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一、反思数学问题的特征,形成一题多变
通过对问题的特征反思,可以引导学生透过表象和外部联系,揭示问题的本质。同时,在原题引伸扩展上进行“多题归一”的反思,能不断提
高解题效率。
例1.已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过P点且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有()
A.1条B.2条C.3条D.4条
解:过点P作直线a′∥a,b′∥b,则由已知可得a′和b′所成的角为50°和130°,记a′和b′所确定的平面为β,那么,在β平面内,过点P不存在
与a′、b′都成30°的直线,必在平面外,且在β内的射影必平分a′、b′所成50°的对顶角,这样的直线有且仅有2条,它们关于平面β对称。所
以,过点P与a、b都成30°的直线有且仅有2条。
[反思]这道题主要特征应为两个角度50°和30°,可通过改变50°和30°的大小来深化对这一些问题的理解,如:
⑴若将30°改为25°,其余条件不变,则答案为();⑵若将30°改为65°,其余条件不变,则答案为();⑶若将30°改为70°,
其余条件不变,则答案为();⑷若将50°改为α,30°改为β,则α、β满足关系式为。实质上只要理解公式cosθ=
cosα•cosβ,那么无论条件怎么变,都能以“不变”应“万变”。
二、反思数学问题的结果,形成易于掌握的一般公式
有些题目的类型其实平时就已经接触过,如果能在平时解题时稍加留心观察,反思其解题结果,可以从中发现有规律可循,有规律可记,
解题时就可以有的放矢。
例2.已知点P为椭圆x216+y212=1上任一点P,F1、F2为椭圆的两个焦点。求:∠F
1PF2的取值范围?
解这道题可以考虑在△PF1F2中用余弦定理,可得,
cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|•|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2-
2|PF1|•|PF2|-|F12|22|PF1|•|PF2|
由椭圆方程x216+y212=1,可知|PF1|+|PF2|=8,|F1F2|=2c=4
∴cos∠F1PF2=64-2|PF1|•|PF2|-162|PF1|•|PF2|=24|PF1|•|PF2|-1
又∵|PF1|•|PF2|≤|PF1|+|PF2|22=16
∴cos∠F1PF2≥12
∴0≤∠F1PF2≤π3
∴∠F1PF2范围为[0,π3]
[反思]如果已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1,再求∠F1PF2范围,结果就能得出。 结果cos∠F1PF2≥2b2a2-1=2b2-a2a2=b2-c2a2 ∴∠F1PF2∈[0,arccosb2-c2a2]。上此题特殊结论,变为可记忆的公式。当学生遇到类
似问题的填空、选择题时,就会很快解出结果。
三、反思数学问题思维的过程,积累解题经验
在解题结束后,让学生及时分析整理自己的思维过程,找到其中的解题规律,形成知识板块。再通过一道题的求解,引伸到一类的解答,
既有利于强化知识的应用,又能提高解题能力和解题速度。
例3.已知直线x-y=2与抛物线y2=4x交于A、B两点,那么线段AB的中点坐标是。
分析:联系x-y=2和y2=4x,消去x,得y2-4y-8=0.
由韋达定理得y1+y2=4,线段AB中点的纵坐标y=y1+y22=2。
横坐标x=y+2=4,故线段AB的中点坐标为(4,2)。
上述解法不仅简便,而且能加以推广:凡是圆锥曲线与直线相交有交点的问题,如涉及到弦长、中点等,均可采用设出弦的端点的坐标而不求来加以解决。
总之,反思抓住了解题的本质,从不同角度和不同的侧面对原题进行了扩展,实现了一题多解,开阔了思路,为以后解决此类数学问题提供了广阔的思路,从而突破思维定势,找到新的解题方法,进一步提高了分析和解决问题的能力 。
通过对问题的特征反思,可以引导学生透过表象和外部联系,揭示问题的本质。同时,在原题引伸扩展上进行“多题归一”的反思,能不断提
高解题效率。
例1.已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过P点且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有()
A.1条B.2条C.3条D.4条
解:过点P作直线a′∥a,b′∥b,则由已知可得a′和b′所成的角为50°和130°,记a′和b′所确定的平面为β,那么,在β平面内,过点P不存在
与a′、b′都成30°的直线,必在平面外,且在β内的射影必平分a′、b′所成50°的对顶角,这样的直线有且仅有2条,它们关于平面β对称。所
以,过点P与a、b都成30°的直线有且仅有2条。
[反思]这道题主要特征应为两个角度50°和30°,可通过改变50°和30°的大小来深化对这一些问题的理解,如:
⑴若将30°改为25°,其余条件不变,则答案为();⑵若将30°改为65°,其余条件不变,则答案为();⑶若将30°改为70°,
其余条件不变,则答案为();⑷若将50°改为α,30°改为β,则α、β满足关系式为。实质上只要理解公式cosθ=
cosα•cosβ,那么无论条件怎么变,都能以“不变”应“万变”。
二、反思数学问题的结果,形成易于掌握的一般公式
有些题目的类型其实平时就已经接触过,如果能在平时解题时稍加留心观察,反思其解题结果,可以从中发现有规律可循,有规律可记,
解题时就可以有的放矢。
例2.已知点P为椭圆x216+y212=1上任一点P,F1、F2为椭圆的两个焦点。求:∠F
1PF2的取值范围?
解这道题可以考虑在△PF1F2中用余弦定理,可得,
cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|•|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2-
2|PF1|•|PF2|-|F12|22|PF1|•|PF2|
由椭圆方程x216+y212=1,可知|PF1|+|PF2|=8,|F1F2|=2c=4
∴cos∠F1PF2=64-2|PF1|•|PF2|-162|PF1|•|PF2|=24|PF1|•|PF2|-1
又∵|PF1|•|PF2|≤|PF1|+|PF2|22=16
∴cos∠F1PF2≥12
∴0≤∠F1PF2≤π3
∴∠F1PF2范围为[0,π3]
[反思]如果已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1,再求∠F1PF2范围,结果就能得出。 结果cos∠F1PF2≥2b2a2-1=2b2-a2a2=b2-c2a2 ∴∠F1PF2∈[0,arccosb2-c2a2]。上此题特殊结论,变为可记忆的公式。当学生遇到类
似问题的填空、选择题时,就会很快解出结果。
三、反思数学问题思维的过程,积累解题经验
在解题结束后,让学生及时分析整理自己的思维过程,找到其中的解题规律,形成知识板块。再通过一道题的求解,引伸到一类的解答,
既有利于强化知识的应用,又能提高解题能力和解题速度。
例3.已知直线x-y=2与抛物线y2=4x交于A、B两点,那么线段AB的中点坐标是。
分析:联系x-y=2和y2=4x,消去x,得y2-4y-8=0.
由韋达定理得y1+y2=4,线段AB中点的纵坐标y=y1+y22=2。
横坐标x=y+2=4,故线段AB的中点坐标为(4,2)。
上述解法不仅简便,而且能加以推广:凡是圆锥曲线与直线相交有交点的问题,如涉及到弦长、中点等,均可采用设出弦的端点的坐标而不求来加以解决。
总之,反思抓住了解题的本质,从不同角度和不同的侧面对原题进行了扩展,实现了一题多解,开阔了思路,为以后解决此类数学问题提供了广阔的思路,从而突破思维定势,找到新的解题方法,进一步提高了分析和解决问题的能力 。