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【摘 要】极限是高等数学中最重要的概念之一，是研究微积分当中的重要工具。因此，掌握极限的思想是计算以及学好微积分的前提条件。
【关键词】函数 极限
【中图分类号】G642【文献标识码】A【文章编号】1006－9682（2009）01－0071－01
高等数学的基本研究对象是函数，而研究函数的基本方法是极限，极限的概念是个比较抽象的概念。对于那些从初等数学进入高等数学的高职高专学生而言，不论从知识结构方面，还是从思维方式上来讲，都要有一个本质的转变。为了更好的实现这个转变，就要求我们教师必须把要教的知识内容进行必要的加工，按照学生的实际情况逐渐引导学生走上正确的分析思维，抽象，概括，解决实际问题的道路。
一、讲解实例，使学生获得有关极限概念的感性认识。
为了使学生更好的理解极限的概念，我们先从以下2个例子来讲解。
例1：如何求圆的面积？
解题思路：用圆内接正n边形的面积去逼近圆的面积。
设有一圆，其面积记为s，做它的正四边形，正八边形……正n边形，记做s4，s8……sn，当圆内的正多边形的边数越来越多的时候，它的面积就越近似于圆的面积，即当n→∞时，sn→s。
这个例题是非常有名的“刘徽割圆术”，虽然当时没有严格的极限定义，但是他的这种思想正是体现了极限的概念。
例2：求变速直线运动的瞬时速度。
对这个实例应着重弄清两个问题：第一，要求瞬时速度，为什么要先考虑平均速度？第二，为什么要规定瞬时速度是平均速度的极限？在瞬时速度的概念提出之前，已经有了匀速直线运动的速度概念及其计算方法，引出平均速度只要是將非匀速直线运动转化为迅速运动来处理，从而求出瞬时速度的近似值。
（△s—位置的改变量；△t—时间的改变量）
表示物体在△t时间内的平均速度，它随△t的变化而变
化，当时间改变量△t越来越小时，位置的改变量△s也越来越小，
而平均速度 越来越接近一定值，即平均速度作为瞬时速度的
近似值，其近似程度越小越好，但不管△t多么小，所求得的平均速度还不是t时刻的速度，而只是它的一个近似值。要把这个近似值转化为精确值，即求出了t时刻的速度，只有缩小△t，当△t→0时，v（t）→v平均，也就是说△t越变越小，v平均与v（t）就越接近，有近似值而飞跃到了精确值。
重点讲清这个事例后，从而使学生认识到研究非均匀变化的变化问题确实是世界中存在的普遍问题，而这类问题的解决都归纳为求极限的问题。
二、根据实例给出函数极限的定义
通过上面两个例子，我们可以将它们看作是一个函数。如果给定一个函数y＝f（x），其函数值y会随着自变量x的变化而变化，若当自变量无限接近于某个“目标”，这个目标可以是任意一个确定的常数x0，也可以是＋∞或－∞。此时，函数值y无限接近于一个确定的常数A，则称函数f（x）以A为极限，下面就以例题并结合它的数值表充分说明函数的极限。
例3：考察当x→3时，函数 的变化。
解：函数 在（－∞，＋∞）有定义。
设x从3的左、右侧无限接近于3，即x的取值及对应的函数表如下：
x … 2.9 2.99 2.999 … 3 … 3.001 3.01 3.1 …
f（x） … 2.97 2.997 2.9997 … 3 … 3.003 3.03 3.3 …
数值表给出后，教师应该引导学生去从静态的有限量来刻画动态的无限量，通过直观的数据让学生看到，当x越来越接近于
3时，也就是我们所说的那个目标，函数值 的值就
无限接近于3，体现了我们最后用近似值代替精确值的思想。那么，由这个例题，教师可以给出极限的定义。
定义：设函数f（x）在点x0的某一空心领域内有定义，如果当自变量x无限接近于x0时，相应的函数值无限接近于常数A，则称A为x→x0时，函数f（x）的极限，记作： 或
f（x）→A（x→x0）。
极限的定义给出以后，教师可以让学生根据极限的定义写出
例三的极限，即 。
这时，有些同学可以看到， 的极限值与f（3）的函
数值相等，这是怎么回事？它会给同学们一个错误的概念，求极限就是在求函数值，虽然在后面我们会讲到某些函数求极限是靠函数值求出来的，但是这二者之间没有任何关系。
例如，求 ，如图所
示，当x＝1， 无意义，所
以函数值是不存在的，而当x→1时，从图象上可以看出
，所以说，极限是否存在与这点有没有函数值没有
任何关系。
参考文献
1 侯风波. 高等数学（第2版）. 北京：高等教育出版社，2003.8
2 盛祥耀. 高等数学（第2版）. 北京：高等教育出版社，2005.6
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
【关键词】函数 极限
【中图分类号】G642【文献标识码】A【文章编号】1006－9682（2009）01－0071－01
高等数学的基本研究对象是函数，而研究函数的基本方法是极限，极限的概念是个比较抽象的概念。对于那些从初等数学进入高等数学的高职高专学生而言，不论从知识结构方面，还是从思维方式上来讲，都要有一个本质的转变。为了更好的实现这个转变，就要求我们教师必须把要教的知识内容进行必要的加工，按照学生的实际情况逐渐引导学生走上正确的分析思维，抽象，概括，解决实际问题的道路。
一、讲解实例，使学生获得有关极限概念的感性认识。
为了使学生更好的理解极限的概念，我们先从以下2个例子来讲解。
例1：如何求圆的面积？
解题思路：用圆内接正n边形的面积去逼近圆的面积。
设有一圆，其面积记为s，做它的正四边形，正八边形……正n边形，记做s4，s8……sn，当圆内的正多边形的边数越来越多的时候，它的面积就越近似于圆的面积，即当n→∞时，sn→s。
这个例题是非常有名的“刘徽割圆术”，虽然当时没有严格的极限定义，但是他的这种思想正是体现了极限的概念。
例2：求变速直线运动的瞬时速度。
对这个实例应着重弄清两个问题：第一，要求瞬时速度，为什么要先考虑平均速度？第二，为什么要规定瞬时速度是平均速度的极限？在瞬时速度的概念提出之前，已经有了匀速直线运动的速度概念及其计算方法，引出平均速度只要是將非匀速直线运动转化为迅速运动来处理，从而求出瞬时速度的近似值。
（△s—位置的改变量；△t—时间的改变量）
表示物体在△t时间内的平均速度，它随△t的变化而变
化，当时间改变量△t越来越小时，位置的改变量△s也越来越小，
而平均速度 越来越接近一定值，即平均速度作为瞬时速度的
近似值，其近似程度越小越好，但不管△t多么小，所求得的平均速度还不是t时刻的速度，而只是它的一个近似值。要把这个近似值转化为精确值，即求出了t时刻的速度，只有缩小△t，当△t→0时，v（t）→v平均，也就是说△t越变越小，v平均与v（t）就越接近，有近似值而飞跃到了精确值。
重点讲清这个事例后，从而使学生认识到研究非均匀变化的变化问题确实是世界中存在的普遍问题，而这类问题的解决都归纳为求极限的问题。
二、根据实例给出函数极限的定义
通过上面两个例子，我们可以将它们看作是一个函数。如果给定一个函数y＝f（x），其函数值y会随着自变量x的变化而变化，若当自变量无限接近于某个“目标”，这个目标可以是任意一个确定的常数x0，也可以是＋∞或－∞。此时，函数值y无限接近于一个确定的常数A，则称函数f（x）以A为极限，下面就以例题并结合它的数值表充分说明函数的极限。
例3：考察当x→3时，函数 的变化。
解：函数 在（－∞，＋∞）有定义。
设x从3的左、右侧无限接近于3，即x的取值及对应的函数表如下：
x … 2.9 2.99 2.999 … 3 … 3.001 3.01 3.1 …
f（x） … 2.97 2.997 2.9997 … 3 … 3.003 3.03 3.3 …
数值表给出后，教师应该引导学生去从静态的有限量来刻画动态的无限量，通过直观的数据让学生看到，当x越来越接近于
3时，也就是我们所说的那个目标，函数值 的值就
无限接近于3，体现了我们最后用近似值代替精确值的思想。那么，由这个例题，教师可以给出极限的定义。
定义：设函数f（x）在点x0的某一空心领域内有定义，如果当自变量x无限接近于x0时，相应的函数值无限接近于常数A，则称A为x→x0时，函数f（x）的极限，记作： 或
f（x）→A（x→x0）。
极限的定义给出以后，教师可以让学生根据极限的定义写出
例三的极限，即 。
这时，有些同学可以看到， 的极限值与f（3）的函
数值相等，这是怎么回事？它会给同学们一个错误的概念，求极限就是在求函数值，虽然在后面我们会讲到某些函数求极限是靠函数值求出来的，但是这二者之间没有任何关系。
例如，求 ，如图所
示，当x＝1， 无意义，所
以函数值是不存在的，而当x→1时，从图象上可以看出
，所以说，极限是否存在与这点有没有函数值没有
任何关系。
参考文献
1 侯风波. 高等数学（第2版）. 北京：高等教育出版社，2003.8
2 盛祥耀. 高等数学（第2版）. 北京：高等教育出版社，2005.6
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。