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摘 要：在教育的各个阶段都有数学，无论是中小学还是大学，数学都是学生必须要学习的学科。在初中阶段如果学生掌握了良好的数学学习方法，对今后高中数学学习是非常有利的。而在数学学习中最主要的思维方式是数形结合思想，这是学习数学学科的重点。其可以发散学生的思维，提高学生学习效率，促进学生全面发展。基于此，文章首先简单介绍了数形结合思想，然后分析了在初中数学解题中应用数形结合思想的重要性，最后提出了数形结合思想在初中数学解题中的具体应用。
关键词：数形结合思想;初中数学解题;应用
一、 引言
在初中数学学习中必须要优先掌握数学学科的特性，数学学科重视逻辑性。所以在学习中必须要采用适合的学习方式，这样才可以便于学生学习数学。初中数学已经涉及函数概念，函数是相当复杂的，若不能采用适合的方法学习，必定有很大的难度。因此，在这种情况下，初中数学教师应该引导学生在解题中应用数形结合思想。数形结合，简单来说，是指在数学学习中利用特定的关联将有关数字用图像进行表示，在图像绘制出来后，就可以利用图像发现解题方式，进而高效解题。
二、 数形结合思想的简介
数学学习的重点是有效的思维方式。在数学学习中普遍采用的思维方式是数形结合。其将数量与图形问题进行有机结合，实现二者之间的彼此转换。对于初中数学来讲，数量问题有很多。比如：函数问题以及代数问题等。图形包括立体几何图形以及抛物线等。对数学问题进行解决时，使数学问题从抽象变成具体的图形问题。例如：当碰到函数问题时，学生能够利用数形结合实现使抛物线变成二元一次方程的形式，使“形”变成“数”。又例如：对某条河流的水位变化实际走向问题进行分析时，可以在各个时间将水位测量值详细记录下来，通过坐标图的形式进行展示，將“数”变成“形”。由此不难发现，在初中数学中应用数形结合思想，可以帮助学生迅速将问题求解出来。
此外，数形结合实践中数和形转化的途径有多种，主要包括以下几点：第一，利用构建坐标系来明确数量关系，以准确解题。比如：对方程组问题进行解决时，已知两个方面，要求学生求解不同字母之间的关系，就必须要根据图形来思考问题，以免出现考虑不全面的情况。第二，利用对题目中已知的条件进行仔细分析，转变解题思路，以高效解题。比如：对不等式问题进行求解时，不可以随意地分类探讨，必须要结合题目中已知条件，绘制出可以迅速观察的图形，以在解题中运用数形结合的思想。第三，利用题目中已知的条件可以明确对应的函数图形，使学生在较短的时间内准确解题。比如：就给出的曲线以及直线的方程式来讲，而且其有两个不同的交点，要求学生将实数a的取值范围求解出来。必须要结合题目中已知的代数式将图形绘制出来，以充分理解解题的重点，而且及时将直线和曲线相切的临界点准确发现。
三、 在初中数学解题中应用数形结合思想的重要性
相对于公式和文字的描述而言，图形具有很强的直观性。多数情况下，初中生面对这些题目，由于文字偏多就有可能出现思维混乱的情况，造成将题意理解错误，也不知道需要考查的知识点有哪些。虽然已经掌握此知识点，然而由于不能准确认识题目，造成解题错误。就图形来讲，将复杂的公式以及文字转换成数学图形，就更加方便学生理解和掌握。因此，作为初中生，在数学学习中必须要具备一定的图形认知能力，才可以科学应用数形结合思想。比如：就函数方程来看，部分学生只要看到方程，便马上解题，没有设置变量，依方程变化解答。然而此思路也有可能进入陷阱，如果其发现到了误区，已经采用多种方式，造成难以完全抽身，也不能确定此题的解题方式究竟是哪个知识点，导致浪费宝贵的时间。那么在这种情况下，初中数学教师必须要正确引导学生，鼓励学生从不同的方面来分析问题，比如：图形以及方程等，准确认识到题目考查的知识点，利用比较直观的观察，使复杂的方程变得简单，以减少解答时间，提高解答的准确性。在初中数学解题中应用数形结合思想，不只是解答题目而已，更是将不同题目的解题思路讲授给学生。在将来的学习中，不管学生碰到什么题目，都可以灵活应对，发现重点将问题以最快的速度准确解答。因此，在初中数学解题中应用数形结合思想有着极其重要的意义，不仅可以帮助正确学生解题，提高解题效率，而且培养学生解题能力和分析问题能力，为学生获得良好的考试成绩奠定坚实的基础。
四、 数形结合思想在初中数学解题中的具体应用
在初中数学解题中数形结合的方法主要有以下几种：第一，数化形。利用对题目中已知的条件进行分析，将对应的图形画出来，而且在图上将已知条件以及要求的各个问题都标注出来。以在图中标注的有关的数量条件来解题，可以避免解题错误，提高解题的正确率。第二，由形化数。利用对题目中已知的图形进行仔细观察且分析，发现数量关系，并且根据几何图形的特征来分析，获取解题思路。第三，数形相互转换。利用数形的相互转换，使学生可以结合图形的特征发现数量关系式，再根据已知的代数结构式不断优化图形，以发现更多的数量关系。下面详细介绍了这些数形结合方法在初中解题中的具体应用：
（一）以“数”解“形”
就初中数学来讲，“形”具有显著的优势，比如：直观以及形象等，不管什么事物，都具有正反两面，“形”的不足之处是其并非十分的精准，如果有些图形非常简单，直接观察是很难得出规律，这时必须要利用代数进行分析计算。
【例1】 求解直线y=x-2和抛物线y=x2 2x-2的交点坐标。
分析：在平面直角坐标系中将直线和抛物线的草图大概画出来，这样就能够发现两个图像有两个不同的交点，一个交点在第三象限，另一个交点在第四象限，然而不能对点的实际坐标进行确定，图形比较直观，却不是非常的精确。那么，究竟怎样将此交点的坐标求解出来呢？利用“数”可以将这个问题有效解决。因为交点既在直线上，又在抛物线上，这样交点坐标既满足直线的解析式，又满足抛物线的解析式，就可以将交点的横坐标以及纵坐标作为直线以及抛物线解析式联合成立的方程组的解，进而实现以“数”解“形”解决问题的根本目标。此题可以全面展现以“数”解“形”，可以利用代数对图形的缺陷进行有效弥补。 解答：联立方程组，也就是y=x-2y=x2 2x-2，解得x1=0y1=-2，x2=-1y2=-3，所以可以得出，交点坐标一个是（0，-2），另一个坐标是（-1，3）。
从例1中可以发现，利用“数”将“形”问题解决具有很高的精准性，而且有定量作用。
（二）以“形”助力“数”
很多数量关系都是相当抽象的，学生很难准确把握，而“形”也具有很多优势，比如：直观以及形象等，可以将一些具体思维充分映射出来，在解题中发挥着至关重要的定性作用。结合解决问题的实际需求，可以将数量关系的问题变成图形性质的问题进行探讨，也就是将抽象的“数”结构和形象的“形”结构相联系，将抽象转变成直观，利用探究图形，往往可以找到问题的隐含条件，将一些解题线索诱发，让求解过程更加的直观、简单和便捷。
【例2】 求解不等式x-1≥-x2 2x 1。
分析：因为初中生从未求解一元二次不等式，这时可以通过图像法将该类型问题解决，使y1=x-1，y2=-x2 2x 1，再在相同坐标系中将函数y1以及y2的图像都画出来，凡是满足函数y1在y2上面相应的范围，即这个不等式的解集，所以对这个不等式进行求解时，首先必须要將函数y1交点（2，1）和y2交点（-1，-2）求解出来，再仔细观察图像，最后获得结论，也就是x≤2或者是x≥-1。
（三）“数”“形”互相变化
在很多数学问题中不只是单纯地以“数”变“形”，也不是以“形”变“数”，而是必须要将“数”和“形”相互转换，这就需求学生不只是要思考从直观的“形”变成严密的“数”，也要从严密的“数”联系到直观的“形”。将该类型问题进行解决时必须要同一时间以已知以及结论为切入点，科学分析发现“数”和“形”的相互转变。
【例3】 在数学活动中，小明为了将12 14 18 … 12n，其设计出边长是1的正方形纸片，而且用各种标记将正方形面积的12，14，18清楚标注出来，要求结合你已经了解的数形结合思想，推理出如果n是正整数，12 14 18 … 12n的最终结果，其中，可以用n进行表示。
分析：若直接对12 14 18 … 12n进行求解，对多数初中生而言都是相当困难的，这时可以尝试着在解决问题中合理运用数形结合思想。可以从这个角度进行理解，使用剪刀将该正方形纸片剪下来，第一次将该纸片的一半剪下来，那么正方形剩下的面积即12，第二次将剩下图形的一半剪下来，获取的图形面积即14，第三次将前面那次剩下的图形剪出一半，获取的图形面积即18，也就是每次都将上次裁剪剩下的面积剪去一半，这样在第n次裁剪以后获取的图形面积即12n，将所有裁剪的图像面积加起来，这样就可以求出其最后的值是1-12n。
五、 结语
总而言之，在初中数学解题中教师必须要正确引导学生采用适合的方法，争取在最短的时间内将问题准确解答出来，只有这样才可以让学生在平时学习和测试中节省出更多的时间用于学习其他的知识。而在数学解题中合理应用数形结合思想，可以使抽象的数学概念变成直观的图形，这样在很大程度上使学生容易理解，减少学习难度，提高学习效率。
参考文献：
[1]罗彩萍.探究数形结合思想在初中数学解题过程中的应用[J].科学咨询：教育科研，2020（5）：162.
[2]陈龙祥.数形结合在初中数学解题中的应用[C].四川省科教创客研究会、四川科幻世界杂志社有限公司.2020科教创新学术研讨会论文集（第二辑）.四川省科教创客研究会、四川科幻世界杂志社有限公司：四川省科教创客研究会，2020：210-211.
[3]郝智娟.数形结合思想在初中数学解题中的应用初探[C].广西写作学会教学研究专业委员会.2019年广西写作学会教学研究专业委员会教师教育论坛资料汇编（一）.广西写作学会教学研究专业委员会：广西写作学会教学研究专业委员会，2019：163-165.
[4]宋英海.数形结合思想在初中数学解题中的应用[J].山西师范大学学报（自然科学版），2015，29（S1）：16-17.
作者简介：
李月云，江苏省南京市，南京市江宁区汤山中学。
关键词：数形结合思想;初中数学解题;应用
一、 引言
在初中数学学习中必须要优先掌握数学学科的特性，数学学科重视逻辑性。所以在学习中必须要采用适合的学习方式，这样才可以便于学生学习数学。初中数学已经涉及函数概念，函数是相当复杂的，若不能采用适合的方法学习，必定有很大的难度。因此，在这种情况下，初中数学教师应该引导学生在解题中应用数形结合思想。数形结合，简单来说，是指在数学学习中利用特定的关联将有关数字用图像进行表示，在图像绘制出来后，就可以利用图像发现解题方式，进而高效解题。
二、 数形结合思想的简介
数学学习的重点是有效的思维方式。在数学学习中普遍采用的思维方式是数形结合。其将数量与图形问题进行有机结合，实现二者之间的彼此转换。对于初中数学来讲，数量问题有很多。比如：函数问题以及代数问题等。图形包括立体几何图形以及抛物线等。对数学问题进行解决时，使数学问题从抽象变成具体的图形问题。例如：当碰到函数问题时，学生能够利用数形结合实现使抛物线变成二元一次方程的形式，使“形”变成“数”。又例如：对某条河流的水位变化实际走向问题进行分析时，可以在各个时间将水位测量值详细记录下来，通过坐标图的形式进行展示，將“数”变成“形”。由此不难发现，在初中数学中应用数形结合思想，可以帮助学生迅速将问题求解出来。
此外，数形结合实践中数和形转化的途径有多种，主要包括以下几点：第一，利用构建坐标系来明确数量关系，以准确解题。比如：对方程组问题进行解决时，已知两个方面，要求学生求解不同字母之间的关系，就必须要根据图形来思考问题，以免出现考虑不全面的情况。第二，利用对题目中已知的条件进行仔细分析，转变解题思路，以高效解题。比如：对不等式问题进行求解时，不可以随意地分类探讨，必须要结合题目中已知条件，绘制出可以迅速观察的图形，以在解题中运用数形结合的思想。第三，利用题目中已知的条件可以明确对应的函数图形，使学生在较短的时间内准确解题。比如：就给出的曲线以及直线的方程式来讲，而且其有两个不同的交点，要求学生将实数a的取值范围求解出来。必须要结合题目中已知的代数式将图形绘制出来，以充分理解解题的重点，而且及时将直线和曲线相切的临界点准确发现。
三、 在初中数学解题中应用数形结合思想的重要性
相对于公式和文字的描述而言，图形具有很强的直观性。多数情况下，初中生面对这些题目，由于文字偏多就有可能出现思维混乱的情况，造成将题意理解错误，也不知道需要考查的知识点有哪些。虽然已经掌握此知识点，然而由于不能准确认识题目，造成解题错误。就图形来讲，将复杂的公式以及文字转换成数学图形，就更加方便学生理解和掌握。因此，作为初中生，在数学学习中必须要具备一定的图形认知能力，才可以科学应用数形结合思想。比如：就函数方程来看，部分学生只要看到方程，便马上解题，没有设置变量，依方程变化解答。然而此思路也有可能进入陷阱，如果其发现到了误区，已经采用多种方式，造成难以完全抽身，也不能确定此题的解题方式究竟是哪个知识点，导致浪费宝贵的时间。那么在这种情况下，初中数学教师必须要正确引导学生，鼓励学生从不同的方面来分析问题，比如：图形以及方程等，准确认识到题目考查的知识点，利用比较直观的观察，使复杂的方程变得简单，以减少解答时间，提高解答的准确性。在初中数学解题中应用数形结合思想，不只是解答题目而已，更是将不同题目的解题思路讲授给学生。在将来的学习中，不管学生碰到什么题目，都可以灵活应对，发现重点将问题以最快的速度准确解答。因此，在初中数学解题中应用数形结合思想有着极其重要的意义，不仅可以帮助正确学生解题，提高解题效率，而且培养学生解题能力和分析问题能力，为学生获得良好的考试成绩奠定坚实的基础。
四、 数形结合思想在初中数学解题中的具体应用
在初中数学解题中数形结合的方法主要有以下几种：第一，数化形。利用对题目中已知的条件进行分析，将对应的图形画出来，而且在图上将已知条件以及要求的各个问题都标注出来。以在图中标注的有关的数量条件来解题，可以避免解题错误，提高解题的正确率。第二，由形化数。利用对题目中已知的图形进行仔细观察且分析，发现数量关系，并且根据几何图形的特征来分析，获取解题思路。第三，数形相互转换。利用数形的相互转换，使学生可以结合图形的特征发现数量关系式，再根据已知的代数结构式不断优化图形，以发现更多的数量关系。下面详细介绍了这些数形结合方法在初中解题中的具体应用：
（一）以“数”解“形”
就初中数学来讲，“形”具有显著的优势，比如：直观以及形象等，不管什么事物，都具有正反两面，“形”的不足之处是其并非十分的精准，如果有些图形非常简单，直接观察是很难得出规律，这时必须要利用代数进行分析计算。
【例1】 求解直线y=x-2和抛物线y=x2 2x-2的交点坐标。
分析：在平面直角坐标系中将直线和抛物线的草图大概画出来，这样就能够发现两个图像有两个不同的交点，一个交点在第三象限，另一个交点在第四象限，然而不能对点的实际坐标进行确定，图形比较直观，却不是非常的精确。那么，究竟怎样将此交点的坐标求解出来呢？利用“数”可以将这个问题有效解决。因为交点既在直线上，又在抛物线上，这样交点坐标既满足直线的解析式，又满足抛物线的解析式，就可以将交点的横坐标以及纵坐标作为直线以及抛物线解析式联合成立的方程组的解，进而实现以“数”解“形”解决问题的根本目标。此题可以全面展现以“数”解“形”，可以利用代数对图形的缺陷进行有效弥补。 解答：联立方程组，也就是y=x-2y=x2 2x-2，解得x1=0y1=-2，x2=-1y2=-3，所以可以得出，交点坐标一个是（0，-2），另一个坐标是（-1，3）。
从例1中可以发现，利用“数”将“形”问题解决具有很高的精准性，而且有定量作用。
（二）以“形”助力“数”
很多数量关系都是相当抽象的，学生很难准确把握，而“形”也具有很多优势，比如：直观以及形象等，可以将一些具体思维充分映射出来，在解题中发挥着至关重要的定性作用。结合解决问题的实际需求，可以将数量关系的问题变成图形性质的问题进行探讨，也就是将抽象的“数”结构和形象的“形”结构相联系，将抽象转变成直观，利用探究图形，往往可以找到问题的隐含条件，将一些解题线索诱发，让求解过程更加的直观、简单和便捷。
【例2】 求解不等式x-1≥-x2 2x 1。
分析：因为初中生从未求解一元二次不等式，这时可以通过图像法将该类型问题解决，使y1=x-1，y2=-x2 2x 1，再在相同坐标系中将函数y1以及y2的图像都画出来，凡是满足函数y1在y2上面相应的范围，即这个不等式的解集，所以对这个不等式进行求解时，首先必须要將函数y1交点（2，1）和y2交点（-1，-2）求解出来，再仔细观察图像，最后获得结论，也就是x≤2或者是x≥-1。
（三）“数”“形”互相变化
在很多数学问题中不只是单纯地以“数”变“形”，也不是以“形”变“数”，而是必须要将“数”和“形”相互转换，这就需求学生不只是要思考从直观的“形”变成严密的“数”，也要从严密的“数”联系到直观的“形”。将该类型问题进行解决时必须要同一时间以已知以及结论为切入点，科学分析发现“数”和“形”的相互转变。
【例3】 在数学活动中，小明为了将12 14 18 … 12n，其设计出边长是1的正方形纸片，而且用各种标记将正方形面积的12，14，18清楚标注出来，要求结合你已经了解的数形结合思想，推理出如果n是正整数，12 14 18 … 12n的最终结果，其中，可以用n进行表示。
分析：若直接对12 14 18 … 12n进行求解，对多数初中生而言都是相当困难的，这时可以尝试着在解决问题中合理运用数形结合思想。可以从这个角度进行理解，使用剪刀将该正方形纸片剪下来，第一次将该纸片的一半剪下来，那么正方形剩下的面积即12，第二次将剩下图形的一半剪下来，获取的图形面积即14，第三次将前面那次剩下的图形剪出一半，获取的图形面积即18，也就是每次都将上次裁剪剩下的面积剪去一半，这样在第n次裁剪以后获取的图形面积即12n，将所有裁剪的图像面积加起来，这样就可以求出其最后的值是1-12n。
五、 结语
总而言之，在初中数学解题中教师必须要正确引导学生采用适合的方法，争取在最短的时间内将问题准确解答出来，只有这样才可以让学生在平时学习和测试中节省出更多的时间用于学习其他的知识。而在数学解题中合理应用数形结合思想，可以使抽象的数学概念变成直观的图形，这样在很大程度上使学生容易理解，减少学习难度，提高学习效率。
参考文献：
[1]罗彩萍.探究数形结合思想在初中数学解题过程中的应用[J].科学咨询：教育科研，2020（5）：162.
[2]陈龙祥.数形结合在初中数学解题中的应用[C].四川省科教创客研究会、四川科幻世界杂志社有限公司.2020科教创新学术研讨会论文集（第二辑）.四川省科教创客研究会、四川科幻世界杂志社有限公司：四川省科教创客研究会，2020：210-211.
[3]郝智娟.数形结合思想在初中数学解题中的应用初探[C].广西写作学会教学研究专业委员会.2019年广西写作学会教学研究专业委员会教师教育论坛资料汇编（一）.广西写作学会教学研究专业委员会：广西写作学会教学研究专业委员会，2019：163-165.
[4]宋英海.数形结合思想在初中数学解题中的应用[J].山西师范大学学报（自然科学版），2015，29（S1）：16-17.
作者简介：
李月云，江苏省南京市，南京市江宁区汤山中学。