注知识层面，注重沟通新旧知识点之间的联系，使之形成“知识链”。事实上如果从思维层面看，很多知识内容背后的思维基础也是相通的，因而我们也有必要构建“思维链”。通过链接激活已有的“思维经验”，并在新的问题情境中进行经验整合，形成新的“思维经验”，我们称之为线状积累。
如在三年级“多位数乘一位数”教学中，计算“12×3”，可以算法多样化：（1）3×3×4；（2）2×3×6；（3）10×3 2×3……这些算法从数学思想方法的角度看都是“化归”（将未知转化为已知），从思维基础的角度看也是一样的，即将两位数进行“分解”。前两种方法是把12拆成两数之积：12=3×4，12=2×6；第三种方法是拆成两数之和：12=10 2。前者用到了乘法结合律，后者用到了乘法分配律。这样的思维方式不仅在后面学习“简便方法计算”时会再现，甚至在五年级计算“组合图形”的面积时，也会用到。如计算图2.1的面积，前三种方法（图2.2）事实上都是对已知图形的“分解”。
又如关于“有序思考”。一年级“数的组成”（图3.1）、二年级“数图形”（图3.2）、三年级“搭配”（图3.3）、四年级“鸡兔同笼”的列表法（图3.4）等内容，我们都可以引导学生思考同一个问题：怎样思考可以做到“不重复、不遗漏”？因为这些内容的思维方式都是相通的，即有条理、有次序地展开思考。
上述案例中，我们可以看到尽管很多教学内容阶段不同、知识领域不同，但思维基础是一致的。教学中连点成线，打通内在的思维脉络，不仅有助于“思维经验”的积累，也有利于形成数学思维的一般模式。从过程上看，“思维经验”的线状积累主要包含三个阶段：第一阶段是寻找思维的起点，也就是考虑从哪里开始想起？主要通过模型的识别和新旧问题情境的链接激活已有的思维经验。第二阶段是选择思维路径，即确定朝哪个方向思考？经验，往往外显为思考和解决问题的方法和策略。过往的经历以及其中的体验决定思维方向的准确性和思维路径的合理性。第三阶段是进行经验整合，也就是对“思维经验”进行联结、类化和结构化。这样，已有的“思维经验”进一步提升并生成新的“思维经验”。
综上，我们认为作为思维活动的伴生产物，“思维经验”的获得是必然的。我们所做的研究旨在改变它的无意识状态，从而增加积累的强度和效度。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2]史宁中. 基本概念与运算法则[M].北京：高等教育出版社，2013（5）.
[3]郭玉峰，史宁中.“数学基本活动经验研究”：内涵与维度划分[J].教育学报，2012（5）.
（浙江省湖州市湖师附小教育集团 313000）