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[摘要]本文首先从教育学和心理学的角度，简述例子在中职数学学习和教学中的重要性，再进一步审视反例在数学教学中的重要性。主要从中职数学学习中的四个方面内容：概念和定理、公式法则的运用、否定命题、计算解题，论述反例在中职数学教学中的作用，并列举了若干个说明性较强的典型反例。意在加强中职数学教师对反例教学的认识，有效地实施反例教学。
[关健词]数学；反例；作用
【中图分类号】G633.6
一、前言
数学学习与教学有着悠久的历史，关于数学学习和教学的方法更是层出不穷。其中反例的教学法在数学教学中有着独特的地位和作用。但很少有人对反例在中职数学教学中的作用进行系统的研究。本文主要通过对中职数学教学中的反例进行收集、整理、分析，总结其作用，以方便读者进行教与学，充分发挥反例在中职教学中的积极作用，提高教学效率。
二、数学教学中例子的重要性
数学是一门培养人们逻辑思维能力的课程，即包括对概念、定理、性质、公式法则的理解、掌握和运用，还包括对证明、计算等技能的灵活变通。由于数学的研究对象主要是严密并且抽象化的理论，数学的活动也主要是严密的思辨活动，所以在教学时一般采用举例的方法，以便让抽象的问题能够具体化。
从教育学角度：
1、建构主义观认为，数学新知识的学习就是典型的建构学习的过程，其实质是主体通过客观的思维构造，在心理上建构客体的意义。举例教学正是这一学习方法的有效体现。
2、选择基本知识进行教学，更能简洁明了地反映数学学科的基本结构。
3、典型代表有助于学生理解其他内容的典型知识。
从心理学角度：
1、学习者即主体由于阶段心理和智力发展都具有不同特点，这极大地影响着学习主体学习上和教授者传授知识上的方式方法。一般中职学生在心理和智力的发展中，处于一种由经验型向理论型过渡的时期，辩证思维开始逐渐萌发，思想方法上带有很大的片面性，举例教学可以使学习者更好地接受和掌握抽象且概括性强的数学知识。
2、提供必要的实物、实例、模型以丰富学生的感性经验。学生的日常生活经验是进一步学习的基础，许多数学概念都是从日常生活概念发展而成的。
3、由形象到抽象，由具体到概括，对实例的各种特征进行概括，抽象出本质特性，是数学概念定义最为关键的一步
三、反例在中职数学教学中的重要性
在例子教学中，反例是一种特殊的例子，它具有上述例子的共有特性。数学教学不仅应从正面讲清概念、性质、法则、公式等基础知识，还应启发学生从反面揭示认识上容易产生混淆和错误之处，这些最有效的途径便是通过列举反例来实现。随着中职阶段研究性学习的开展，开放式题目的逐渐增多，反例在中职教学中的重要性也日益显现。
从教育学角度：
1、数学学习是一种解决问题的学习，当我们遇到不易解决的问题时，逆向思维往往使复杂的问题变得简单。反例解决就是一种很好的逆向思维方法
2、通过反例来实现教学和学习，更能激发学生学习的探究性和自主性
从心理学角度：
1、“先入为主”是一种普遍的心理特征。先学对后继学习有着十分重要的影响。在中职数学的教学中，正面教学入手几乎占了全部。长期以来学生习惯了正面推证，以致于遇到所有的问题都只想到从正面入手来解决，而不善于从反面进行思考。适当的反例教学能有效地破解“先入为主”的正面推证的思维定式。
2、很多研究表明，中职生的辨证逻辑思维已逐渐处于优势地位，只要加以适当引导，中职学生就能从相应的正反例子中正确地评价真伪，提示和明确事物本质内涵。学习数学正是需要这样的辩证思维，同时这样的学习也培养了学生的思维发展。
从以上的角度审视，无论从教育学还是心理学上都表明，反例在一定程度上对主体学习数学和教授者教授数学都有着重要的影响。究竟在中职数学中如何进行反例教学，才能发挥反例的作用，做到教学相长？以下笔者结合若干反例，对反例教学在不同的知识中的运用进行分析，以期能抛砖引玉。
四、中数学教学中反例的作用
1、定理中的反例
在学习连续函数的性质定理：“一般地，闭区间[a，b]上连续函数f（x）在[a，b]上必有最大值和最少值”时，定理中给出的条件要求是在“闭区间”内，而不是在“开区间”或“半开半闭区间”，很多同学对此不注意，此时可以举出反例进行说明。
设函数f（x）=x
分析：函数f（x）=x在区间上连续，但f（x）=x在区间上取不到最大值。
这里强调了学生对定理条件中的“闭区间”不能少，加深了对该定理的认识。反例从侧面剖析，全面掌握定理内容，培养了学生的全面分析能力
2、公式法则中的反例
在一些公式法则中，由于性质比较接近，形状较为相似，学生容易产生错误的联想，自造公式法则，错误使用。
例如在学习对数的性质logamn=logam+logan后，学生会联想loga（m+n）=logam+logan，或loga（m+n）=logam·logan，从而造成计算上的错误。教学中可以举例驳倒这些错误认识，思辨公式法则的不同结构，提示它们的内在规律。
反例：lg100=lg（50+50）≠lg50+lg50，lg100=lg（50+50）≠lg50×lg50
这些反例提醒学生，在使用公式时工认真谨慎。
反例有利于帮助学生理解、用好数学公式及法则。学生有时不留心公式法则的适用范围，或把某一条件下适用的公式法则与性质、形式相近的公式、法则引起联想，扩大到其它条件上去，造成错误。为防患于未然，适当举出反例是十分必要的。
3、计算解题中的反例
在数学教学中，教师不仅要让学生掌握正面求解的思想，还要引导学生灵活使用各种捷径，提高解题效率。
例如选择题，下面说法中下正确的是（）：（A）没有意义（B）a<0时，（-a）2的算术平方根是-a（C）正数的算术平方根一定比这个正数小（D）一个数的平方根与它的立方根相等，这个正数一定是零
可以利用举反例排除错误答案法：（A）x为负数时有意义，（C）正数1的算术平方根是1，（D）1的平方根与它的立方根相等。所以正确答案应该是（B）
利用反例解题，即利用了反面推证的辩证思维，加快解题效率，同时还能促进学生思维的灵活性发展。
认清反例在学生学习中的作用，注重反例教学，充分发挥反例在数学教学中的作用，教师可以与学生更好地互动，引导学生自主学习、探究，培养学生的良好思维能力。同时让学生适当构造反例，能激发学生的学习兴趣，培养学生的创造力及科学解决问题的能力。
因此，在中职数学教学中，可能适当地进行反例教学，教师要把握好反例的方法和施教时机，更好地发挥反例在数学教学中的作用，实现教学目标。
参考文献
[1]王邮飞，反例的思维过程及构造策略，中学数学教学参考，2011（6）：38-40
[2]徐思莹主编，教育学新编[M]桂林，广西师范大学出版社，2010.10
[3]林崇焕主编，发展心理学[M]北京，人民教育出版社，2012.11
[关健词]数学；反例；作用
【中图分类号】G633.6
一、前言
数学学习与教学有着悠久的历史，关于数学学习和教学的方法更是层出不穷。其中反例的教学法在数学教学中有着独特的地位和作用。但很少有人对反例在中职数学教学中的作用进行系统的研究。本文主要通过对中职数学教学中的反例进行收集、整理、分析，总结其作用，以方便读者进行教与学，充分发挥反例在中职教学中的积极作用，提高教学效率。
二、数学教学中例子的重要性
数学是一门培养人们逻辑思维能力的课程，即包括对概念、定理、性质、公式法则的理解、掌握和运用，还包括对证明、计算等技能的灵活变通。由于数学的研究对象主要是严密并且抽象化的理论，数学的活动也主要是严密的思辨活动，所以在教学时一般采用举例的方法，以便让抽象的问题能够具体化。
从教育学角度：
1、建构主义观认为，数学新知识的学习就是典型的建构学习的过程，其实质是主体通过客观的思维构造，在心理上建构客体的意义。举例教学正是这一学习方法的有效体现。
2、选择基本知识进行教学，更能简洁明了地反映数学学科的基本结构。
3、典型代表有助于学生理解其他内容的典型知识。
从心理学角度：
1、学习者即主体由于阶段心理和智力发展都具有不同特点，这极大地影响着学习主体学习上和教授者传授知识上的方式方法。一般中职学生在心理和智力的发展中，处于一种由经验型向理论型过渡的时期，辩证思维开始逐渐萌发，思想方法上带有很大的片面性，举例教学可以使学习者更好地接受和掌握抽象且概括性强的数学知识。
2、提供必要的实物、实例、模型以丰富学生的感性经验。学生的日常生活经验是进一步学习的基础，许多数学概念都是从日常生活概念发展而成的。
3、由形象到抽象，由具体到概括，对实例的各种特征进行概括，抽象出本质特性，是数学概念定义最为关键的一步
三、反例在中职数学教学中的重要性
在例子教学中，反例是一种特殊的例子，它具有上述例子的共有特性。数学教学不仅应从正面讲清概念、性质、法则、公式等基础知识，还应启发学生从反面揭示认识上容易产生混淆和错误之处，这些最有效的途径便是通过列举反例来实现。随着中职阶段研究性学习的开展，开放式题目的逐渐增多，反例在中职教学中的重要性也日益显现。
从教育学角度：
1、数学学习是一种解决问题的学习，当我们遇到不易解决的问题时，逆向思维往往使复杂的问题变得简单。反例解决就是一种很好的逆向思维方法
2、通过反例来实现教学和学习，更能激发学生学习的探究性和自主性
从心理学角度：
1、“先入为主”是一种普遍的心理特征。先学对后继学习有着十分重要的影响。在中职数学的教学中，正面教学入手几乎占了全部。长期以来学生习惯了正面推证，以致于遇到所有的问题都只想到从正面入手来解决，而不善于从反面进行思考。适当的反例教学能有效地破解“先入为主”的正面推证的思维定式。
2、很多研究表明，中职生的辨证逻辑思维已逐渐处于优势地位，只要加以适当引导，中职学生就能从相应的正反例子中正确地评价真伪，提示和明确事物本质内涵。学习数学正是需要这样的辩证思维，同时这样的学习也培养了学生的思维发展。
从以上的角度审视，无论从教育学还是心理学上都表明，反例在一定程度上对主体学习数学和教授者教授数学都有着重要的影响。究竟在中职数学中如何进行反例教学，才能发挥反例的作用，做到教学相长？以下笔者结合若干反例，对反例教学在不同的知识中的运用进行分析，以期能抛砖引玉。
四、中数学教学中反例的作用
1、定理中的反例
在学习连续函数的性质定理：“一般地，闭区间[a，b]上连续函数f（x）在[a，b]上必有最大值和最少值”时，定理中给出的条件要求是在“闭区间”内，而不是在“开区间”或“半开半闭区间”，很多同学对此不注意，此时可以举出反例进行说明。
设函数f（x）=x
分析：函数f（x）=x在区间上连续，但f（x）=x在区间上取不到最大值。
这里强调了学生对定理条件中的“闭区间”不能少，加深了对该定理的认识。反例从侧面剖析，全面掌握定理内容，培养了学生的全面分析能力
2、公式法则中的反例
在一些公式法则中，由于性质比较接近，形状较为相似，学生容易产生错误的联想，自造公式法则，错误使用。
例如在学习对数的性质logamn=logam+logan后，学生会联想loga（m+n）=logam+logan，或loga（m+n）=logam·logan，从而造成计算上的错误。教学中可以举例驳倒这些错误认识，思辨公式法则的不同结构，提示它们的内在规律。
反例：lg100=lg（50+50）≠lg50+lg50，lg100=lg（50+50）≠lg50×lg50
这些反例提醒学生，在使用公式时工认真谨慎。
反例有利于帮助学生理解、用好数学公式及法则。学生有时不留心公式法则的适用范围，或把某一条件下适用的公式法则与性质、形式相近的公式、法则引起联想，扩大到其它条件上去，造成错误。为防患于未然，适当举出反例是十分必要的。
3、计算解题中的反例
在数学教学中，教师不仅要让学生掌握正面求解的思想，还要引导学生灵活使用各种捷径，提高解题效率。
例如选择题，下面说法中下正确的是（）：（A）没有意义（B）a<0时，（-a）2的算术平方根是-a（C）正数的算术平方根一定比这个正数小（D）一个数的平方根与它的立方根相等，这个正数一定是零
可以利用举反例排除错误答案法：（A）x为负数时有意义，（C）正数1的算术平方根是1，（D）1的平方根与它的立方根相等。所以正确答案应该是（B）
利用反例解题，即利用了反面推证的辩证思维，加快解题效率，同时还能促进学生思维的灵活性发展。
认清反例在学生学习中的作用，注重反例教学，充分发挥反例在数学教学中的作用，教师可以与学生更好地互动，引导学生自主学习、探究，培养学生的良好思维能力。同时让学生适当构造反例，能激发学生的学习兴趣，培养学生的创造力及科学解决问题的能力。
因此，在中职数学教学中，可能适当地进行反例教学，教师要把握好反例的方法和施教时机，更好地发挥反例在数学教学中的作用，实现教学目标。
参考文献
[1]王邮飞，反例的思维过程及构造策略，中学数学教学参考，2011（6）：38-40
[2]徐思莹主编，教育学新编[M]桂林，广西师范大学出版社，2010.10
[3]林崇焕主编，发展心理学[M]北京，人民教育出版社，2012.11