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【摘要】针对牙膏销售量问题，本文改进了回归分析模型，建立了微分方程模型进行销售量的预测，最后给出了灵敏度分析和稳定性分析.
【关键词】牙膏销售量;微分方程模型;回归分析模型
【基金项目】高等学校大学数学教学研究与发展中心资助（No.CMC20190408），烟台大学教学改革研究项目资助（No.jyxm2019041），山东省高等教育本科教改项目（No.Z2018S049）
一、引 言
在姜启源、谢金星、叶俊编著的《数学建模》（第4版）[1]的第十章中，提出了牙膏销售量问题.已知的数据包括三部分：某厂家的价格与其他厂家的价格差，广告投入，牙膏销售量.问题要求建立预测牙膏销售量的数学模型.书中针对已知数据进行分析，如图1，图2所示，销售量和价格差呈线性关系，销售量与广告费用呈二次函数关系.
基于以上的数据分析，书中建立了销售量y与价格差x1、广告费用x2之间的多元线性回归分析模型为：
y=β0 β1x1 β2x2 β3x22 ε.（1）
其中βi，i=0，…，3是回归系数.
利用数学软件MATLAB[2]或SPSS[3]，结合已有的数据可以估计出回归系数，得到预测销售量的回归分析模型为：
y=17.3 1.3x1-3.7x2 0.3x22.（2）
分析模型（2）可知：随着x2增大，销售量y会越来越大.当x2趋于无穷时，销售量y也趋于无穷.这个显然不符合实际情况，因为销售量会受市场影响，最终会达到市场饱和状态，而不会趋于无穷.
二、模型改进
随着广告费用x2的增加，销售量y会达到市场饱和量，这个变化趋势与人口预测问题中的阻滞增长模型相似，因此，我们使用微分方程模型来研究这个问题.
以广告费用x2为自变量，价格差x1为已知的变量，销售量为因变量，结合阻滞增长模型，建立如下微分方程模型：
dydx2=（a bx1）y1-yym，y（0，5.5）=7.5.（3）
其中ym代表市场饱和量，a，b是待定系数.
根据已知的数据，结合MATLAB[2]软件可以得到待定系数a，b以及市场饱和量ym的估计值，因此，销售量y与价格差x1、广告费用x2之间的关系式如下：
y=149.2e（x2（0.03 0.31x1））19.9 15e（x2（0.03 0.31x1））-15.（4）
其中ym=9.95.
利用牙膏销售量模型的解析解表达式（4）式，结合已知的价格差x1、广告费用x2的数据，对销售量y进行预测.
在图3中，“”代表已有的销售量数据，曲线代表将已有的价格差、广告费用的数据代入表达式（4）中后，计算出来的销售量的预测值.由图3可知，微分方程模型可以很好地描述销售量的变化趋势，并能刻画出销售量随着时间周期变化的情况.
三、模型检验
在使用模型解决问题之前，需要对模型进行检验分析.微分方程模型（3）的检验主要包括稳定性分析和灵敏度分析两个方面.首先我们根据定性分析[4]方法给出稳定性分析.
微分方程模型（3）的右端项不显含自变量x2，因此，模型（3）属于一维自治系统，我们使用自治系统的稳定性原理进行分析.
我们记右端项为
F（y）=（a bx1）y1-yym.（5）
令F（y）=0，可得两个平衡点为：
y1=ym或y2=0.
现分析右端项的一阶导数在两个平衡点处的符号：
（1）当x1
【关键词】牙膏销售量;微分方程模型;回归分析模型
【基金项目】高等学校大学数学教学研究与发展中心资助（No.CMC20190408），烟台大学教学改革研究项目资助（No.jyxm2019041），山东省高等教育本科教改项目（No.Z2018S049）
一、引 言
在姜启源、谢金星、叶俊编著的《数学建模》（第4版）[1]的第十章中，提出了牙膏销售量问题.已知的数据包括三部分：某厂家的价格与其他厂家的价格差，广告投入，牙膏销售量.问题要求建立预测牙膏销售量的数学模型.书中针对已知数据进行分析，如图1，图2所示，销售量和价格差呈线性关系，销售量与广告费用呈二次函数关系.
基于以上的数据分析，书中建立了销售量y与价格差x1、广告费用x2之间的多元线性回归分析模型为：
y=β0 β1x1 β2x2 β3x22 ε.（1）
其中βi，i=0，…，3是回归系数.
利用数学软件MATLAB[2]或SPSS[3]，结合已有的数据可以估计出回归系数，得到预测销售量的回归分析模型为：
y=17.3 1.3x1-3.7x2 0.3x22.（2）
分析模型（2）可知：随着x2增大，销售量y会越来越大.当x2趋于无穷时，销售量y也趋于无穷.这个显然不符合实际情况，因为销售量会受市场影响，最终会达到市场饱和状态，而不会趋于无穷.
二、模型改进
随着广告费用x2的增加，销售量y会达到市场饱和量，这个变化趋势与人口预测问题中的阻滞增长模型相似，因此，我们使用微分方程模型来研究这个问题.
以广告费用x2为自变量，价格差x1为已知的变量，销售量为因变量，结合阻滞增长模型，建立如下微分方程模型：
dydx2=（a bx1）y1-yym，y（0，5.5）=7.5.（3）
其中ym代表市场饱和量，a，b是待定系数.
根据已知的数据，结合MATLAB[2]软件可以得到待定系数a，b以及市场饱和量ym的估计值，因此，销售量y与价格差x1、广告费用x2之间的关系式如下：
y=149.2e（x2（0.03 0.31x1））19.9 15e（x2（0.03 0.31x1））-15.（4）
其中ym=9.95.
利用牙膏销售量模型的解析解表达式（4）式，结合已知的价格差x1、广告费用x2的数据，对销售量y进行预测.
在图3中，“”代表已有的销售量数据，曲线代表将已有的价格差、广告费用的数据代入表达式（4）中后，计算出来的销售量的预测值.由图3可知，微分方程模型可以很好地描述销售量的变化趋势，并能刻画出销售量随着时间周期变化的情况.
三、模型检验
在使用模型解决问题之前，需要对模型进行检验分析.微分方程模型（3）的检验主要包括稳定性分析和灵敏度分析两个方面.首先我们根据定性分析[4]方法给出稳定性分析.
微分方程模型（3）的右端项不显含自变量x2，因此，模型（3）属于一维自治系统，我们使用自治系统的稳定性原理进行分析.
我们记右端项为
F（y）=（a bx1）y1-yym.（5）
令F（y）=0，可得两个平衡点为：
y1=ym或y2=0.
现分析右端项的一阶导数在两个平衡点处的符号：
（1）当x1