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[摘 要] “数学抽象”是高中数学核心素养的重要内容，高中数学教学要着力培养学生的数学抽象能力，通过优化教学和学习方式，引导学生积累从具体到抽象的活动经验，通过抽象概括，把握数学本质，使学生深入理解数学相关概念或定理. 文章以教学实践为例，初步探索如何通过优化教学方式来发展高中生数学抽象核心素养.
[关键词] 数学抽象;核心素养;教学方式
《2017版普通高中数学课程标准》明确指出：“数学核心素养是数学课程目标的集中体现，数学核心素养是在数学学习过程中逐步形成的，高中阶段数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.”抽象是数学的思维方式之一，是数学活动中最基本的思维方法. 对于数学抽象的教学，实际上是一种构造活动，是借助已有知识和逻辑推理建构新概念或定理的过程. 因此，我们要优化教学方式，引导学生在已有知识基础上通过观察实验、猜想验证、逻辑推理、抽象概括等数学活动逐步获得新概念、新定理，要达到这样的目的必须培养学生的数学抽象核心素养. 下面结合具体实例来谈谈在教学中如何通过直观教学、数学实验、类比联想、数学探究等区别于传统的教学方式来发展学生抽象素养.
[?] 重视直观教学，增强感性体验
直观教学就是在数学教学中，为学生提供生动、具体、形象的可感知的实物、图片、模型或作图软件绘制的动态图形，丰富学生的直接经验和感性认识，深化学生理性认识的一种教学手段. 目的是帮助学生正确认识学习的对象，牢固掌握所学知识，有利于激发学生的学习兴趣，提高学生的数学抽象能力.
在必修1“函数单调性”的教学过程中，尽可能提供实例和素材，创设问题情境，引导学生直观地描述函数图像的特征，形与数的关系，进而帮助学生理解和掌握函数单调性概念.教学中首先创设情境，设计如下问题.
问题1：函数f（x）=x与f（x）=x2的图像是怎样变化的，它们有怎样的升降规律？
多媒体给出上述两个函数图像，让学生充分观察图像的变化，并组织学生对它们进行多视角的比较，进而分析每个图像各自的特点，从中寻找它们的相同点和不同点. 这样做不仅体现数学建构主义学习的主要特征，而且可以培养观察、联想、比较、分析、综合、抽象、概括的一般思维方法.
学生相互争鸣提出自己的意见，分化出这些图形相对共同的某种性质或特征. 讨论之后，学生的回答如下：一次函数f（x）=x图像由左至右是上升的;函数f（x）=x2图像在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的. 这时教师要做必要的说明：不同的函数，其图像的变化趋势可能也不同;同一函数在不同区间上的变化趋势也不一定相同，即上述图像的上升或下降表明了函数在变化中一种不变的性质，数学上把这种函数的性质称之为“单调性”，上升称为单调递增，下降称为单调递减. 此时可以设置如下问题.
问题2：怎样用x与f（x）数值的变化来描述图像的上升或下降呢？
教师可指导学生利用科学计数器完成f（x）=x2的对值表，并观察表格中自变量的值由小到大变化时，函数值f（x）的变化（表1）.
学生归纳得到：二次函数f（x）=x2，x<0时函数值f（x）随着x的增大而减小，x>0时函数值f（x）随着x的增大而增大，即函数y=f（x）图像相对x轴逐渐上升等价于函数f（x）随x的增大而增大;函数y=f（x）图像相对x轴逐渐下降等价于函数f（x）随x的增大而减小. 接着教师要引导学生如何利用函数解析式f（x）=x2描述“函数f（x）随x的增大而增大”和“函数f（x）随x的增大而减小”. 这是用动态的图形描述过渡到用静态的符号描述的过程，需要让学生充分讨论，寻找数学抽象表述的方法，提出单调性定义的假设.此时教师提出如下问题.
问题3：对于f（x）=x2，在（0，+∞）上，任意改变x，x的值，当x<x时，都有x<x吗？
學生尝试解决任意给出一些x，x的值，发现当x<x时，都有x<x. 在教师引导下学生通过思考、讨论，交流得出：（图形语言）函数f（x）=x2在（0，+∞）上的图像上升;（文字语言）函数f（x）随x的增大而增大;（符号语言）在（0，+∞）上，对任意x，x，当x<x时，都有x<x，具有这种性质的函数叫增函数.然后教师提出问题：对于一般的函数y=f（x），其定义域I，我们应当如何定义这个函数在某个区间D上是增函数呢？由具体到一般引出增函数定义，由形象到抽象，培养学生的逻辑思维能力. 最后让学生根据函数f（x）=x2在y轴左侧图像是下降的，类比增函数的定义，给出减函数的定义，培养学生的类比归纳能力. 另外学生在表述时常常不到位，其中有的是语言组织不当，有的是理解存在缺陷. 这时学生之间的讨论、补充、修正很重要，需要耐心地通过学生自身的合作交流达成相对准确的表述.
[?] 开展实验教学，验证数学抽象认识
数学实验教学是在教师的引导下，学生运用有关工具，通过实际操作，发现数学概念、定理，验证数学结论的活动.
例如，必修2“线面垂直的判定定理”一节，我们可以设计如下实验教学：如图1，请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面α上（BD，CD与桌面接触）. （1）折痕AD与桌面α垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面α垂直？
在折纸实验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因，学生再次折纸，进而探究直线与平面垂直的条件. 在学生继续动手操作的过程中发现：当且仅当折痕AD是边BC上的高时，AD与桌面α垂直，这激发了学生的好奇心：这是为什么呢？紧接着可以设置这样一个问题：（1）有人说，折痕AD所在直线与桌面α上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面α，你同意他的说法吗？（2）如图1，由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥BD且AD⊥CD，由此你能得到什么结论？通过探究，学生发现：AD⊥BC沿着AD翻折之后这一垂直关系是一个不变关系，即在图2中AD⊥BD且AD⊥CD，并且BD交CD于D，BD，CD?α.通过以上实验观察、交流探究，线面垂直的判定定理自然就出来了. [?] 实施数学探究，培养学生抽象思维
探究性学习，是指在教师的指导下，让学生主动去探索知识、获取知识并运用知识的学习方式. 因此对于教材安排的有些“探究”“思考”，不但要充分利用起来，而且要加以拓展和延伸，将探究进行到底.
教学选修2-3“二项式系数的性质”时，为了使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉，让学生计算（a+b）n展开式的二项式系数并填入表格. 学生计算后，发现每一行的系数具有对称性，为方便探究，教材建议将表格表示形式发生转变，引出“杨辉三角”，并设置探究2：你能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗？教材将二项式系数性质与“杨辉三角”结合起来，是因为当二项式系数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数，并利用它探究二项式系数的性质，如对称性、增减性与最大值、二项式系数的和等等.
在研究完二项式系数的性质后，可以收集相关资料，创设合理情景，分组探索研究：
1. 每位同学都自己编制杨辉三角前20行.
2. 每个小组发一份“杨辉三角研究成果报告单”，附：杨辉三角研究成果报告单（表2）.
3. 教师用多媒体或实物投影仪出示下列五个问题.
问题1：在杨辉三角的第1、3、7、15、……行，即第2k-1行的各数字有什么特点？
问题2：在杨辉三角的第5行中，除去两端数字1以外，行数5能整除其余的所有各数，你能找出具有类似性質的三行吗？这时行数P是一个什么样的数？
问题3：在杨辉三角的前5行中作平行于左斜边的直线，这些直线所经过的数字之和有什么特点？
问题4：在教材第36页图2中，请先求出斜线所经过的数字的和，再观察这些和，你能发现什么规律吗？
问题5：在杨辉三角的前6行、……、前n行数字中作平行于右斜边的直线，这些直线所经过的数字的和是多少？
各组研究后，成果由小组长汇总，填入研究成果报告单，教师审阅后，按相异的原则抽选3个组，或抽签选取3个组，然后指导学生使用投影仪展示，并加以说明. 被抽小组发言后，由未被抽选的小组发言说明不同的结论或疑问，再由另外的同学进行评估交流. 教师对不同的结论和疑问可组织学生讨论、答辩，并循循善诱地引导到正确结论上来，结论由学生给出. 如果时间允许，对高阶等差数列求和问题，教师可介绍“逐差法”求和，与用杨辉三角数字规律求高阶等差数列和比较繁简，另外还可引导学生共同探求“莱布尼茨三角”的数字规律. 在课堂上有的规律可能探求不出，宁可留到课外去讨论，教师也不要把结论强行“塞”给学生，在整个过程中要充分尊重学生的“主角”地位.
数学探究活动是综合提升数学学科核心素养的载体. 在课堂教学中，应重视学生自主探索研究的学习过程，教师重在点拨、指导，以利形成研究的氛围. 为培养学生的“发现”欲望，激发学生兴趣，对学生探求的结果，哪怕是微小的发现，都应给予充分肯定、表扬和鼓励. 教学相长，以此建设新型的师生关系. 培养学生的探究能力不是一朝一夕的，只要我们充分利用好教材提供的丰富资源，正确把握数学教育的特点，充分关注学习过程，诱发探究兴趣，尝试探究途径，拓宽探究领域，学生的探究能力就一定能得到明显提高.
[关键词] 数学抽象;核心素养;教学方式
《2017版普通高中数学课程标准》明确指出：“数学核心素养是数学课程目标的集中体现，数学核心素养是在数学学习过程中逐步形成的，高中阶段数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.”抽象是数学的思维方式之一，是数学活动中最基本的思维方法. 对于数学抽象的教学，实际上是一种构造活动，是借助已有知识和逻辑推理建构新概念或定理的过程. 因此，我们要优化教学方式，引导学生在已有知识基础上通过观察实验、猜想验证、逻辑推理、抽象概括等数学活动逐步获得新概念、新定理，要达到这样的目的必须培养学生的数学抽象核心素养. 下面结合具体实例来谈谈在教学中如何通过直观教学、数学实验、类比联想、数学探究等区别于传统的教学方式来发展学生抽象素养.
[?] 重视直观教学，增强感性体验
直观教学就是在数学教学中，为学生提供生动、具体、形象的可感知的实物、图片、模型或作图软件绘制的动态图形，丰富学生的直接经验和感性认识，深化学生理性认识的一种教学手段. 目的是帮助学生正确认识学习的对象，牢固掌握所学知识，有利于激发学生的学习兴趣，提高学生的数学抽象能力.
在必修1“函数单调性”的教学过程中，尽可能提供实例和素材，创设问题情境，引导学生直观地描述函数图像的特征，形与数的关系，进而帮助学生理解和掌握函数单调性概念.教学中首先创设情境，设计如下问题.
问题1：函数f（x）=x与f（x）=x2的图像是怎样变化的，它们有怎样的升降规律？
多媒体给出上述两个函数图像，让学生充分观察图像的变化，并组织学生对它们进行多视角的比较，进而分析每个图像各自的特点，从中寻找它们的相同点和不同点. 这样做不仅体现数学建构主义学习的主要特征，而且可以培养观察、联想、比较、分析、综合、抽象、概括的一般思维方法.
学生相互争鸣提出自己的意见，分化出这些图形相对共同的某种性质或特征. 讨论之后，学生的回答如下：一次函数f（x）=x图像由左至右是上升的;函数f（x）=x2图像在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的. 这时教师要做必要的说明：不同的函数，其图像的变化趋势可能也不同;同一函数在不同区间上的变化趋势也不一定相同，即上述图像的上升或下降表明了函数在变化中一种不变的性质，数学上把这种函数的性质称之为“单调性”，上升称为单调递增，下降称为单调递减. 此时可以设置如下问题.
问题2：怎样用x与f（x）数值的变化来描述图像的上升或下降呢？
教师可指导学生利用科学计数器完成f（x）=x2的对值表，并观察表格中自变量的值由小到大变化时，函数值f（x）的变化（表1）.
学生归纳得到：二次函数f（x）=x2，x<0时函数值f（x）随着x的增大而减小，x>0时函数值f（x）随着x的增大而增大，即函数y=f（x）图像相对x轴逐渐上升等价于函数f（x）随x的增大而增大;函数y=f（x）图像相对x轴逐渐下降等价于函数f（x）随x的增大而减小. 接着教师要引导学生如何利用函数解析式f（x）=x2描述“函数f（x）随x的增大而增大”和“函数f（x）随x的增大而减小”. 这是用动态的图形描述过渡到用静态的符号描述的过程，需要让学生充分讨论，寻找数学抽象表述的方法，提出单调性定义的假设.此时教师提出如下问题.
问题3：对于f（x）=x2，在（0，+∞）上，任意改变x，x的值，当x<x时，都有x<x吗？
學生尝试解决任意给出一些x，x的值，发现当x<x时，都有x<x. 在教师引导下学生通过思考、讨论，交流得出：（图形语言）函数f（x）=x2在（0，+∞）上的图像上升;（文字语言）函数f（x）随x的增大而增大;（符号语言）在（0，+∞）上，对任意x，x，当x<x时，都有x<x，具有这种性质的函数叫增函数.然后教师提出问题：对于一般的函数y=f（x），其定义域I，我们应当如何定义这个函数在某个区间D上是增函数呢？由具体到一般引出增函数定义，由形象到抽象，培养学生的逻辑思维能力. 最后让学生根据函数f（x）=x2在y轴左侧图像是下降的，类比增函数的定义，给出减函数的定义，培养学生的类比归纳能力. 另外学生在表述时常常不到位，其中有的是语言组织不当，有的是理解存在缺陷. 这时学生之间的讨论、补充、修正很重要，需要耐心地通过学生自身的合作交流达成相对准确的表述.
[?] 开展实验教学，验证数学抽象认识
数学实验教学是在教师的引导下，学生运用有关工具，通过实际操作，发现数学概念、定理，验证数学结论的活动.
例如，必修2“线面垂直的判定定理”一节，我们可以设计如下实验教学：如图1，请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面α上（BD，CD与桌面接触）. （1）折痕AD与桌面α垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面α垂直？
在折纸实验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因，学生再次折纸，进而探究直线与平面垂直的条件. 在学生继续动手操作的过程中发现：当且仅当折痕AD是边BC上的高时，AD与桌面α垂直，这激发了学生的好奇心：这是为什么呢？紧接着可以设置这样一个问题：（1）有人说，折痕AD所在直线与桌面α上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面α，你同意他的说法吗？（2）如图1，由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥BD且AD⊥CD，由此你能得到什么结论？通过探究，学生发现：AD⊥BC沿着AD翻折之后这一垂直关系是一个不变关系，即在图2中AD⊥BD且AD⊥CD，并且BD交CD于D，BD，CD?α.通过以上实验观察、交流探究，线面垂直的判定定理自然就出来了. [?] 实施数学探究，培养学生抽象思维
探究性学习，是指在教师的指导下，让学生主动去探索知识、获取知识并运用知识的学习方式. 因此对于教材安排的有些“探究”“思考”，不但要充分利用起来，而且要加以拓展和延伸，将探究进行到底.
教学选修2-3“二项式系数的性质”时，为了使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉，让学生计算（a+b）n展开式的二项式系数并填入表格. 学生计算后，发现每一行的系数具有对称性，为方便探究，教材建议将表格表示形式发生转变，引出“杨辉三角”，并设置探究2：你能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗？教材将二项式系数性质与“杨辉三角”结合起来，是因为当二项式系数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数，并利用它探究二项式系数的性质，如对称性、增减性与最大值、二项式系数的和等等.
在研究完二项式系数的性质后，可以收集相关资料，创设合理情景，分组探索研究：
1. 每位同学都自己编制杨辉三角前20行.
2. 每个小组发一份“杨辉三角研究成果报告单”，附：杨辉三角研究成果报告单（表2）.
3. 教师用多媒体或实物投影仪出示下列五个问题.
问题1：在杨辉三角的第1、3、7、15、……行，即第2k-1行的各数字有什么特点？
问题2：在杨辉三角的第5行中，除去两端数字1以外，行数5能整除其余的所有各数，你能找出具有类似性質的三行吗？这时行数P是一个什么样的数？
问题3：在杨辉三角的前5行中作平行于左斜边的直线，这些直线所经过的数字之和有什么特点？
问题4：在教材第36页图2中，请先求出斜线所经过的数字的和，再观察这些和，你能发现什么规律吗？
问题5：在杨辉三角的前6行、……、前n行数字中作平行于右斜边的直线，这些直线所经过的数字的和是多少？
各组研究后，成果由小组长汇总，填入研究成果报告单，教师审阅后，按相异的原则抽选3个组，或抽签选取3个组，然后指导学生使用投影仪展示，并加以说明. 被抽小组发言后，由未被抽选的小组发言说明不同的结论或疑问，再由另外的同学进行评估交流. 教师对不同的结论和疑问可组织学生讨论、答辩，并循循善诱地引导到正确结论上来，结论由学生给出. 如果时间允许，对高阶等差数列求和问题，教师可介绍“逐差法”求和，与用杨辉三角数字规律求高阶等差数列和比较繁简，另外还可引导学生共同探求“莱布尼茨三角”的数字规律. 在课堂上有的规律可能探求不出，宁可留到课外去讨论，教师也不要把结论强行“塞”给学生，在整个过程中要充分尊重学生的“主角”地位.
数学探究活动是综合提升数学学科核心素养的载体. 在课堂教学中，应重视学生自主探索研究的学习过程，教师重在点拨、指导，以利形成研究的氛围. 为培养学生的“发现”欲望，激发学生兴趣，对学生探求的结果，哪怕是微小的发现，都应给予充分肯定、表扬和鼓励. 教学相长，以此建设新型的师生关系. 培养学生的探究能力不是一朝一夕的，只要我们充分利用好教材提供的丰富资源，正确把握数学教育的特点，充分关注学习过程，诱发探究兴趣，尝试探究途径，拓宽探究领域，学生的探究能力就一定能得到明显提高.