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近几年高考中,简易逻辑试题是以考查基本概念、性质与其它知识相结合为主的客观题出现,难度低,重基础.学习中只要夯实基础,把握逻辑联结词的含义、充要条件的意义、四种命题及相互关系,针对不同试题的考查形式,应用不同的求解策略,就能适应高考的考查要求.
一、 四种命题及其真假
【例1】 (课本题改编) 将下列命题“对顶角相等”改写成“若p则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.
分析 首先分清条件p和结论q,然后写成“若p则q”的形式.
解 原命题：若两个角是对顶角,则它们相等；
逆命题：若两个角相等,则它们是对顶角；
否命题：若两个角不是对顶角,则它们不相等；
逆否命题：若两个角不相等,则它们不是对顶角.
点评 把一个命题写成“若p则q”的形式,有时可以加入字母或文字,以便叙述更清楚.
【例2】 (市高三调研试题)判断命题“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假.
分析 可以直接进行逻辑推理判断,可以从逆否命题直接判断,也可以先判断原命题的真假,然后利用原命题与逆否命题的等价关系使问题获解.
解法1 ∵m>0,∴4m>0,∴4m+1>0.
∴方程x2+x-m=0的判别式
Δ=4m+1>0,∴x2+x-m=0有实数根.
∴原命题“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”为真.
又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题也为真.
解法2 原命题“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题为“若x2+x-m=0无实数根,则m≤0”.
∵x2+x-m=0无实数根,∴Δ=4m+1<0,∴m<-14≤0,
∴“若x2+x-m=0无实数根,则m≤0”为真.
解法3 p：m>0,q：x2+x-m=0有实根,
p：m≤0,
q：x2+x-m=0无实数根,
∴
p：A=mm≤0,
q：B=mm<-14.
∵BA,∴“若
q则
p”为真,即“若x2+x-m=0无实数根,则m≤0”为真.
点评 解法1是直接进行逻辑推理判断的；解法2是从逆否命题入手直接判断；解法3是利用原命题与逆否命题等价关系判断的.
二、 判断充分条件与必要条件
(一) 利用集合关系
【例3】 (07年辽宁高考题)p,q是两个命题：p:log12(|x|-3)>0,q:x2-56x+16>0,则p是q的条件(填“充分而不必要”或“必要而不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”).
分析 用“集合”观点处理“条件”判断问题,具有可操作性,更能看清问题的本质.
解 设A=｛x｜0<|x|-3<1｝=｛x｜-4<x<-3或3 点评 设满足条件p和结论q的对象构成的集合分别为P,Q,
1. 若PQ,则p是q的充分条件;
2. 若PQ,则p是q的必要条件;
3. 若P=Q,则p是q的充要条件;
4. 若PQ且QP,则p是q的既不充分也不必要条件.
(二) 使用定义
【例4】 (2011年全国高考题)下面四个条件中,使a＞b成立的充分而不必要的条件是 (填序号).
(1) a＞b+1 (2) a＞b-1
(3) a2＞b2 (4) a3＞b3
分析 紧扣定义,注意寻找的是通过选项能推出a>b,而由a>b推不出选项的选项．
解 由条件,寻找命题P使Pa>b,a>b推不出P,逐项验证可填(1).
点评 定义法是判断充要条件的最重要的方法.判断一个命题成立时,必需作严密的证明；判断一个命题不成立时,只需举出一个反例.
(三) 巧用逆否命题
【例5】 (2011年山东高考模拟题) 设p:b2-4ac>0a≠0,q:关于x的方程ax2+bx+c=0a≠0有实根,则“非q”是“非p”的条件(填“充分而不必要”或“必要而不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)
分析 若直接判断,还需求出“非q”是“非p”命题,太繁；可巧用逆否命题,合理转化.
解 ∵判别式大于0,关于x 的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根；但关于x 的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,判别可以等于0,
∴p是q的充分但不必要条件,
∵一个命题和它的逆否命题具有相同的真假性,
∴“非q”是“非p”的充分不必要条件.
点评 原命题和它的逆否命题、逆命题和否命题是两对等价命题,应用它们,可实现命题间的相互转化.
（四） 妙用传递性
【例6】 (07湖北高考题)已知p是r的充分条件而不是必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,现有下列命题：
①r是q的充要条件；
②p是q的充分条件而不是必要条件；
③r是q的必要条件而不是充分条件；
④┐p是┑s的必要条件而不是充分条件；
⑤r是s的充分条件而不是必要条件．
则正确命题的序号是．
分析 本题比较复杂且具有一定的连锁关系,一般同学会陷入困境.此时若联想到“充分与必要条件也具有传递性”(如若p1p2p3…pn,则p1pn),则问题解决.
解 由已知有pr,qr,rs,sq由此得rq且qr,①正确,③不正确；pq,②正确；④等价于ps,正确；rs且sr,⑤不正确.所以正确命题的序号是②③⑤.
点评 对于较为复杂的且含有多个条件的命题,可妙用传递性,复杂问题简单化,令人拍案叫绝.
三、 充要条件的证明
【例7】 (自编题)求证:方程x2+ax+1=0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|＞3,这个条件是其充分条件吗？为什么？
证明 ∵方程x2+ax+1=0(a∈R)有两实根,则Δ=a2-4≥0,
∴a≤-2或a≥2．
设方程x2+ax+1=0的两实根分别为x1、x2,
则x1+x2=-a,
x1x2=1.
x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=a2-2＞3．
∴|a|＞5＞3．
∴方程x2+ax+1=0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|＞3;但a=2时,x21+x22=2≤3,因此这个条件不是其充分条件．
点评 充要条件的证明首先要明确条件和结论分别是什么,证明时要明确充分性是条件推结论,必要性是结论推条件.
四、 正确应用逻辑联结词
【例8】 (课本题改编)分别写出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题,p：方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根,q：方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等；
解 “p或q”：方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等,
“p且q”：方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等,
“非p”：方程x2+2x+1=0没有两个相等的实数根.
点评 正确理解逻辑联结词“且”、“或”、 “非”是解题的关键,应根据组成上述各复合命题的语句中所出现的逻辑联结词,进行命题结构的判断.
一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。—维尔斯特拉斯
【例9】 分别指出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假,p：函数y=x2+3x+4的图象与x轴有公共点,q：方程x2+3x-4=0没有实根.
分析 首先确定组成复合命题的每个简单命题的真假,然后再根据复合命题的形式,对照真值表进行判断.
解 ∵p假q假,∴“p或q”为假,“p且q”假,“非p”为真.
点评 判断复合命题真假的依据：p∨q有真则真；p∧q有假则假；
p与p相反.
五、 命题的否定与否命题
两个概念的区别：(1) 概念：命题的否定形式是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是原命题的条件和结论分别否定后组成的命题.(2) 构成：对于“若p,则q”形式的命题,其命题否定为“若p,则
q”,也就是不改变条件,而否定结论；而其否命题则为“若
p,则
q”.(3) 真值：命题的否定的真值与原来的命题相反；而否命题的真值与原命题无关.
两个概念的联系：它们在否定过程中,对其正面叙述的词语的否定叙述都是一样的(如“至多有一个”的否定形式为“至少有两个”等)
【例10】 (自编题)写出命题“若m2+n2+a2+b2=0,则实数m,n,a,b全为零.”的否定形式及否命题
解析 命题的否定：若m2+n2+a2+b2=0,则实数m,n,a,b不全为零.
否命题：若m2+n2+a2+b2≠0,则实数m,n,a,b不全为零.
点评 分清题设和条件,命题的否定只否定结论,而否命题既否定题设,又否定结论.
【例11】 (07年山东高考题)命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是．
解析 对全称量词“任意”的否定为存在量词“存在”等,对“≤”的否定为“＞”,所以命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“存在x∈R,x3-x2+1＞0”．
点评 对全称命题的否定,在否定判断词时,还要否定全称量词.
纯数学这门科学再其现代发展阶段，可以说是人类精神之最具独创性的创造。—怀德海
牛刀小试
1. 判断命题“已知a、x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假.
2. 已知命题p：函数f(x)=log05(3-x)定义域为(-∞,3)；命题q：若k＜0,则函数h(x)=kx在(0,+∞)上是减函数,对以上两个命题,下列结论中正确序号为．
(1) 命题“p且q”为真
(2) 命题“p或
q”为假
(3) 命题“p或q”为假
(4) 命题“
p且
q”为假
3. “m=12”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的 条件(填“充分而不必要”或“必要而不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)
4. 命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为 ．
【参考答案】
1. 解法1：逆否命题：已知a、x为实数,如果a<1,关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.判断如下抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上,判别式
Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.∵a<1,
∴4a-7<0,即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点,
∴关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.故逆否命题为真.
解法2：∵a、x为实数,且关于x的不等式
x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,
∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7≥0,
∴a≥74.∵a≥74>1,∴原命题为真,
又∵原命题与其逆否命题等价,∴逆否命题为真.
解法3：利用集合的包含关系求解.
命题p：关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0有非空解集, 命题q：a≥1.
∴p：A={a关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0有实数集}
={a(2a+1)2-4(a2+2)≥0}=aa≥74,
q：a≥1.∵AB,∴“若p,则q”为真,∴其逆否命题“若
q,则
p”为真,∴原命题的逆否命题为真.
2. 由3-x＞0,得x＜3,所以命题p为真,所以命题
p为假.又由k＜0,可知函数h(x)=kx在(0,+∞)上是增函数,命题q也为假,所以命题
q为真.所以命题“p且q”为假,命题“p或
q”为真,命题“p或q”为真,命题“
p且
q”为假,故正确命题的序号为(4)．
3. 当m=12时,两直线斜率分别为-53与35,其乘积为-1,从而可得两直线垂直；当m=-2时,两直线一条斜率为0,一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此m=12是题目中给出的两条直线垂直的充分不必要条件．
4. 对原命题的条件与结论同时进行否定即可得到否命题：“若a≤b,则2a≤2b-1”．
一、 四种命题及其真假
【例1】 (课本题改编) 将下列命题“对顶角相等”改写成“若p则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.
分析 首先分清条件p和结论q,然后写成“若p则q”的形式.
解 原命题：若两个角是对顶角,则它们相等；
逆命题：若两个角相等,则它们是对顶角；
否命题：若两个角不是对顶角,则它们不相等；
逆否命题：若两个角不相等,则它们不是对顶角.
点评 把一个命题写成“若p则q”的形式,有时可以加入字母或文字,以便叙述更清楚.
【例2】 (市高三调研试题)判断命题“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假.
分析 可以直接进行逻辑推理判断,可以从逆否命题直接判断,也可以先判断原命题的真假,然后利用原命题与逆否命题的等价关系使问题获解.
解法1 ∵m>0,∴4m>0,∴4m+1>0.
∴方程x2+x-m=0的判别式
Δ=4m+1>0,∴x2+x-m=0有实数根.
∴原命题“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”为真.
又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题也为真.
解法2 原命题“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题为“若x2+x-m=0无实数根,则m≤0”.
∵x2+x-m=0无实数根,∴Δ=4m+1<0,∴m<-14≤0,
∴“若x2+x-m=0无实数根,则m≤0”为真.
解法3 p：m>0,q：x2+x-m=0有实根,
p：m≤0,
q：x2+x-m=0无实数根,
∴
p：A=mm≤0,
q：B=mm<-14.
∵BA,∴“若
q则
p”为真,即“若x2+x-m=0无实数根,则m≤0”为真.
点评 解法1是直接进行逻辑推理判断的；解法2是从逆否命题入手直接判断；解法3是利用原命题与逆否命题等价关系判断的.
二、 判断充分条件与必要条件
(一) 利用集合关系
【例3】 (07年辽宁高考题)p,q是两个命题：p:log12(|x|-3)>0,q:x2-56x+16>0,则p是q的条件(填“充分而不必要”或“必要而不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”).
分析 用“集合”观点处理“条件”判断问题,具有可操作性,更能看清问题的本质.
解 设A=｛x｜0<|x|-3<1｝=｛x｜-4<x<-3或3
1. 若PQ,则p是q的充分条件;
2. 若PQ,则p是q的必要条件;
3. 若P=Q,则p是q的充要条件;
4. 若PQ且QP,则p是q的既不充分也不必要条件.
(二) 使用定义
【例4】 (2011年全国高考题)下面四个条件中,使a＞b成立的充分而不必要的条件是 (填序号).
(1) a＞b+1 (2) a＞b-1
(3) a2＞b2 (4) a3＞b3
分析 紧扣定义,注意寻找的是通过选项能推出a>b,而由a>b推不出选项的选项．
解 由条件,寻找命题P使Pa>b,a>b推不出P,逐项验证可填(1).
点评 定义法是判断充要条件的最重要的方法.判断一个命题成立时,必需作严密的证明；判断一个命题不成立时,只需举出一个反例.
(三) 巧用逆否命题
【例5】 (2011年山东高考模拟题) 设p:b2-4ac>0a≠0,q:关于x的方程ax2+bx+c=0a≠0有实根,则“非q”是“非p”的条件(填“充分而不必要”或“必要而不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)
分析 若直接判断,还需求出“非q”是“非p”命题,太繁；可巧用逆否命题,合理转化.
解 ∵判别式大于0,关于x 的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根；但关于x 的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,判别可以等于0,
∴p是q的充分但不必要条件,
∵一个命题和它的逆否命题具有相同的真假性,
∴“非q”是“非p”的充分不必要条件.
点评 原命题和它的逆否命题、逆命题和否命题是两对等价命题,应用它们,可实现命题间的相互转化.
（四） 妙用传递性
【例6】 (07湖北高考题)已知p是r的充分条件而不是必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,现有下列命题：
①r是q的充要条件；
②p是q的充分条件而不是必要条件；
③r是q的必要条件而不是充分条件；
④┐p是┑s的必要条件而不是充分条件；
⑤r是s的充分条件而不是必要条件．
则正确命题的序号是．
分析 本题比较复杂且具有一定的连锁关系,一般同学会陷入困境.此时若联想到“充分与必要条件也具有传递性”(如若p1p2p3…pn,则p1pn),则问题解决.
解 由已知有pr,qr,rs,sq由此得rq且qr,①正确,③不正确；pq,②正确；④等价于ps,正确；rs且sr,⑤不正确.所以正确命题的序号是②③⑤.
点评 对于较为复杂的且含有多个条件的命题,可妙用传递性,复杂问题简单化,令人拍案叫绝.
三、 充要条件的证明
【例7】 (自编题)求证:方程x2+ax+1=0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|＞3,这个条件是其充分条件吗？为什么？
证明 ∵方程x2+ax+1=0(a∈R)有两实根,则Δ=a2-4≥0,
∴a≤-2或a≥2．
设方程x2+ax+1=0的两实根分别为x1、x2,
则x1+x2=-a,
x1x2=1.
x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=a2-2＞3．
∴|a|＞5＞3．
∴方程x2+ax+1=0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|＞3;但a=2时,x21+x22=2≤3,因此这个条件不是其充分条件．
点评 充要条件的证明首先要明确条件和结论分别是什么,证明时要明确充分性是条件推结论,必要性是结论推条件.
四、 正确应用逻辑联结词
【例8】 (课本题改编)分别写出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题,p：方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根,q：方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等；
解 “p或q”：方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等,
“p且q”：方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等,
“非p”：方程x2+2x+1=0没有两个相等的实数根.
点评 正确理解逻辑联结词“且”、“或”、 “非”是解题的关键,应根据组成上述各复合命题的语句中所出现的逻辑联结词,进行命题结构的判断.
一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。—维尔斯特拉斯
【例9】 分别指出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假,p：函数y=x2+3x+4的图象与x轴有公共点,q：方程x2+3x-4=0没有实根.
分析 首先确定组成复合命题的每个简单命题的真假,然后再根据复合命题的形式,对照真值表进行判断.
解 ∵p假q假,∴“p或q”为假,“p且q”假,“非p”为真.
点评 判断复合命题真假的依据：p∨q有真则真；p∧q有假则假；
p与p相反.
五、 命题的否定与否命题
两个概念的区别：(1) 概念：命题的否定形式是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是原命题的条件和结论分别否定后组成的命题.(2) 构成：对于“若p,则q”形式的命题,其命题否定为“若p,则
q”,也就是不改变条件,而否定结论；而其否命题则为“若
p,则
q”.(3) 真值：命题的否定的真值与原来的命题相反；而否命题的真值与原命题无关.
两个概念的联系：它们在否定过程中,对其正面叙述的词语的否定叙述都是一样的(如“至多有一个”的否定形式为“至少有两个”等)
【例10】 (自编题)写出命题“若m2+n2+a2+b2=0,则实数m,n,a,b全为零.”的否定形式及否命题
解析 命题的否定：若m2+n2+a2+b2=0,则实数m,n,a,b不全为零.
否命题：若m2+n2+a2+b2≠0,则实数m,n,a,b不全为零.
点评 分清题设和条件,命题的否定只否定结论,而否命题既否定题设,又否定结论.
【例11】 (07年山东高考题)命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是．
解析 对全称量词“任意”的否定为存在量词“存在”等,对“≤”的否定为“＞”,所以命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“存在x∈R,x3-x2+1＞0”．
点评 对全称命题的否定,在否定判断词时,还要否定全称量词.
纯数学这门科学再其现代发展阶段，可以说是人类精神之最具独创性的创造。—怀德海
牛刀小试
1. 判断命题“已知a、x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假.
2. 已知命题p：函数f(x)=log05(3-x)定义域为(-∞,3)；命题q：若k＜0,则函数h(x)=kx在(0,+∞)上是减函数,对以上两个命题,下列结论中正确序号为．
(1) 命题“p且q”为真
(2) 命题“p或
q”为假
(3) 命题“p或q”为假
(4) 命题“
p且
q”为假
3. “m=12”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的 条件(填“充分而不必要”或“必要而不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)
4. 命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为 ．
【参考答案】
1. 解法1：逆否命题：已知a、x为实数,如果a<1,关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.判断如下抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上,判别式
Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.∵a<1,
∴4a-7<0,即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点,
∴关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.故逆否命题为真.
解法2：∵a、x为实数,且关于x的不等式
x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,
∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7≥0,
∴a≥74.∵a≥74>1,∴原命题为真,
又∵原命题与其逆否命题等价,∴逆否命题为真.
解法3：利用集合的包含关系求解.
命题p：关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0有非空解集, 命题q：a≥1.
∴p：A={a关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0有实数集}
={a(2a+1)2-4(a2+2)≥0}=aa≥74,
q：a≥1.∵AB,∴“若p,则q”为真,∴其逆否命题“若
q,则
p”为真,∴原命题的逆否命题为真.
2. 由3-x＞0,得x＜3,所以命题p为真,所以命题
p为假.又由k＜0,可知函数h(x)=kx在(0,+∞)上是增函数,命题q也为假,所以命题
q为真.所以命题“p且q”为假,命题“p或
q”为真,命题“p或q”为真,命题“
p且
q”为假,故正确命题的序号为(4)．
3. 当m=12时,两直线斜率分别为-53与35,其乘积为-1,从而可得两直线垂直；当m=-2时,两直线一条斜率为0,一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此m=12是题目中给出的两条直线垂直的充分不必要条件．
4. 对原命题的条件与结论同时进行否定即可得到否命题：“若a≤b,则2a≤2b-1”．