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[摘要]当转换基准点存在不稳定点时，采用抗差估计法能有效剔除粗差，其计算结果精度明显高于最小二乘估计法。
[关键字]抗差估计 最小二乘估计 转换参数 精度评定
[中图分类号] N94 [文献码] B [文章编号] 1000-405X（2013）-5-324-2
GPS系统具有定位精度高、经济效益好、操作简便及布网灵活等特点，在国内外得到了广泛的应用。GPS系统属于WGS-84坐标系，只有将GPS观测值转换为国家参考系或地方独立坐标系中高斯平面直角坐标及正常高，才有实用价值。在坐标转换过程中，如果转换基准点产生了位移，如由于地壳运动及各种外界因素的影响，转换基准点发生位移，基准点坐标失真，这必然导致求得的转换参数存在误差，转换后GPS网的精度降低。因此，保证选择稳定的转换基准点是确保转换后GPS网质量的关键环节。利用抗差估计求解转换参数，能够消除非稳定基准点的影响，该法是一种自动化程度高的数据处理方法。
1参数求取模型
要进行GPS网和地面網之间的空间直角坐标的转换，首先必须要有联测点，而且重合点的数量不可少于3个，以便于转换参数的求取以及模型的外部检核。而当重合点多于3个时，可按最小二乘估计法LS求解转换参数，对每个点而言，有如下观测方程：
式中i=1，2，……，n，若设
则（1）式变为误差方程
VΔχ=BδX-LΔχ （2）
设观测值等权观测，即PL△X=E ，
则根据最小二乘可求得转换参数
δX=（BTB）-1BTLΔχ （3）
单位权中误差
2抗差估计RS法求参数
当我们所选择的转换基准点不存在显著位移时，简单易行的最小二乘估计法是一种较理想的估计法；但是，当所选择的转换基准点部分存在显著位移时，用最小二乘估计的方法求得的转换参数必然存在一定的误差，这将使转换后GPS控制网的精度明显降低。为了克服LS估计的这一缺陷，可采用抗差估计法，该法能够判断基准点稳定性、剔除不稳定基准点，以保证求取参数的准确性。
当根据多个重合点按抗差估计法求解转换参数时，对每个点而言，观测方程和误差方程同LS估计法是相同的，但是在进一步求解过程中却有所不同：由于抗差估计法具有较强的剔除粗差的能力，在RS法计算时则不可如LS法计算时直接选用等权，而需要采用等价权，其主要计算步骤如下：
Step1：按下式计算抗差估计等价权元素Pij
式中， Pij称为相关等价权元素；K0为分位参数，一般取K0=1.0～1.5；K1为淘汰点，一般取K1=2.5～3.0；
Step2：以等价权代替等权进行最小二乘估计，求得第k次迭代时的转换参数δXk，残差Vk及单位权中误差σk。
VK=BδXk-L （7）
式中，tp为被淘汰掉的基准点分量的个数
Step3：由（7）式和（8）式算得的结果按（5）式计算第k+1次迭代时的等价权PK+1。
Step4：重复Step2、3两步，直到前后两次迭代求解的转换参数之差 |δXκ+1-δXκ|≤ε（ε为迭代收敛精度）为止。δXκ+1即为所求的剔除了不稳定基准点后的转换参数之抗差解。
而且在计算过程中，应注意下面的问题：在我国，（xi，yi，zi）0和（xi，yi，zi）T都是很大的数，一般在107以上。此时若直接以（xi，yi，zi）0组成误差方程，就会出现常数项的数值很小而系数项数值很大的情况，这将导致法方程系数阵的病态而无法正常解算，我们在实践中曾遇到过这样的情况。因此，在组成误差方程时，应首先对测区的坐标进行中心化，然后以中心化后的坐标组成误差方程，常数项不变；求得转换参数后，按坐标转换公式解算出转换后GPS网点的坐标；最后再加上测区中心坐标即可得到所求的转换后的坐标值。
一般来说，当所选择的转换基准点不存在显著位移时，用最小二乘估计和抗差估计两种方法算得的结果应不存在太大差别，而最小二乘估计则更加简单易行；但是，当所选择的转换基准点存在显著位移时，用最小二乘估计方法就不能被接受，这将使转换后控制网的精度明显降低，此时，抗差估计法则因为其强剔除粗差的能力而显示出足够的优势。
3精度评定
上述单位权中误差是对转换参数的精度评价，除此之外，我们还要从转换模型的精度和转换后坐标的点位精度两个方面方面来考虑精度评定的问题。
（1）坐标转换模型的精度
为评价用户所选择的转换模型的正确性，及判定重合点中是否存在产生了显著位移的控制点（即地面控制点的标石是否产生了移动），这就需要对转换模型进行精度评定。可以从两个方面来考虑，即转换模型的内部符合精度和外部检核精度。
为方便说明，我们设互相转换的两坐标系具有m个重合点，其中有n个重合点是被选作求取转换参数的，也就是所谓的转换基准点，其余t（m-n）个重合点则用来作外部检核。
①内部符合精度
它是利用n个转换基准点求得转换参数，进而求出转换后坐标，得到转换基准点的转换后相应坐标系的坐标与原目标坐标系的坐标之间的残差V来评定的（如WGS-84坐标系转换为BJ-54坐标系，则残差V为已知BJ-54坐标系坐标减去转换得到的BJ-54坐标系坐标），用公式可表示为 。
②外部检核精度
与内部符合精度同理，外部检核精度是利用已求得的转换参数进而求得相应的t个检查点的转换坐标，及其残差V′来评定的，同样用公式可表示为 。
（2）点位精度
对转换后坐标的点位精度的评价，是评定转换后GPS网精度的一个重要方面，各点位精度可通过下式计算，
D=σ02（BQδXBT） （9）
式中Qδx=（BTB）-1为协因数阵。
4小结
在GPS网空间坐标系统之间转换参数的求取过程中，当转换基准点稳定，所给坐标精度较高时，采用最小二乘估计与抗差估计两种方法求得参差别不大；而当转换基准点存在不稳定点时，从转换后的参数及各项转换精度评价指标可以看出，LS估计不能抵抗粗差的影响，求得两坐标系间的转换参数存在误差；采用RS估计法能有效剔除粗差，其计算结果精度明显高于LS估计法。
[关键字]抗差估计 最小二乘估计 转换参数 精度评定
[中图分类号] N94 [文献码] B [文章编号] 1000-405X（2013）-5-324-2
GPS系统具有定位精度高、经济效益好、操作简便及布网灵活等特点，在国内外得到了广泛的应用。GPS系统属于WGS-84坐标系，只有将GPS观测值转换为国家参考系或地方独立坐标系中高斯平面直角坐标及正常高，才有实用价值。在坐标转换过程中，如果转换基准点产生了位移，如由于地壳运动及各种外界因素的影响，转换基准点发生位移，基准点坐标失真，这必然导致求得的转换参数存在误差，转换后GPS网的精度降低。因此，保证选择稳定的转换基准点是确保转换后GPS网质量的关键环节。利用抗差估计求解转换参数，能够消除非稳定基准点的影响，该法是一种自动化程度高的数据处理方法。
1参数求取模型
要进行GPS网和地面網之间的空间直角坐标的转换，首先必须要有联测点，而且重合点的数量不可少于3个，以便于转换参数的求取以及模型的外部检核。而当重合点多于3个时，可按最小二乘估计法LS求解转换参数，对每个点而言，有如下观测方程：
式中i=1，2，……，n，若设
则（1）式变为误差方程
VΔχ=BδX-LΔχ （2）
设观测值等权观测，即PL△X=E ，
则根据最小二乘可求得转换参数
δX=（BTB）-1BTLΔχ （3）
单位权中误差
2抗差估计RS法求参数
当我们所选择的转换基准点不存在显著位移时，简单易行的最小二乘估计法是一种较理想的估计法；但是，当所选择的转换基准点部分存在显著位移时，用最小二乘估计的方法求得的转换参数必然存在一定的误差，这将使转换后GPS控制网的精度明显降低。为了克服LS估计的这一缺陷，可采用抗差估计法，该法能够判断基准点稳定性、剔除不稳定基准点，以保证求取参数的准确性。
当根据多个重合点按抗差估计法求解转换参数时，对每个点而言，观测方程和误差方程同LS估计法是相同的，但是在进一步求解过程中却有所不同：由于抗差估计法具有较强的剔除粗差的能力，在RS法计算时则不可如LS法计算时直接选用等权，而需要采用等价权，其主要计算步骤如下：
Step1：按下式计算抗差估计等价权元素Pij
式中， Pij称为相关等价权元素；K0为分位参数，一般取K0=1.0～1.5；K1为淘汰点，一般取K1=2.5～3.0；
Step2：以等价权代替等权进行最小二乘估计，求得第k次迭代时的转换参数δXk，残差Vk及单位权中误差σk。
VK=BδXk-L （7）
式中，tp为被淘汰掉的基准点分量的个数
Step3：由（7）式和（8）式算得的结果按（5）式计算第k+1次迭代时的等价权PK+1。
Step4：重复Step2、3两步，直到前后两次迭代求解的转换参数之差 |δXκ+1-δXκ|≤ε（ε为迭代收敛精度）为止。δXκ+1即为所求的剔除了不稳定基准点后的转换参数之抗差解。
而且在计算过程中，应注意下面的问题：在我国，（xi，yi，zi）0和（xi，yi，zi）T都是很大的数，一般在107以上。此时若直接以（xi，yi，zi）0组成误差方程，就会出现常数项的数值很小而系数项数值很大的情况，这将导致法方程系数阵的病态而无法正常解算，我们在实践中曾遇到过这样的情况。因此，在组成误差方程时，应首先对测区的坐标进行中心化，然后以中心化后的坐标组成误差方程，常数项不变；求得转换参数后，按坐标转换公式解算出转换后GPS网点的坐标；最后再加上测区中心坐标即可得到所求的转换后的坐标值。
一般来说，当所选择的转换基准点不存在显著位移时，用最小二乘估计和抗差估计两种方法算得的结果应不存在太大差别，而最小二乘估计则更加简单易行；但是，当所选择的转换基准点存在显著位移时，用最小二乘估计方法就不能被接受，这将使转换后控制网的精度明显降低，此时，抗差估计法则因为其强剔除粗差的能力而显示出足够的优势。
3精度评定
上述单位权中误差是对转换参数的精度评价，除此之外，我们还要从转换模型的精度和转换后坐标的点位精度两个方面方面来考虑精度评定的问题。
（1）坐标转换模型的精度
为评价用户所选择的转换模型的正确性，及判定重合点中是否存在产生了显著位移的控制点（即地面控制点的标石是否产生了移动），这就需要对转换模型进行精度评定。可以从两个方面来考虑，即转换模型的内部符合精度和外部检核精度。
为方便说明，我们设互相转换的两坐标系具有m个重合点，其中有n个重合点是被选作求取转换参数的，也就是所谓的转换基准点，其余t（m-n）个重合点则用来作外部检核。
①内部符合精度
它是利用n个转换基准点求得转换参数，进而求出转换后坐标，得到转换基准点的转换后相应坐标系的坐标与原目标坐标系的坐标之间的残差V来评定的（如WGS-84坐标系转换为BJ-54坐标系，则残差V为已知BJ-54坐标系坐标减去转换得到的BJ-54坐标系坐标），用公式可表示为 。
②外部检核精度
与内部符合精度同理，外部检核精度是利用已求得的转换参数进而求得相应的t个检查点的转换坐标，及其残差V′来评定的，同样用公式可表示为 。
（2）点位精度
对转换后坐标的点位精度的评价，是评定转换后GPS网精度的一个重要方面，各点位精度可通过下式计算，
D=σ02（BQδXBT） （9）
式中Qδx=（BTB）-1为协因数阵。
4小结
在GPS网空间坐标系统之间转换参数的求取过程中，当转换基准点稳定，所给坐标精度较高时，采用最小二乘估计与抗差估计两种方法求得参差别不大；而当转换基准点存在不稳定点时，从转换后的参数及各项转换精度评价指标可以看出，LS估计不能抵抗粗差的影响，求得两坐标系间的转换参数存在误差；采用RS估计法能有效剔除粗差，其计算结果精度明显高于LS估计法。