论文部分内容阅读
【摘 要】本文以 2019 年高考立体几何为例，阐述利用矢量叉乘法求解高考数学立体几何题的方法。
【关键词】高中数学 立体几何 矢量叉乘法 学科交叉
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2019）09B-0158-05
矢量叉乘法是高中数学中一个重要的内容，它具有多种用途，可以灵活地解决几何中的许多问题，因此得到许多考生的关注。在此探讨矢量叉乘法在求解高考立体几何题中的具体应用，为读者提供参考。
一、矢量叉乘法介绍（求解平面法向量神器）
设 是某个 a 平面的不共线向量，则该面的法向量可以为：
〖注〗如果考生对物理学的右手螺旋定则了解深刻，那么向量 的方向可以直接由右手螺旋定则确定下来。虽说如此，但也考虑到一些学子对右手螺旋定则了解不深刻，依然能用此法求解数学问题，故先不强调学子对右手螺旋定则掌握。其原因是因为求解出来的法向量还可以根据其对应的一两个坐标的正负来判断向量的指向。
二、空间向量法求解立体几何相关公式
（一）线面角公式
其中， 为直线上的向量， 为平面的法向量，θ 为直线与平面的夹角。
（二）二面角公式
其中， 分别为所求二面角对应面的法向量。并且就对应角而言，法向量方向满足“一进一出”规则，即人为调整法向量的方向，使得一个法向量穿进二面角，另外一个法向量穿出二面角。这样处理的好处是，此时这两个法向量的角就是二面角的平面角。不少同学在调整法向量的方向时也常遇到问题，即不知道如何判断法向量的方向。判断的方法是根据求出的法向量的坐标正负来判断，具体是常用 z 轴方向的坐标来判断，如果不能用 z 轴方向的坐标来判断，那么一般再用 y 轴的坐标正负就可以轻松判断出法向量的指向。
（三）一些常用的解题结论
采用三角形中位线平行底线或平行四边形的对应两条线平行结论来证明一条线平行一个面;采用勾股定理证明线与线相互垂直，便于证明线与面垂直、面与面垂直，也便于建立空间直角坐标系，以求解问题。
三、矢量叉乘法在求解 2019 年高考全国卷理科数学立体几何题中的应用
〖例 1〗（ 2019 年全国高考理科数学试题全国卷 1）如图 1，直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点。
（1）证明：MN∥平面 C1DE;
（2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值。
〖解题深度分析〗第一小问较容易，同时利用三角形中位线和平行四边形来证线面平行。证法中，只要连接 ME，B1C 即可开始证明，其中 ME 是三角形 △BCB1 的中位线，则有 ME 平行且等于 B1C 的一半;又 B1C 与线段 AD 平行且相等，由平行线间的传递性，易知 ME 平行且等于 ND;由平行四边形的判断定理知四边形 DEMN 为平行四边形，然后利用平行四边形的性质定理即可知道 MN 平行 DE;而 DE 在平面 C1DE 内，但 MN 不在平面 C1DE 内，由线面平行判定定理即可知 MN 平行平面 C1DE。第二问的解题就需要求解两个面的法向量，当然如果采用幾何法求解，则会发现所求二面角的平面角辅助线较难画出，故选择采用空间向量法较为简单。但空间向量法又分为基底法和坐标法，如采用坐标法则需要找到三条两两相互垂直的线，本题刚好通过几何分析易发现有三条线两两相互垂直，故较为容易的方法便是坐标法，采用坐标法相对于几何法的优点在于可以将空间想象力转化为代数能力。故坐标法解决大部分同学空间想象能力弱的问题，使立体几何问题的求解得到简化。第二问采用坐标法细节是，利用几何分析可发现几何体的底面是菱形，意味着底面四边形 ABCD 各边均相等。题目又告知角 ∠BAD=60°，连接 BD，由正三角形的判定定理知三角形 △ABD 和△BCD 均是正三角形。又由于点 E 是 BC 中点，由正三角形性质定理可知，DE 垂直 BC;而由菱形性质知 BC 与 AD 是平行的，则 DE 垂直 AD。又柱体是直棱柱，则每一条侧棱都垂直底面，也垂直于底面上的任何一条直线，故 DD1⊥DA、DD1⊥DE、DE⊥DA，则可以取点 D 为坐标原点，以 DA 为 x 轴，以 DE 为 y 轴，以 DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系 D-xyz。然后写出各点坐标，写出对应向量，利用矢量叉乘法将两个面的法向量求解出来，然后利用向量的坐标正负判定向量指向，看是否需要调整向量的方向，然后利用二面角公式求解。
由于笔者在求解和取两平面的法向量时已经对两向量的方向进行控制，上面的两个向量方向相对于所求二面角而言是满足“一进一出”的规则，故此两向量的角便是所求二面角的平面角。设所求二面角的平面角为 θ，由二面角平面角公式得
〖点评〗本题在求解面的法向量时采用了矢量叉乘法求解，其法在实践运算当中，若学子非常熟悉，在所写的行列式当中可以进一步简化，直接利用两向量的坐标对法向量的坐标进行直接求取。具体取法是：将两向量的坐标分行写出排成列，取 x 坐标时，不看两向量的 x 坐标，看两向量的 y 与 z 坐标，然后对四个坐标交叉相乘相减即可获得法向量的 x 坐标;同理获得法向量的 z 坐标;用同样的方法获得 y 坐标时还需在其前面添上一个负号即可获得法向量的 y 坐标。在实践解题当中此法获得法向量的方法比起传统法在时间上得到很大的缩减，因此请阅读本文的教师或者学子去实践去感受。
〖例 2〗（2019 年全国高考理科数学试题全国卷Ⅱ）如图 3（见下页），长方体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1。 （1）证明：BE⊥平面 EB1C1;
（2）若 AE=A1E，求二面角 B-EC-C1 的正弦值。
〖解题深度分析〗第一问证明较容易，属于送分题，由题目给出的长方体知 B1C1 垂直于平面 ABB1A1;又因为 BE 在平面 ABB1A1 内，由线面垂直性质定理知，B1C1 垂直 BE，倒过来就是 BE 垂直 B1C1。题目又告诉我们 BE 垂直 EC1，而 B1C1 与 EC1 均是平面 EB1C1 内的线且两直线相交，由线面垂直判定定理知 BE⊥平面 EB1C1。第二问求解二面角的平面角的正弦值，如果采用几何法求解，发现两个半平面的交线为 EC，很难画出想要的易求解的二面角的平面角。这题如果采用几何法则题目对考生的空间想象能力的考查度相对较高。但题目给出的结构规规矩矩，易建立空间直角坐标系、利用坐标法求解。采用坐标法求解二面角也就必然要面临着求解两个面的法向量问题。本题第二问建系容易，唯一的小插曲就是点的坐标不能直接得出，需要先找到柱体的侧棱与底边的等量关系。这里则需要用到第一小问证明的结果，进而可以利用勾股定理便可以找出侧棱与底边的等量关系。具体是，由第一问知 BE 垂直平面 EB1C1，而 EB1 是平面 EB1C1 内的线，由线面垂直性质定理知 BE 与 EB1 相互垂直，故由勾股定理得 AB2+AE2=BE2，A1E2+AB12=B1E2，BE2+EB12=BB12。又 AE=A1E，AA1=BB1，从而得出 AB=AE。找到侧棱与底边的等量关系后，为了便于求解题目，可以设 AB=AE=1。为了使各点坐标写得较为简单一些也好写一些，取 D 为空间坐标系的原点，以 DA 为 x 轴，以 DC 为 y轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系 D-xyz;写出各点坐标，写出相应的向量，然后利用矢量叉乘法取两个平面的法向量，然后求解题目。
上面的两个向量方向相对于所求二面角而言是满足“一进一出”原则的，设所求二面角的平面角为 θ，由二面角平面角公式得
又因为两面角的平面角大小范围是 θ∈（0°，180°），故 θ=120°，其正弦为 ，所以二面角 B-EC-C1 的正弦值为 。
〖点评〗本题较全国一卷那题立体几何而言更为容易，主要容易在第一小问，第一小问算送分题。第二小问建系也比一卷的容易，建系取点写坐标和向量后均是求解二面角的相同问题，也都涉及同时求解两个平面的法向量。通过解题对比可发现，今年的卷Ⅰ立体几何在第一问及第二问的建系上要难于卷II。
〖例 3〗（2019 年全国高考理科数学试题全国卷III）图 5 是由矩形 ADEB、Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿 AB、BC 折起使得BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 6。
（1）证明：图 6 中的 A、C、G、D 四点共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE;
（2）求图 6 中的二面角 B-CG-A 的大小。
〖解题深度分析〗第一小问依然较为容易，在形成的斜三棱柱中由侧面菱形和矩形的性质，知 CG 平行且等于 BE，而 BE 平行且等于 AD，则可知 CG 平行且等于 AD，即四边形 CGDA 是一个平行四边形。而点 A，C，G，D 是这个平行四边形的四个顶点，可证四点共面。由矩形和直角三角形可知 AB 垂直 BE，AB 垂直 BC;又 BE、BC 相交且均在平面 BCGE 内，由线面垂直判定定理可知，AB 垂直平面 BCGE。又因为 AB 在平面 ABC 内，由面面垂直判定定理便可知平面 ABC⊥平面 BCGE。第二问依然是求解二面角的问题，采用的方法无非就是几何法或向量法，采用几何法发现较难作出满意的所求二面角的一个平面角。因此解题思路转向向量法，但发现本题的向量法采用坐标法时，坐标的建立对学子而言有些难度，即不能那么直观地建系。通过分析，由第一小问获得的结论平面 ABC⊥平面 BCGE，其中 AB 垂直 BC，则可以用 BC 作为 x 轴，BA 作为 y 轴。如果这样建系那么还少 z 轴。按照这样建系，z 轴只能是由 B 点立起来，发现如此建系不利于各点的坐标写出。此时发现不如过点 E 对 BC 线作高，设高线与 BC 的交点为 H，则此时以 H 为建系原点，以 HC 为 x 轴，以 H 点处做平行 AB 线的线作为 y 轴，以 HD 作为 z 轴，那么所需的空间系便建立好了。由几何等量关系便可写出各点坐标，进而写出相关向量，求出两个面的法向量，然后利用二面角公式求解。在实践中，采用坐标法，不少同学感觉较为别扭，那么有沒有不建系的方法求解二面角的大小呢？答案也是肯定的，其实发现较为直接的是向量 、、 三者的模及两两间的角都是已知的，如果采用基底法求解那么思路将更加顺畅。本题笔者将同时给出坐标法中的叉乘法求解和基底法求解。
又因为两面角的平面角大小范围是 θ∈（0°，180°），则 θ=30°，所以二面角 B-CG-A 的大小为 30°。
〖点评〗本题运用了坐标法，其中坐标法解题中在求解面的法向量时采用矢量叉乘法。在采用坐标法解题时，发现本题的难点在于建系较难和建系后点的坐标求解较难。这两点给考生一致的感觉就是题目别扭，使得不少学子在解题过程中对建系和写坐标花费较多时间，并且如果在求解法向量时采用传统求解法时间将消耗更多。本题稍微人性化的地方是平面的法向量不需要求解两个，其中一个面的法向量易得。总体而言，相比全国卷Ⅰ和卷Ⅱ的立体几何，显然全国卷III的立体几何题难度更大。如果本题采用基底法求解，那么好处是各基底能直接看出，并且各基底间的关系也都清楚，但基底法求解的不足之处在于后续的计算量非常庞大，在时间上给考生带来考验同时由于计算量大不少同学采用基底法求解的时候容易导致错误。
四、反思
笔者研究发现，矢量叉乘法在解决各高考理科立体几何试题方面依然发挥巨大的作用，考虑到篇幅问题，这里不再展开。从矢量叉乘法在 2019 年高考理科数学立体几何中的解题应用来看，全国卷Ⅰ、卷Ⅱ、卷III均适用此法求解，并且此法的熟练运用可以极大地减少考生在求解平面法向量时的宝贵时间。对全国三套卷的对比深度分析及求解实践，发现全国卷III的立体几何题难度最大，其次是全国卷Ⅰ，最为容易是全国卷Ⅱ。本文在求解全国卷III时同时给出了坐标法及基底法求解，通过对比，采用坐标法求解时，难点在建系和求解点的坐标，一旦成功建系和求解得到点的坐标，往下便较为好求，此法计算量较小，但思维难度大;而采用基底法求解时，优点是基底已经清楚并且直接给出各基底间的关系，解题思路简单，但缺点是后续计算量大，易错。
本文对矢量叉乘法在今年高考理科数学立体几何中的解题应用研究，对比坐标法中求解法向量的常规方法及矢量叉乘法求解。笔者发现众多学子均感觉使用矢量叉乘法求解数学立体几何题更方便。这里也请阅研本文的教师或同学去实践，去具体感受其方法的妙处，也希望此法能给后面参加高考的学子带去一点点感悟和参考。同时看出近年来全国高考数学试题的设题背景由最初的纯数学逐步向各个学科延伸，可预测在题目的综合度上将由最初的章节间的综合逐步提高到学科交叉间的综合，也望学子更多强化自身学科交叉间的综合能力提升。
【参考文献】
[1]杨婷燕.浅谈用向量法解立体几何中的探索性问题[J].中学数学教学，2009（03）
[2]方孝钏.非坐标形式的向量法解高考立体几何题的尝试与思考[J].中学数学教学参考，2010（06）（上旬）
[3]徐晓宇，屈黎明.向量法解立体几何题的点坐标求法——2017年高考浙江卷立体几何解答题的方法总结[J].数学教学，2018（8）
[4]孔凡瑜.向量法解高考立体几何试题[J].中学数学（高中），2002（3）
【作者简介】杨承翰，男，大学本科，高中数学教师，高中物理奥林匹克竞赛教练员，高中全国数学联赛教练员。研究方向：高考数学、高中数学联赛、高中物理奥林匹克竞赛。
【关键词】高中数学 立体几何 矢量叉乘法 学科交叉
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2019）09B-0158-05
矢量叉乘法是高中数学中一个重要的内容，它具有多种用途，可以灵活地解决几何中的许多问题，因此得到许多考生的关注。在此探讨矢量叉乘法在求解高考立体几何题中的具体应用，为读者提供参考。
一、矢量叉乘法介绍（求解平面法向量神器）
设 是某个 a 平面的不共线向量，则该面的法向量可以为：
〖注〗如果考生对物理学的右手螺旋定则了解深刻，那么向量 的方向可以直接由右手螺旋定则确定下来。虽说如此，但也考虑到一些学子对右手螺旋定则了解不深刻，依然能用此法求解数学问题，故先不强调学子对右手螺旋定则掌握。其原因是因为求解出来的法向量还可以根据其对应的一两个坐标的正负来判断向量的指向。
二、空间向量法求解立体几何相关公式
（一）线面角公式
其中， 为直线上的向量， 为平面的法向量，θ 为直线与平面的夹角。
（二）二面角公式
其中， 分别为所求二面角对应面的法向量。并且就对应角而言，法向量方向满足“一进一出”规则，即人为调整法向量的方向，使得一个法向量穿进二面角，另外一个法向量穿出二面角。这样处理的好处是，此时这两个法向量的角就是二面角的平面角。不少同学在调整法向量的方向时也常遇到问题，即不知道如何判断法向量的方向。判断的方法是根据求出的法向量的坐标正负来判断，具体是常用 z 轴方向的坐标来判断，如果不能用 z 轴方向的坐标来判断，那么一般再用 y 轴的坐标正负就可以轻松判断出法向量的指向。
（三）一些常用的解题结论
采用三角形中位线平行底线或平行四边形的对应两条线平行结论来证明一条线平行一个面;采用勾股定理证明线与线相互垂直，便于证明线与面垂直、面与面垂直，也便于建立空间直角坐标系，以求解问题。
三、矢量叉乘法在求解 2019 年高考全国卷理科数学立体几何题中的应用
〖例 1〗（ 2019 年全国高考理科数学试题全国卷 1）如图 1，直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点。
（1）证明：MN∥平面 C1DE;
（2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值。
〖解题深度分析〗第一小问较容易，同时利用三角形中位线和平行四边形来证线面平行。证法中，只要连接 ME，B1C 即可开始证明，其中 ME 是三角形 △BCB1 的中位线，则有 ME 平行且等于 B1C 的一半;又 B1C 与线段 AD 平行且相等，由平行线间的传递性，易知 ME 平行且等于 ND;由平行四边形的判断定理知四边形 DEMN 为平行四边形，然后利用平行四边形的性质定理即可知道 MN 平行 DE;而 DE 在平面 C1DE 内，但 MN 不在平面 C1DE 内，由线面平行判定定理即可知 MN 平行平面 C1DE。第二问的解题就需要求解两个面的法向量，当然如果采用幾何法求解，则会发现所求二面角的平面角辅助线较难画出，故选择采用空间向量法较为简单。但空间向量法又分为基底法和坐标法，如采用坐标法则需要找到三条两两相互垂直的线，本题刚好通过几何分析易发现有三条线两两相互垂直，故较为容易的方法便是坐标法，采用坐标法相对于几何法的优点在于可以将空间想象力转化为代数能力。故坐标法解决大部分同学空间想象能力弱的问题，使立体几何问题的求解得到简化。第二问采用坐标法细节是，利用几何分析可发现几何体的底面是菱形，意味着底面四边形 ABCD 各边均相等。题目又告知角 ∠BAD=60°，连接 BD，由正三角形的判定定理知三角形 △ABD 和△BCD 均是正三角形。又由于点 E 是 BC 中点，由正三角形性质定理可知，DE 垂直 BC;而由菱形性质知 BC 与 AD 是平行的，则 DE 垂直 AD。又柱体是直棱柱，则每一条侧棱都垂直底面，也垂直于底面上的任何一条直线，故 DD1⊥DA、DD1⊥DE、DE⊥DA，则可以取点 D 为坐标原点，以 DA 为 x 轴，以 DE 为 y 轴，以 DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系 D-xyz。然后写出各点坐标，写出对应向量，利用矢量叉乘法将两个面的法向量求解出来，然后利用向量的坐标正负判定向量指向，看是否需要调整向量的方向，然后利用二面角公式求解。
由于笔者在求解和取两平面的法向量时已经对两向量的方向进行控制，上面的两个向量方向相对于所求二面角而言是满足“一进一出”的规则，故此两向量的角便是所求二面角的平面角。设所求二面角的平面角为 θ，由二面角平面角公式得
〖点评〗本题在求解面的法向量时采用了矢量叉乘法求解，其法在实践运算当中，若学子非常熟悉，在所写的行列式当中可以进一步简化，直接利用两向量的坐标对法向量的坐标进行直接求取。具体取法是：将两向量的坐标分行写出排成列，取 x 坐标时，不看两向量的 x 坐标，看两向量的 y 与 z 坐标，然后对四个坐标交叉相乘相减即可获得法向量的 x 坐标;同理获得法向量的 z 坐标;用同样的方法获得 y 坐标时还需在其前面添上一个负号即可获得法向量的 y 坐标。在实践解题当中此法获得法向量的方法比起传统法在时间上得到很大的缩减，因此请阅读本文的教师或者学子去实践去感受。
〖例 2〗（2019 年全国高考理科数学试题全国卷Ⅱ）如图 3（见下页），长方体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1。 （1）证明：BE⊥平面 EB1C1;
（2）若 AE=A1E，求二面角 B-EC-C1 的正弦值。
〖解题深度分析〗第一问证明较容易，属于送分题，由题目给出的长方体知 B1C1 垂直于平面 ABB1A1;又因为 BE 在平面 ABB1A1 内，由线面垂直性质定理知，B1C1 垂直 BE，倒过来就是 BE 垂直 B1C1。题目又告诉我们 BE 垂直 EC1，而 B1C1 与 EC1 均是平面 EB1C1 内的线且两直线相交，由线面垂直判定定理知 BE⊥平面 EB1C1。第二问求解二面角的平面角的正弦值，如果采用几何法求解，发现两个半平面的交线为 EC，很难画出想要的易求解的二面角的平面角。这题如果采用几何法则题目对考生的空间想象能力的考查度相对较高。但题目给出的结构规规矩矩，易建立空间直角坐标系、利用坐标法求解。采用坐标法求解二面角也就必然要面临着求解两个面的法向量问题。本题第二问建系容易，唯一的小插曲就是点的坐标不能直接得出，需要先找到柱体的侧棱与底边的等量关系。这里则需要用到第一小问证明的结果，进而可以利用勾股定理便可以找出侧棱与底边的等量关系。具体是，由第一问知 BE 垂直平面 EB1C1，而 EB1 是平面 EB1C1 内的线，由线面垂直性质定理知 BE 与 EB1 相互垂直，故由勾股定理得 AB2+AE2=BE2，A1E2+AB12=B1E2，BE2+EB12=BB12。又 AE=A1E，AA1=BB1，从而得出 AB=AE。找到侧棱与底边的等量关系后，为了便于求解题目，可以设 AB=AE=1。为了使各点坐标写得较为简单一些也好写一些，取 D 为空间坐标系的原点，以 DA 为 x 轴，以 DC 为 y轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系 D-xyz;写出各点坐标，写出相应的向量，然后利用矢量叉乘法取两个平面的法向量，然后求解题目。
上面的两个向量方向相对于所求二面角而言是满足“一进一出”原则的，设所求二面角的平面角为 θ，由二面角平面角公式得
又因为两面角的平面角大小范围是 θ∈（0°，180°），故 θ=120°，其正弦为 ，所以二面角 B-EC-C1 的正弦值为 。
〖点评〗本题较全国一卷那题立体几何而言更为容易，主要容易在第一小问，第一小问算送分题。第二小问建系也比一卷的容易，建系取点写坐标和向量后均是求解二面角的相同问题，也都涉及同时求解两个平面的法向量。通过解题对比可发现，今年的卷Ⅰ立体几何在第一问及第二问的建系上要难于卷II。
〖例 3〗（2019 年全国高考理科数学试题全国卷III）图 5 是由矩形 ADEB、Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿 AB、BC 折起使得BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 6。
（1）证明：图 6 中的 A、C、G、D 四点共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE;
（2）求图 6 中的二面角 B-CG-A 的大小。
〖解题深度分析〗第一小问依然较为容易，在形成的斜三棱柱中由侧面菱形和矩形的性质，知 CG 平行且等于 BE，而 BE 平行且等于 AD，则可知 CG 平行且等于 AD，即四边形 CGDA 是一个平行四边形。而点 A，C，G，D 是这个平行四边形的四个顶点，可证四点共面。由矩形和直角三角形可知 AB 垂直 BE，AB 垂直 BC;又 BE、BC 相交且均在平面 BCGE 内，由线面垂直判定定理可知，AB 垂直平面 BCGE。又因为 AB 在平面 ABC 内，由面面垂直判定定理便可知平面 ABC⊥平面 BCGE。第二问依然是求解二面角的问题，采用的方法无非就是几何法或向量法，采用几何法发现较难作出满意的所求二面角的一个平面角。因此解题思路转向向量法，但发现本题的向量法采用坐标法时，坐标的建立对学子而言有些难度，即不能那么直观地建系。通过分析，由第一小问获得的结论平面 ABC⊥平面 BCGE，其中 AB 垂直 BC，则可以用 BC 作为 x 轴，BA 作为 y 轴。如果这样建系那么还少 z 轴。按照这样建系，z 轴只能是由 B 点立起来，发现如此建系不利于各点的坐标写出。此时发现不如过点 E 对 BC 线作高，设高线与 BC 的交点为 H，则此时以 H 为建系原点，以 HC 为 x 轴，以 H 点处做平行 AB 线的线作为 y 轴，以 HD 作为 z 轴，那么所需的空间系便建立好了。由几何等量关系便可写出各点坐标，进而写出相关向量，求出两个面的法向量，然后利用二面角公式求解。在实践中，采用坐标法，不少同学感觉较为别扭，那么有沒有不建系的方法求解二面角的大小呢？答案也是肯定的，其实发现较为直接的是向量 、、 三者的模及两两间的角都是已知的，如果采用基底法求解那么思路将更加顺畅。本题笔者将同时给出坐标法中的叉乘法求解和基底法求解。
又因为两面角的平面角大小范围是 θ∈（0°，180°），则 θ=30°，所以二面角 B-CG-A 的大小为 30°。
〖点评〗本题运用了坐标法，其中坐标法解题中在求解面的法向量时采用矢量叉乘法。在采用坐标法解题时，发现本题的难点在于建系较难和建系后点的坐标求解较难。这两点给考生一致的感觉就是题目别扭，使得不少学子在解题过程中对建系和写坐标花费较多时间，并且如果在求解法向量时采用传统求解法时间将消耗更多。本题稍微人性化的地方是平面的法向量不需要求解两个，其中一个面的法向量易得。总体而言，相比全国卷Ⅰ和卷Ⅱ的立体几何，显然全国卷III的立体几何题难度更大。如果本题采用基底法求解，那么好处是各基底能直接看出，并且各基底间的关系也都清楚，但基底法求解的不足之处在于后续的计算量非常庞大，在时间上给考生带来考验同时由于计算量大不少同学采用基底法求解的时候容易导致错误。
四、反思
笔者研究发现，矢量叉乘法在解决各高考理科立体几何试题方面依然发挥巨大的作用，考虑到篇幅问题，这里不再展开。从矢量叉乘法在 2019 年高考理科数学立体几何中的解题应用来看，全国卷Ⅰ、卷Ⅱ、卷III均适用此法求解，并且此法的熟练运用可以极大地减少考生在求解平面法向量时的宝贵时间。对全国三套卷的对比深度分析及求解实践，发现全国卷III的立体几何题难度最大，其次是全国卷Ⅰ，最为容易是全国卷Ⅱ。本文在求解全国卷III时同时给出了坐标法及基底法求解，通过对比，采用坐标法求解时，难点在建系和求解点的坐标，一旦成功建系和求解得到点的坐标，往下便较为好求，此法计算量较小，但思维难度大;而采用基底法求解时，优点是基底已经清楚并且直接给出各基底间的关系，解题思路简单，但缺点是后续计算量大，易错。
本文对矢量叉乘法在今年高考理科数学立体几何中的解题应用研究，对比坐标法中求解法向量的常规方法及矢量叉乘法求解。笔者发现众多学子均感觉使用矢量叉乘法求解数学立体几何题更方便。这里也请阅研本文的教师或同学去实践，去具体感受其方法的妙处，也希望此法能给后面参加高考的学子带去一点点感悟和参考。同时看出近年来全国高考数学试题的设题背景由最初的纯数学逐步向各个学科延伸，可预测在题目的综合度上将由最初的章节间的综合逐步提高到学科交叉间的综合，也望学子更多强化自身学科交叉间的综合能力提升。
【参考文献】
[1]杨婷燕.浅谈用向量法解立体几何中的探索性问题[J].中学数学教学，2009（03）
[2]方孝钏.非坐标形式的向量法解高考立体几何题的尝试与思考[J].中学数学教学参考，2010（06）（上旬）
[3]徐晓宇，屈黎明.向量法解立体几何题的点坐标求法——2017年高考浙江卷立体几何解答题的方法总结[J].数学教学，2018（8）
[4]孔凡瑜.向量法解高考立体几何试题[J].中学数学（高中），2002（3）
【作者简介】杨承翰，男，大学本科，高中数学教师，高中物理奥林匹克竞赛教练员，高中全国数学联赛教练员。研究方向：高考数学、高中数学联赛、高中物理奥林匹克竞赛。