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摘要:股票价格的波动率特征是股票衍生品价格的决定性因素。Black & Scholes假设股票价格服从几何布朗运动,其重要的假设条件是波动率为一个常数。但是,越来越多的实证研究结果表明,股票收益率存在显著的尖峰厚尾现象,其波动率存在明显的时变性特征。因此,放宽波动率恒定条件,并且研究股票波动率的变动特征,对认购权证的正确定价具有重要意义。
关键词:权证定价;B-S模型;GARCH模型
中图分类号:F83 文献标志码:A文章编号:1673-291X(2010)08-0130-04
经典金融理论都是基于新古典经济学的效用最大化的理性人假设之上的。具体表现在资产收益率上,即它们都具有一个共同的假设:收益率序列独立同分布,标准差服从正态分布。Black-Scholes期权定价公式,就是以此为基础的。然而,大量的实证研究发现,实际金融市场上大部分金融变量的标准差与服从正态分布的假设相去甚远,而且收益率序列也并没有表现出独立同分布的特征。
本文首先根据样本股票期权标的股票的日收盘数据计算出标的股票的日收益率序列,根据标的股票日收益率序列估计GARCH模型的参数,然后应用GARCH模型对标的股票日收益波动率进行预测,并将收益波动率的值代入Black-Scholes公式,从而对股票期权进行定价。
一、Black-Scholes期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型的假设条件是:(1)股票的价格S遵循几何Brown运动,dS=μSdt+σSdz,其中,μ是股票的期望回报率,σ是股票的标准差,即股票价格的波动率,dz是一个广义维纳过程。(2)无风险利率r是常数。(3)股票不支付股息。(4)不支付交易费用和税收。(5)不存在套利机会。求解得到欧式看涨期权的精确定价公式:
C=SN(d1)-Xe-r(T-t)N(d2)
其中,d1=■
d2=■=d1-σ■
N(.)是均值为0方差为1的标准正态分布变量的累积概率分布函数。
二、GARCH模型(Generalized ARCH)
1986年, Bollerslve提出了更一般性的ARCH模型(Generalized ARCH),即广义自回归条件异方差GARCH(Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity)模型。其中,异方差指方差随时间变化而变化,即具有易变性;条件性表示了对过去临近观测信息的依赖;自回归则描述了预测值与过去观测之间的联系。它在对时间序列波动性的解释和建模上具有较强的优势,因而有着极其广泛的理论和实用价值。
GARCH(p,q)模型的一般形式为:
ut=■·vt
其中,vt为i.i.d序列,且E(vt)=0,var(vt)=1,若有
ht=α0+■α■u■2+ ■β■h■=α0+α(L)u■2+β(L)h■
p,q≥0,α0>0,αi≥0(i=1,2,……,p),βi≥0(j=1,2,……,q)
则称ut服从GARCH过程,记作ut□GARCH(p,q)。
■β■h■为自回归项,■α■u■2为ARCH项。
GARCH(p,q)模型中用得最多的是GARCH(1,1)模型。此后,在GARCH的基础上,又相继发展了IGARCH、EGARCH、GARCH-M等推广形式。
三、实证过程
(一)数据来源
本实证研究所采用的数据来自Wind资讯金融软件系统,本文研究的是石化权证石化CWB1(580019),其标的股票是中国石化(600028),选取中国石化2006年1月4日到2009年9月30日的收盘价为研究样本。
石化权证的基本要素见表1:
在股票分红派息时,股票价格一般会除权下跌,而我们前面也说过了,当股价下跌对权证是不利的。如果股票派息而权证的要素没有发生变化,则权证价值会下降。而对于目前市场中的权证,其行权价格和行权比例会随着股票分红派息而调整,我们可以近似认为股息对权证的价值没有影响。
(二)数据的处理
对于选取的收盘价样本,我们取对数收益率。设Pt为第t期的股票价格,Pt-1为第t-1期的股票价格,对数收益率表示为:Rt=1nPt-1nPt-1。对数收益率时序的时序图见图1:
由于石化权证的存续期只有两年,我们以一年期定期存款利率(2.25%)作为无风险利率,将其转换成连续复利率为1n (1+0.0225)=2.23%。
(三)基于GARCH模型的定价分析
1.收益率序列的正态性检验
利用Eviews5.0对中国石化收益率序列进行正态性检验,具体结果见图2:
图2 石化收益率序列的基本统计资料
图3
由图2、表2和图3可知偏度为-0.045144,表明分布左偏,峰度为4.386575,高于正态分布的峰度3,表明分布比较高耸,说明收益率序列具有尖峰厚尾特征,JB统计量为73.44862,其P值为0.000000,拒绝服从正态分布的假设,且QQ图不在一条直线上。综上所述,该序列不服从正态分布。由此看出,本文用GARCH模型来估计波动率存在着合理性。
2.平稳性检验
对序列进行分析时,需要保证序列的平稳性,只有在平稳性的前提下,才能有效地对其统计量和性质进行描述。本文利用ADF单位根检验对序列进行检验。
根据上述输出结果可知,收益率序列在99%的置信水平上拒绝单位根假设,收益率序列不存在单位根,即该收益率序列平稳。
3.ARCH效应检验
检验一个回归模型的残差εt,是否具有随时间变化的方差称为ARCH检验。检验序列是否存在ARCH效应的最常用的方法是拉格朗日乘数法,即LM检验。
Eviews输出的检验结果见下表:
由上表可知:ARCH-LM检验结果中LM统计量Obs*R-squared值的P值小于显著性水平0.05,拒绝原假设,认为残差存在ARCH效应。
4.利用GARCH(1,1)模型进行波动率估计
建立GARCH(1,1)模型,具体的输出结果见下表。可知,GARCH(1,1)模型的各项参数在5%的置信水平下都显著不为零。GARCH效应显著。 + =0.971468<1,符合平稳性条件。同时对拟合后方程的残差序列进行自相关性检验,发现不存在条件异方差。
5.基于GARCH(1,1)模型的权证定价
本文采用标的股票中国石化2006年1月4日至2009年9月30日的日收益率序列估计GARCH模型的参数,然后应用该模型对标的股票在未来10个交易日里的收益波动率进行预测。
将上述预测参数结果代入GARCH模型公式:
σt2=α0+α1ε2t-1+β1ε2t-1
预测使用的第t期(具体到本文即9月1日)的收益波动率通常应用历史波动率法计算得到。然后根据上述公式预测下一期的波动率,以此类推。
利用GARCH模型对股票收益波动率进行预测之后,可将预测值代入Black-Scholes公式,从而对股票期权进行定价。
(四)基于HV模型的权证定价
历史波动性(简写为HV),基本假设是相信过去的波动性会延续到未来,且不会产生大幅变动,因此,用过去资料计算而得的波动性可视为未来的股价波动性。计算历史波动性时,应先决定观察的期间及观察值个数,观察值的数目越多虽有助于估计值的准确性,但却不宜使用太旧的资料。本文选择最近100个交易日的收盘价格,计算历史波动率。
■t2=■■(r■-■)■,其中,rt=1n(Xt/Xt-1)
注意这里的σt2与B-S模型中的波动率并不等同,需要将其转化成年化价格波动率。转化关系:σ=■t■
将计算出的事实波动率代入B-S公式,得出基于历史波动率的权证理论价格。
计算时需要注意的问题:(1)B-S模型计算时用的无风险利率为连续复利形式,即:r=1n(1+r0),其中,r0为一年期定期存款利率。本文r0=2.25%,r=2.23%。(2)期权有效期T应折合成年数来表示,即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为t天,则T=t/365。
四、权证定价的实证结果及分析
(一)实证结果
结合以上两种模型计算出的权证理论价格和实际权证价格对比见表3:
根据表3的数据,得到图4。
从表3可以看出,权证的市场价格与理论价格的差值均为正值,也就是说,权证实际市场价格要高于由两个模型计算出来的理论价格。
再从定量的角度来分析定价模型的定价能力。为了验证上述定价方法的有效性,本文使用平均偏离度(Average Tracking Difference)作为检验模型定价有效性的依据。
其计算公式如下:
偏度百分比:ηt=■
其中,X■表示第t期市场价格, X0表示当期理论价格。
用几何平均数反映平均偏离百分比:η=(■ηt)1/n
通过计算可知,基于GARCH(1,1)模型定价的平均偏离度为: 73.63%
基于历史波动率的B-S定价平均偏离度为: 84.04%
由图4看出:GARCH模型计算的权证理论价格显著优于历史波动下计算的理论价格,但是同时发现,两者和市场价格比较,都有着较大的差异,石化权证价格存在明显的高估现象,存在比较严重的市场投机,不利于我国金融衍生产品市场的健康发展。分析产生差异的制度原因对改进和完善我国的资本市场,促进金融衍生品市场的发展具有重要的意义。
(二)结果差异分析
1.虽然采取了和期权一样的方法对石化权证进行定价,但是,它并不是真正的期权产品,而是由公司所发行的认购权证,在发行量上是有限的,其价格容易因为供求关系而被人为操纵。而真正的期权在发行量上是无限的,即只要有需求,便能以某个价格购买到,就很难被人为操纵。
2.建立模型的假设直接影响到定价结果的准确性。由于我国股市不允许卖空,所以投资者不能有效实施套利。卖空机制的存在客观上能产生一种“价格发现”机制,促使股票市场的价格接近实际价值,实现股票市场价格的有效性。在缺乏套利机制的市场中,无法通过市场价格偏高的期权进行卖空而同时买入标的股票来实现无风险套利,进而也就无法因为市场中大多数人的不断卖空而使权证的市场价格回归到其真实价值上去。
3.在B-S定价模型中,假设股价服从对数正态分布,即其收益来服从正态分布。而对中国石化收益率进行正态检验的结果知道,中国石化股票收益率序列显著异于正态分布。
4.在用波动率的GARCH(1,l)模型对权证进行定价时,为了简单起见,对模型进行了简化计算,令公司权益价值的波动率近似等于标的股票的波动率,致使计算结果与市场价格也存在差异。
The empirical test of the petrochemical warrants in the GARCH model
WANG Ya-li,SUN Tao
(Economy and management college, Nanjing aviation and spaceflight university,Nanjing 210016,China)
Abstract: Stock price volatility is characterized by the price of the stock derivatives decisive factor. Black & Scholes assume that the stock price follows geometric Brownian motion, its important on the assumption that volatility is a constant. However, an increasing number of empirical research results show that stock returns were significantly spike thick tail phenomenon, its volatility there exists an obvious time-varying characteristics. Therefore, the relaxation of fluctuations in the rate constant conditions, and examine changes in stock volatility characteristics of the warrants the correct pricing of great significance.
Key words:making a price of the warrants;B-S model; GARCH model
关键词:权证定价;B-S模型;GARCH模型
中图分类号:F83 文献标志码:A文章编号:1673-291X(2010)08-0130-04
经典金融理论都是基于新古典经济学的效用最大化的理性人假设之上的。具体表现在资产收益率上,即它们都具有一个共同的假设:收益率序列独立同分布,标准差服从正态分布。Black-Scholes期权定价公式,就是以此为基础的。然而,大量的实证研究发现,实际金融市场上大部分金融变量的标准差与服从正态分布的假设相去甚远,而且收益率序列也并没有表现出独立同分布的特征。
本文首先根据样本股票期权标的股票的日收盘数据计算出标的股票的日收益率序列,根据标的股票日收益率序列估计GARCH模型的参数,然后应用GARCH模型对标的股票日收益波动率进行预测,并将收益波动率的值代入Black-Scholes公式,从而对股票期权进行定价。
一、Black-Scholes期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型的假设条件是:(1)股票的价格S遵循几何Brown运动,dS=μSdt+σSdz,其中,μ是股票的期望回报率,σ是股票的标准差,即股票价格的波动率,dz是一个广义维纳过程。(2)无风险利率r是常数。(3)股票不支付股息。(4)不支付交易费用和税收。(5)不存在套利机会。求解得到欧式看涨期权的精确定价公式:
C=SN(d1)-Xe-r(T-t)N(d2)
其中,d1=■
d2=■=d1-σ■
N(.)是均值为0方差为1的标准正态分布变量的累积概率分布函数。
二、GARCH模型(Generalized ARCH)
1986年, Bollerslve提出了更一般性的ARCH模型(Generalized ARCH),即广义自回归条件异方差GARCH(Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity)模型。其中,异方差指方差随时间变化而变化,即具有易变性;条件性表示了对过去临近观测信息的依赖;自回归则描述了预测值与过去观测之间的联系。它在对时间序列波动性的解释和建模上具有较强的优势,因而有着极其广泛的理论和实用价值。
GARCH(p,q)模型的一般形式为:
ut=■·vt
其中,vt为i.i.d序列,且E(vt)=0,var(vt)=1,若有
ht=α0+■α■u■2+ ■β■h■=α0+α(L)u■2+β(L)h■
p,q≥0,α0>0,αi≥0(i=1,2,……,p),βi≥0(j=1,2,……,q)
则称ut服从GARCH过程,记作ut□GARCH(p,q)。
■β■h■为自回归项,■α■u■2为ARCH项。
GARCH(p,q)模型中用得最多的是GARCH(1,1)模型。此后,在GARCH的基础上,又相继发展了IGARCH、EGARCH、GARCH-M等推广形式。
三、实证过程
(一)数据来源
本实证研究所采用的数据来自Wind资讯金融软件系统,本文研究的是石化权证石化CWB1(580019),其标的股票是中国石化(600028),选取中国石化2006年1月4日到2009年9月30日的收盘价为研究样本。
石化权证的基本要素见表1:
在股票分红派息时,股票价格一般会除权下跌,而我们前面也说过了,当股价下跌对权证是不利的。如果股票派息而权证的要素没有发生变化,则权证价值会下降。而对于目前市场中的权证,其行权价格和行权比例会随着股票分红派息而调整,我们可以近似认为股息对权证的价值没有影响。
(二)数据的处理
对于选取的收盘价样本,我们取对数收益率。设Pt为第t期的股票价格,Pt-1为第t-1期的股票价格,对数收益率表示为:Rt=1nPt-1nPt-1。对数收益率时序的时序图见图1:
由于石化权证的存续期只有两年,我们以一年期定期存款利率(2.25%)作为无风险利率,将其转换成连续复利率为1n (1+0.0225)=2.23%。
(三)基于GARCH模型的定价分析
1.收益率序列的正态性检验
利用Eviews5.0对中国石化收益率序列进行正态性检验,具体结果见图2:
图2 石化收益率序列的基本统计资料
图3
由图2、表2和图3可知偏度为-0.045144,表明分布左偏,峰度为4.386575,高于正态分布的峰度3,表明分布比较高耸,说明收益率序列具有尖峰厚尾特征,JB统计量为73.44862,其P值为0.000000,拒绝服从正态分布的假设,且QQ图不在一条直线上。综上所述,该序列不服从正态分布。由此看出,本文用GARCH模型来估计波动率存在着合理性。
2.平稳性检验
对序列进行分析时,需要保证序列的平稳性,只有在平稳性的前提下,才能有效地对其统计量和性质进行描述。本文利用ADF单位根检验对序列进行检验。
根据上述输出结果可知,收益率序列在99%的置信水平上拒绝单位根假设,收益率序列不存在单位根,即该收益率序列平稳。
3.ARCH效应检验
检验一个回归模型的残差εt,是否具有随时间变化的方差称为ARCH检验。检验序列是否存在ARCH效应的最常用的方法是拉格朗日乘数法,即LM检验。
Eviews输出的检验结果见下表:
由上表可知:ARCH-LM检验结果中LM统计量Obs*R-squared值的P值小于显著性水平0.05,拒绝原假设,认为残差存在ARCH效应。
4.利用GARCH(1,1)模型进行波动率估计
建立GARCH(1,1)模型,具体的输出结果见下表。可知,GARCH(1,1)模型的各项参数在5%的置信水平下都显著不为零。GARCH效应显著。 + =0.971468<1,符合平稳性条件。同时对拟合后方程的残差序列进行自相关性检验,发现不存在条件异方差。
5.基于GARCH(1,1)模型的权证定价
本文采用标的股票中国石化2006年1月4日至2009年9月30日的日收益率序列估计GARCH模型的参数,然后应用该模型对标的股票在未来10个交易日里的收益波动率进行预测。
将上述预测参数结果代入GARCH模型公式:
σt2=α0+α1ε2t-1+β1ε2t-1
预测使用的第t期(具体到本文即9月1日)的收益波动率通常应用历史波动率法计算得到。然后根据上述公式预测下一期的波动率,以此类推。
利用GARCH模型对股票收益波动率进行预测之后,可将预测值代入Black-Scholes公式,从而对股票期权进行定价。
(四)基于HV模型的权证定价
历史波动性(简写为HV),基本假设是相信过去的波动性会延续到未来,且不会产生大幅变动,因此,用过去资料计算而得的波动性可视为未来的股价波动性。计算历史波动性时,应先决定观察的期间及观察值个数,观察值的数目越多虽有助于估计值的准确性,但却不宜使用太旧的资料。本文选择最近100个交易日的收盘价格,计算历史波动率。
■t2=■■(r■-■)■,其中,rt=1n(Xt/Xt-1)
注意这里的σt2与B-S模型中的波动率并不等同,需要将其转化成年化价格波动率。转化关系:σ=■t■
将计算出的事实波动率代入B-S公式,得出基于历史波动率的权证理论价格。
计算时需要注意的问题:(1)B-S模型计算时用的无风险利率为连续复利形式,即:r=1n(1+r0),其中,r0为一年期定期存款利率。本文r0=2.25%,r=2.23%。(2)期权有效期T应折合成年数来表示,即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为t天,则T=t/365。
四、权证定价的实证结果及分析
(一)实证结果
结合以上两种模型计算出的权证理论价格和实际权证价格对比见表3:
根据表3的数据,得到图4。
从表3可以看出,权证的市场价格与理论价格的差值均为正值,也就是说,权证实际市场价格要高于由两个模型计算出来的理论价格。
再从定量的角度来分析定价模型的定价能力。为了验证上述定价方法的有效性,本文使用平均偏离度(Average Tracking Difference)作为检验模型定价有效性的依据。
其计算公式如下:
偏度百分比:ηt=■
其中,X■表示第t期市场价格, X0表示当期理论价格。
用几何平均数反映平均偏离百分比:η=(■ηt)1/n
通过计算可知,基于GARCH(1,1)模型定价的平均偏离度为: 73.63%
基于历史波动率的B-S定价平均偏离度为: 84.04%
由图4看出:GARCH模型计算的权证理论价格显著优于历史波动下计算的理论价格,但是同时发现,两者和市场价格比较,都有着较大的差异,石化权证价格存在明显的高估现象,存在比较严重的市场投机,不利于我国金融衍生产品市场的健康发展。分析产生差异的制度原因对改进和完善我国的资本市场,促进金融衍生品市场的发展具有重要的意义。
(二)结果差异分析
1.虽然采取了和期权一样的方法对石化权证进行定价,但是,它并不是真正的期权产品,而是由公司所发行的认购权证,在发行量上是有限的,其价格容易因为供求关系而被人为操纵。而真正的期权在发行量上是无限的,即只要有需求,便能以某个价格购买到,就很难被人为操纵。
2.建立模型的假设直接影响到定价结果的准确性。由于我国股市不允许卖空,所以投资者不能有效实施套利。卖空机制的存在客观上能产生一种“价格发现”机制,促使股票市场的价格接近实际价值,实现股票市场价格的有效性。在缺乏套利机制的市场中,无法通过市场价格偏高的期权进行卖空而同时买入标的股票来实现无风险套利,进而也就无法因为市场中大多数人的不断卖空而使权证的市场价格回归到其真实价值上去。
3.在B-S定价模型中,假设股价服从对数正态分布,即其收益来服从正态分布。而对中国石化收益率进行正态检验的结果知道,中国石化股票收益率序列显著异于正态分布。
4.在用波动率的GARCH(1,l)模型对权证进行定价时,为了简单起见,对模型进行了简化计算,令公司权益价值的波动率近似等于标的股票的波动率,致使计算结果与市场价格也存在差异。
The empirical test of the petrochemical warrants in the GARCH model
WANG Ya-li,SUN Tao
(Economy and management college, Nanjing aviation and spaceflight university,Nanjing 210016,China)
Abstract: Stock price volatility is characterized by the price of the stock derivatives decisive factor. Black & Scholes assume that the stock price follows geometric Brownian motion, its important on the assumption that volatility is a constant. However, an increasing number of empirical research results show that stock returns were significantly spike thick tail phenomenon, its volatility there exists an obvious time-varying characteristics. Therefore, the relaxation of fluctuations in the rate constant conditions, and examine changes in stock volatility characteristics of the warrants the correct pricing of great significance.
Key words:making a price of the warrants;B-S model; GARCH model