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摘要： 数学概念是思维的“细胞”。各种能力，如运算、逻辑思维、空间想象能力，以至于创新能力等，无一不以清晰的概念为基础。这些能力的强弱与相应概念的理解深度紧密相连，并且能力的发展受相应概念的理解深度制约。要搞好数学概念教学工作，就应根据不同的概念，采取灵活多样的教学方法，才有利于培养学生的思维能力。
关键词： 新课标 数学概念 思维能力
数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质特征属性的思维方式，其本身具有严密性、抽象性、科学性和明确规定性。数学教学的本质是思维展示和发展的过程，在这个过程中，数学概念教学是一个重要环节，也是学生数学思维能力产生和发展的初始阶段。抓好这个环节可以培养学生良好的数学思维能力，进而在整个数学学习过程中达到事半功倍的效果。如何在概念教学中培养学生的思维能力是数学教学中的重中之重，笔者结合自己的教学实践对此提出一些看法：
一、重视概念教学，强化概念意识
数学概念是数学思维的指向灯，只有具备了正确的数学概念意识才能使数学思维能力向良性方向发展。教师要重视概念教学，强化学生的概念意识。
笔者在给高一新生上的第一堂数学课中提出的第一个问题是：“什么是数学？”有些学生马上说：“是数的学问。”笔者提示道：“那数学就只研究数字不研究几何图形了吗？”有学生补充说：“数学是研究数与形的学问。”笔者告诉他们这还不是最好的回答，让他们在下面讨论一下到底什么是数学。
二、定向引导，深入研究，抓好概念教学的初始阶段，培养良好的思维能力
人的思维是有一定惰性的，它常使人们对问题的理解停留在知识的表象，满足于一知半解。因此，在数学概念教学中，教师要善于定向引导，并且运用适当的方法（比如概念同化、概念迁移等），让学生由表及里、步步深入地学习某个概念，这样才能使学生的思维能力得以提高和优化。
例如，在教函数概念之前，笔者设计了一个引入部分：让学生来研究正方形的面积与边长之间相互变化的规律。先给出几组边长的数据让学生计算正方形的面积，进而让学生来求：当边长为x时，正方形的面积y的值。在这个基础上让学生总结得出函数的初中定义：在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应。那么说x是自变量，y是x的函数。然后，强调定义中的两个“一”即“每一”和“唯一”。此时抛出一个问题：用你所学知识给函数重新下一个定义。由于映射的概念刚刚学过，学生很容易得出函数的映射概念。由于是自己探索出来的概念，他们会有一种成就感，学习兴趣提高。
三、在概念教学过程中提高学生思维能力的策略
1.展示概念背景，培养思维的主动性。
在数学概念教学过程中向学生展示概念产生的背景，激发学生的好奇心，达到让学生主动思考的目的，从而培养思维的主动性。
我在讲述对数概念时，先讲述对数的起源。对数起源于想把大数的相乘问题转化为加减问题的思想。我在黑板上写出两列数，如：
……-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8……
…… ， ， ， ，1，2，4，8，16，32，64，128，256……
要计算8×16，只需在下一列数中找到8与16，在上一列数中找到其对应的数3和4，3+4=7，在上面一列数中找到7，7在下一列数中所对应的数为128，则8×16的值为128。再如，求16 ，可转化为寻找16所对应的数为4，4+4=8，则16 的值为256。这种特殊的算法一下子引起学生的好奇心，激发起他们对对数学习的欲望。从教学反馈的效果来看：大多数学生能够较好较快地掌握对数概念，并且在学习对数运算性质log M•N=log M+log N时都能较快理解并接受。
2.创设求知情境，培养思维的敏捷性。
数学概念一般比较枯燥乏味。如果只是照本宣科地讲述，学生容易失去兴趣，进而影响概念的理解和记忆。在讲述概念之前若能够创设一个求知情境，则不仅教学效果非同一般，而且能够培养学生思维的敏捷性。
在讲述指数函数的概念时，我给学生提出“杨白劳的债务”问题：杨白劳三月初借黄世仁2元钱，月底要还4元钱，月底无法偿还，请求延期。四月底要还8元钱，仍无法偿还，又请求延期。如此下去，年关时要还多少钱？学生答：2 =512元。我又问：x月后要还的钱数y应该多少呢？学生答：y=2 元（x∈N ）。此时，我说，若把这里的“2”推广到a（a＞0，且a≠1），定义域推广到R，则可得到指数函数的概念是……学生很快理解我的意思，自己总结得出指数函数的概念。从他们喜悦的表情可以看出：这个概念他们已经理解并接受了。
3.精确表述，细致剖析新概念，培养思维的缜密性。
思维的缜密性表现在抓住概念的本质特征，对概念的内涵与外延的关系全面深刻地理解，对数学知识结构的严密性和科学性能够充分认识。因此，当概念形成后，要求学生能够准确地表述概念。
例如：在讲述三角函数的概念时，对六个基本三角函数的定义，以正弦函数sinα= 为例进行如下分析：它本质上是一个比值，是角α的终边上任意一点的纵坐标y与这一点到原点的距离r的比值；由于∣y∣≤r，所以这个比值不超过1；与点在终边上的位置无关；这个比值的大小随α的变化而变化，当α取某个确定的值，比值有唯一确定的值与之对应。经过对正弦函数概念的本质属性分析之后，指出角的终边上的任意点P（x，y）一经确定，就涉及x，y，r这三个量。任取两个组成比值，共有六组，对应着六个基本三角函数。这样对三角函数的内涵和外延就都揭示得十分清楚了。
4.运用新概念，培养思维的深刻性。
思维的深刻性主要表现在理解能力强，能抓住概念、定理的核心及知识的内在联系，准确地掌握概念的内涵及使用的条件和范围。在用概念判别命题的真伪时，能抓住问题的实质；在用概念解题时，能抓住问题的关键。在运用概念时，除了用典型的例子从正面加深对概念的理解、巩固概念之外，还应针对某些概念的定义中有些关键性的字眼不易被学生所理解，容易被忽视；某些概念的条件比较多，常顾此失彼，不易全面掌握；某些概念与它的邻近概念相似，不易区别。通过举反例，从反面来加深学生对概念的理解。
例如，反函数的概念在新课程中简单带过，学生学起来有些吃力。当学完互为反函数的函数图象关系时，我让学生来判断：
（1）互为反函数的图象关于直线y=x对称；
（2）关于直线y=x成轴对称的两个图形一定是互为反函数的一对函数图象。
学生很容易判断出（1）是正确的，判断（2）却有些困难。我让学生来观察图1。这样，学生根据函数概念及反函数的概念可判断出（2）是错误的。同时，他们也对反函数的概念又有更深一层的理解。
总之，在数学概念教学中应重视科学地培养学生的思维能力，使学生的学习过程成为认识—实践—再认识—再实践的过程，让他们通过概念的学习，锻炼自己的思维，学会用数学的眼光看数学，用数学的思维想数学，从而不断提高自己的数学水平。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
关键词： 新课标 数学概念 思维能力
数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质特征属性的思维方式，其本身具有严密性、抽象性、科学性和明确规定性。数学教学的本质是思维展示和发展的过程，在这个过程中，数学概念教学是一个重要环节，也是学生数学思维能力产生和发展的初始阶段。抓好这个环节可以培养学生良好的数学思维能力，进而在整个数学学习过程中达到事半功倍的效果。如何在概念教学中培养学生的思维能力是数学教学中的重中之重，笔者结合自己的教学实践对此提出一些看法：
一、重视概念教学，强化概念意识
数学概念是数学思维的指向灯，只有具备了正确的数学概念意识才能使数学思维能力向良性方向发展。教师要重视概念教学，强化学生的概念意识。
笔者在给高一新生上的第一堂数学课中提出的第一个问题是：“什么是数学？”有些学生马上说：“是数的学问。”笔者提示道：“那数学就只研究数字不研究几何图形了吗？”有学生补充说：“数学是研究数与形的学问。”笔者告诉他们这还不是最好的回答，让他们在下面讨论一下到底什么是数学。
二、定向引导，深入研究，抓好概念教学的初始阶段，培养良好的思维能力
人的思维是有一定惰性的，它常使人们对问题的理解停留在知识的表象，满足于一知半解。因此，在数学概念教学中，教师要善于定向引导，并且运用适当的方法（比如概念同化、概念迁移等），让学生由表及里、步步深入地学习某个概念，这样才能使学生的思维能力得以提高和优化。
例如，在教函数概念之前，笔者设计了一个引入部分：让学生来研究正方形的面积与边长之间相互变化的规律。先给出几组边长的数据让学生计算正方形的面积，进而让学生来求：当边长为x时，正方形的面积y的值。在这个基础上让学生总结得出函数的初中定义：在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应。那么说x是自变量，y是x的函数。然后，强调定义中的两个“一”即“每一”和“唯一”。此时抛出一个问题：用你所学知识给函数重新下一个定义。由于映射的概念刚刚学过，学生很容易得出函数的映射概念。由于是自己探索出来的概念，他们会有一种成就感，学习兴趣提高。
三、在概念教学过程中提高学生思维能力的策略
1.展示概念背景，培养思维的主动性。
在数学概念教学过程中向学生展示概念产生的背景，激发学生的好奇心，达到让学生主动思考的目的，从而培养思维的主动性。
我在讲述对数概念时，先讲述对数的起源。对数起源于想把大数的相乘问题转化为加减问题的思想。我在黑板上写出两列数，如：
……-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8……
…… ， ， ， ，1，2，4，8，16，32，64，128，256……
要计算8×16，只需在下一列数中找到8与16，在上一列数中找到其对应的数3和4，3+4=7，在上面一列数中找到7，7在下一列数中所对应的数为128，则8×16的值为128。再如，求16 ，可转化为寻找16所对应的数为4，4+4=8，则16 的值为256。这种特殊的算法一下子引起学生的好奇心，激发起他们对对数学习的欲望。从教学反馈的效果来看：大多数学生能够较好较快地掌握对数概念，并且在学习对数运算性质log M•N=log M+log N时都能较快理解并接受。
2.创设求知情境，培养思维的敏捷性。
数学概念一般比较枯燥乏味。如果只是照本宣科地讲述，学生容易失去兴趣，进而影响概念的理解和记忆。在讲述概念之前若能够创设一个求知情境，则不仅教学效果非同一般，而且能够培养学生思维的敏捷性。
在讲述指数函数的概念时，我给学生提出“杨白劳的债务”问题：杨白劳三月初借黄世仁2元钱，月底要还4元钱，月底无法偿还，请求延期。四月底要还8元钱，仍无法偿还，又请求延期。如此下去，年关时要还多少钱？学生答：2 =512元。我又问：x月后要还的钱数y应该多少呢？学生答：y=2 元（x∈N ）。此时，我说，若把这里的“2”推广到a（a＞0，且a≠1），定义域推广到R，则可得到指数函数的概念是……学生很快理解我的意思，自己总结得出指数函数的概念。从他们喜悦的表情可以看出：这个概念他们已经理解并接受了。
3.精确表述，细致剖析新概念，培养思维的缜密性。
思维的缜密性表现在抓住概念的本质特征，对概念的内涵与外延的关系全面深刻地理解，对数学知识结构的严密性和科学性能够充分认识。因此，当概念形成后，要求学生能够准确地表述概念。
例如：在讲述三角函数的概念时，对六个基本三角函数的定义，以正弦函数sinα= 为例进行如下分析：它本质上是一个比值，是角α的终边上任意一点的纵坐标y与这一点到原点的距离r的比值；由于∣y∣≤r，所以这个比值不超过1；与点在终边上的位置无关；这个比值的大小随α的变化而变化，当α取某个确定的值，比值有唯一确定的值与之对应。经过对正弦函数概念的本质属性分析之后，指出角的终边上的任意点P（x，y）一经确定，就涉及x，y，r这三个量。任取两个组成比值，共有六组，对应着六个基本三角函数。这样对三角函数的内涵和外延就都揭示得十分清楚了。
4.运用新概念，培养思维的深刻性。
思维的深刻性主要表现在理解能力强，能抓住概念、定理的核心及知识的内在联系，准确地掌握概念的内涵及使用的条件和范围。在用概念判别命题的真伪时，能抓住问题的实质；在用概念解题时，能抓住问题的关键。在运用概念时，除了用典型的例子从正面加深对概念的理解、巩固概念之外，还应针对某些概念的定义中有些关键性的字眼不易被学生所理解，容易被忽视；某些概念的条件比较多，常顾此失彼，不易全面掌握；某些概念与它的邻近概念相似，不易区别。通过举反例，从反面来加深学生对概念的理解。
例如，反函数的概念在新课程中简单带过，学生学起来有些吃力。当学完互为反函数的函数图象关系时，我让学生来判断：
（1）互为反函数的图象关于直线y=x对称；
（2）关于直线y=x成轴对称的两个图形一定是互为反函数的一对函数图象。
学生很容易判断出（1）是正确的，判断（2）却有些困难。我让学生来观察图1。这样，学生根据函数概念及反函数的概念可判断出（2）是错误的。同时，他们也对反函数的概念又有更深一层的理解。
总之，在数学概念教学中应重视科学地培养学生的思维能力，使学生的学习过程成为认识—实践—再认识—再实践的过程，让他们通过概念的学习，锻炼自己的思维，学会用数学的眼光看数学，用数学的思维想数学，从而不断提高自己的数学水平。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”