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数是用来计数、标记或度量、比较同质事物的抽象概念，也是数学中最基本的概念之一。可以说，数概念的学习伴随着学生数学学习的整个过程，是在不断形成和发展着的。学生数概念的形成与发展在各个学段各有侧重，总体应注重的是学习兴趣和学习能力的培养，从而让数概念和核心素养自然生长。
本期，我们探讨学生数概念的形成与发展过程。
为帮助学生深入认识数概念的核心本质，教师在教学中应特别注重直观模型的使用，其中数线是帮助学生深度理解数概念的直观载体。下面，笔者以北师大版小学数学教材为例，探析数线在儿童数概念的形成与发展中的直观体现。
一、研究的缘起——聚焦数线
在小学阶段数概念的形成与发展中，很多直观模型对数的认识、数的运算的理解起到了至关重要的作用。比如对整数及整数运算而言，究竟有哪些直观模型呢？循着教材的编写线索梳理，主要有以下几种：小棒、计数器、小方块、点子图、方格纸、数线等（如图1）。
可以说，以上这些实物、模型等直观材料因其自身的特点，在儿童整数及整数运算的学习中都发挥了不可或缺的作用。数的运算是对数意义的进一步認识，这些直观模型在学习过程中的介入有力地支撑着儿童数概念的形成与发展。而在这些直观模型中，有的却因其自身所具备的独特天然属性，直观作用与价值不同于其他模型而独树一帜——它就是数线（数轴）。弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》中指出：“与其他直观材料相比，数轴是确定的、可长久使用的，它不像有些材料只用一会儿就被放弃。”可见，数线因其自身的结构特性，突破和克服了其他直观材料的缺点而被人们广泛使用。
既然数线能够在众多的直观模型中脱颖而出，我们就有必要对数线本身所具有的优越属性、直观作用以及数线与数和运算之间相生相伴的天然联系进行剖析和研究。
二、数线在整数运算中的直观体现
（一）数线与加减
在数概念的形成与发展中，为什么数线具有如此强大的魅力呢？笔者认为，这与数线模型本身所具有的属性、结构和功能密切相关。
1.从呈现形式上看
伴随着数与运算的学习，数线在学生的认知系统中经历了由实物到数尺、再到数线的形成与发展，这个过程是循序渐进的，不是一蹴而就的。从外化的呈现形式来看，在实物原形中表现为数与实物一一对应，在数尺中表现为数与方格一一对应，在数线中表现为数与点一一对应。在此过程中，数线的功能也由实物直观走向了几何直观，从离散走向了连续，而这正是基于数的运算的发展与数的扩充的需要，是数概念形成与发展的内在需求。
2.从数量级上看
借助数线并沿着数线往右，以“一”为单位1个1个地跳（数），或者以“十”为单位10个10个地跳（数），以“百”为单位100个100个地跳（数）……这样随着不断地以计数单位累加的过程，就会产生更大的新的计数单位。在度量单位的不断累加运算中，也方便和满足了数量级扩展后大数加减法的开展。可见从数量级上看，数线在数的运算发展过程中，表现出一种自身天然的灵活性。
3.从数线的结构上看
从数线的结构来看，首先有一条向右的直线，规定了方向，其次规定了起点定为0，最后是单位长度，而这里的单位是灵活的，可以是任何一个自由的正数。具体而言，起点0——是计数的开始，单位长度——满足了累加的度量需求，方向——满足数的排列与可比性。从数线的数学性角度来审视，数线像一把用来量数的“尺子”，满足了数概念形成与发展的需要。
4.两个加减法的例子
我们来看一个一位数加法的例子“8 6”。
在这条简单的数线（数尺）上，数与格（点）一一对应，往右表示累加，得到“8 6”结果的操作就是基于这种“一一对应”，数出计数单位的过程，从8开始，以“1”为单位，连续累加6次，就得到“14”这个结果。这个运算的过程就是计数单位累加的过程。
运算“8 6”，还可以如上，10格为1档，从8开始，以“1”为单位，先累加2次到“10”，遇“10”停顿，再累加4次，孕伏“满十进一”，产生新的计数单位“十”。
我们再来聚焦一个减法的例子“239-118”。
在这条数线上，往左表示“递减”，从239开始，先以“百”为单位递减1次（减一个百），再以“十”为单位递减1次（减一个十），再以“一”为单位递减8（减一个8），即得到“239-118”的结果（度量值）“121”。在这个减法运算的过程中，借助数线先减几个百、再减几个十、几个一，数线的直观介入为学生分清数位、理解减法竖式算法打下基础，同时从数位的角度帮助学生直观理解数的内部结构，进而理解数概念及运算的意义。
（二）数线与乘除
针对数线与乘除，笔者尝试对教材中数线的使用情况进行了梳理。
1.两个乘除法的例子
我们先来看一个一位数乘法的例子。
这是乘法中“几个几”意义的运算内容。结合数尺模型与算式表征，解决“小青蛙一共跳了多少格”就是求“4个3是多少”。其中的4表示跳了几次，3表示每次跳几格，可以看作是以“3”为单位，度量了4次的结果，其本质上都是对计数单位的累加（累积），即对度量单位的运作。
我们再来看一个除法的例子。
这是除法中“包含除”意义的运算内容。解决“20元可以买几辆玩具车”就是求“20里面有几个5”。其运算的过程，即在数线上以20作为起点， 按照一定的“步伐”回到原点的过程。这个过程可看作以“5”为单位去度量数“20”，正好数了4次，把20度量完的过程。说到底，其本质还是对度量单位的运作。
不难看出，数线的介入和使用，能够帮助学生从计数单位累加或递减的角度去直观地理解乘除运算的意义。
2.两个问题
在梳理教材“数线与乘除”这部分内容的过程中，我们也发现了两个问题。 问题1：为何数线唯独缺席了除法“平均分”的教学？
梳理中发现，在运算意义的认识中，数线出现在乘法“几个几”“倍”和除法“包含除”“倍”的教学中，却唯独没有在除法“平均分”的学习中出现，那么是何原因导致数线缺席了除法“平均分”的教学？
我们以一个简单的例子试作分析。
比如8÷2=？从把8平均分成2份的角度来理解，我们来看数线：
不难发现，“8”在数线上表现为一个“点”，它所在位置决定了它到起点0的距离——即它是多少个“1”累加的结果。也就是说，在数线上可以静态地表示“8”這段距离，却不利于直观表示每份是几。可见，除法“平均分”因其内容自身的数学性而拒绝了数线的介入。
问题2：为什么数线在乘除运算中会逐渐隐退而被其他模型取而代之？
从前面的梳理中再进一步看，除了在表内乘法、末尾带0的口算、两位数与两位数乘法这几类乘法运算中我们还能看到数线的使用外，在相关的除法运算中，已经看不到数线的影子。比如表内除法，教材中不再用，学生在学习中还在使用，到带0的除法口算，连学生也不再用了。数线逐渐在乘除法运算中隐退，取而代之的是点子图、表格、面积模型等。这一现象表明，数线在拥有自身优越的属性和功能外，还存在着一定的局限性，这些自身的局限导致在后续的运算中被其他直观模型取而代之。
三、如何客观理性地看待数线
1.数线与数的认识相谐相生，相存相伴
从以上教材的梳理不难发现，数线模型与数的认识一路相生相伴。具体来说，从一（上）到四（上），20以内数的认识、100以内数的认识、万以内数的认识、亿以内数的认识等知识点的学习，借助数线向右逐渐拓展数量级；从三（上）到五（上），小数的初步认识、分数的初步认识、小数的意义、分数的意义，借助数线由宏观领域向微观层面扩充数；四（下）生活中的负数，借助数线向左继续扩充数域。可见，数线与数概念的建构与形成、数系统的不断扩充相谐相生，相存相伴。
2.数线使整数运算由抽象变得直观
其一，加、减、乘、除运算可以在数线上动态呈现——跳，通过度量单位的动态的“跳”，直观理解计数单位的累加或递减，进而理解运算的意义；其二，运算意义在数线上还可通过方向来体现，而且便于理解加与乘、减与除的内在关系与核心本质。其三，数线为学生整数运算的学习提供了一个理解算理、获得算法的直观工具。
3.数线不是万能的，离开数线却是万万不能的
如前所述，弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》中指出了数线自身被广泛和长久使用的优越性。但他同时也指出：“但是要注意一种危险的倾向，那就是有人对数轴寄予的希望过大，走得过远。”这说明，数线自身也存在着一定的局限性，比如数线与位值无关，无法直观呈现数位和计数单位。换句话说，数线不是万能的，离开数线却是万万不能的。
我们对数线要熟知其优势与局限，了解其属性与功能，客观理性地看待数线，方可对其进行合理开发与利用，这样才能发挥它的巨大功用和潜能，以在学生数概念的形成与发展中发挥更大的价值，把更多深度理解数学的可能性还给学生。
（作者单位：北京市中关村第一小学）
本期，我们探讨学生数概念的形成与发展过程。
为帮助学生深入认识数概念的核心本质，教师在教学中应特别注重直观模型的使用，其中数线是帮助学生深度理解数概念的直观载体。下面，笔者以北师大版小学数学教材为例，探析数线在儿童数概念的形成与发展中的直观体现。
一、研究的缘起——聚焦数线
在小学阶段数概念的形成与发展中，很多直观模型对数的认识、数的运算的理解起到了至关重要的作用。比如对整数及整数运算而言，究竟有哪些直观模型呢？循着教材的编写线索梳理，主要有以下几种：小棒、计数器、小方块、点子图、方格纸、数线等（如图1）。
可以说，以上这些实物、模型等直观材料因其自身的特点，在儿童整数及整数运算的学习中都发挥了不可或缺的作用。数的运算是对数意义的进一步認识，这些直观模型在学习过程中的介入有力地支撑着儿童数概念的形成与发展。而在这些直观模型中，有的却因其自身所具备的独特天然属性，直观作用与价值不同于其他模型而独树一帜——它就是数线（数轴）。弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》中指出：“与其他直观材料相比，数轴是确定的、可长久使用的，它不像有些材料只用一会儿就被放弃。”可见，数线因其自身的结构特性，突破和克服了其他直观材料的缺点而被人们广泛使用。
既然数线能够在众多的直观模型中脱颖而出，我们就有必要对数线本身所具有的优越属性、直观作用以及数线与数和运算之间相生相伴的天然联系进行剖析和研究。
二、数线在整数运算中的直观体现
（一）数线与加减
在数概念的形成与发展中，为什么数线具有如此强大的魅力呢？笔者认为，这与数线模型本身所具有的属性、结构和功能密切相关。
1.从呈现形式上看
伴随着数与运算的学习，数线在学生的认知系统中经历了由实物到数尺、再到数线的形成与发展，这个过程是循序渐进的，不是一蹴而就的。从外化的呈现形式来看，在实物原形中表现为数与实物一一对应，在数尺中表现为数与方格一一对应，在数线中表现为数与点一一对应。在此过程中，数线的功能也由实物直观走向了几何直观，从离散走向了连续，而这正是基于数的运算的发展与数的扩充的需要，是数概念形成与发展的内在需求。
2.从数量级上看
借助数线并沿着数线往右，以“一”为单位1个1个地跳（数），或者以“十”为单位10个10个地跳（数），以“百”为单位100个100个地跳（数）……这样随着不断地以计数单位累加的过程，就会产生更大的新的计数单位。在度量单位的不断累加运算中，也方便和满足了数量级扩展后大数加减法的开展。可见从数量级上看，数线在数的运算发展过程中，表现出一种自身天然的灵活性。
3.从数线的结构上看
从数线的结构来看，首先有一条向右的直线，规定了方向，其次规定了起点定为0，最后是单位长度，而这里的单位是灵活的，可以是任何一个自由的正数。具体而言，起点0——是计数的开始，单位长度——满足了累加的度量需求，方向——满足数的排列与可比性。从数线的数学性角度来审视，数线像一把用来量数的“尺子”，满足了数概念形成与发展的需要。
4.两个加减法的例子
我们来看一个一位数加法的例子“8 6”。
在这条简单的数线（数尺）上，数与格（点）一一对应，往右表示累加，得到“8 6”结果的操作就是基于这种“一一对应”，数出计数单位的过程，从8开始，以“1”为单位，连续累加6次，就得到“14”这个结果。这个运算的过程就是计数单位累加的过程。
运算“8 6”，还可以如上，10格为1档，从8开始，以“1”为单位，先累加2次到“10”，遇“10”停顿，再累加4次，孕伏“满十进一”，产生新的计数单位“十”。
我们再来聚焦一个减法的例子“239-118”。
在这条数线上，往左表示“递减”，从239开始，先以“百”为单位递减1次（减一个百），再以“十”为单位递减1次（减一个十），再以“一”为单位递减8（减一个8），即得到“239-118”的结果（度量值）“121”。在这个减法运算的过程中，借助数线先减几个百、再减几个十、几个一，数线的直观介入为学生分清数位、理解减法竖式算法打下基础，同时从数位的角度帮助学生直观理解数的内部结构，进而理解数概念及运算的意义。
（二）数线与乘除
针对数线与乘除，笔者尝试对教材中数线的使用情况进行了梳理。
1.两个乘除法的例子
我们先来看一个一位数乘法的例子。
这是乘法中“几个几”意义的运算内容。结合数尺模型与算式表征，解决“小青蛙一共跳了多少格”就是求“4个3是多少”。其中的4表示跳了几次，3表示每次跳几格，可以看作是以“3”为单位，度量了4次的结果，其本质上都是对计数单位的累加（累积），即对度量单位的运作。
我们再来看一个除法的例子。
这是除法中“包含除”意义的运算内容。解决“20元可以买几辆玩具车”就是求“20里面有几个5”。其运算的过程，即在数线上以20作为起点， 按照一定的“步伐”回到原点的过程。这个过程可看作以“5”为单位去度量数“20”，正好数了4次，把20度量完的过程。说到底，其本质还是对度量单位的运作。
不难看出，数线的介入和使用，能够帮助学生从计数单位累加或递减的角度去直观地理解乘除运算的意义。
2.两个问题
在梳理教材“数线与乘除”这部分内容的过程中，我们也发现了两个问题。 问题1：为何数线唯独缺席了除法“平均分”的教学？
梳理中发现，在运算意义的认识中，数线出现在乘法“几个几”“倍”和除法“包含除”“倍”的教学中，却唯独没有在除法“平均分”的学习中出现，那么是何原因导致数线缺席了除法“平均分”的教学？
我们以一个简单的例子试作分析。
比如8÷2=？从把8平均分成2份的角度来理解，我们来看数线：
不难发现，“8”在数线上表现为一个“点”，它所在位置决定了它到起点0的距离——即它是多少个“1”累加的结果。也就是说，在数线上可以静态地表示“8”這段距离，却不利于直观表示每份是几。可见，除法“平均分”因其内容自身的数学性而拒绝了数线的介入。
问题2：为什么数线在乘除运算中会逐渐隐退而被其他模型取而代之？
从前面的梳理中再进一步看，除了在表内乘法、末尾带0的口算、两位数与两位数乘法这几类乘法运算中我们还能看到数线的使用外，在相关的除法运算中，已经看不到数线的影子。比如表内除法，教材中不再用，学生在学习中还在使用，到带0的除法口算，连学生也不再用了。数线逐渐在乘除法运算中隐退，取而代之的是点子图、表格、面积模型等。这一现象表明，数线在拥有自身优越的属性和功能外，还存在着一定的局限性，这些自身的局限导致在后续的运算中被其他直观模型取而代之。
三、如何客观理性地看待数线
1.数线与数的认识相谐相生，相存相伴
从以上教材的梳理不难发现，数线模型与数的认识一路相生相伴。具体来说，从一（上）到四（上），20以内数的认识、100以内数的认识、万以内数的认识、亿以内数的认识等知识点的学习，借助数线向右逐渐拓展数量级；从三（上）到五（上），小数的初步认识、分数的初步认识、小数的意义、分数的意义，借助数线由宏观领域向微观层面扩充数；四（下）生活中的负数，借助数线向左继续扩充数域。可见，数线与数概念的建构与形成、数系统的不断扩充相谐相生，相存相伴。
2.数线使整数运算由抽象变得直观
其一，加、减、乘、除运算可以在数线上动态呈现——跳，通过度量单位的动态的“跳”，直观理解计数单位的累加或递减，进而理解运算的意义；其二，运算意义在数线上还可通过方向来体现，而且便于理解加与乘、减与除的内在关系与核心本质。其三，数线为学生整数运算的学习提供了一个理解算理、获得算法的直观工具。
3.数线不是万能的，离开数线却是万万不能的
如前所述，弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》中指出了数线自身被广泛和长久使用的优越性。但他同时也指出：“但是要注意一种危险的倾向，那就是有人对数轴寄予的希望过大，走得过远。”这说明，数线自身也存在着一定的局限性，比如数线与位值无关，无法直观呈现数位和计数单位。换句话说，数线不是万能的，离开数线却是万万不能的。
我们对数线要熟知其优势与局限，了解其属性与功能，客观理性地看待数线，方可对其进行合理开发与利用，这样才能发挥它的巨大功用和潜能，以在学生数概念的形成与发展中发挥更大的价值，把更多深度理解数学的可能性还给学生。
（作者单位：北京市中关村第一小学）