教材中的习题蕴含丰富，具有典型性、示范性和迁移再生的特性，是命制中考试题的重要素材。本文以鲁教版九下P42习题3为例进行探究。
　　引例：如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于D，交△ABC的外接圆于点E，连接BE，CE，找出图中相等的线段，并说明理由。
　　这个习题主要考查了三角形内心的性质、外角的性质、圆周角定理的推论。三角形的内心是三角形内切圆的圆心，它和三角形各顶点的连线平分三角形的三个内角。这个题学生易把内心I当做图中外接圆的圆心，得出AI=EI=BE=CE错误的结论，还有很多学生不会利用三角形内心的性质解题，不会添加辅助线，只得出BE=CE。本习题需连接BI，证得BE=IE，从而得出BE=IE=CE。
　　证明：连接BI
　　∵I是△ABC的内心，∴∠BAI=∠CAI，∠IBA=∠IBC，∵∠BID=∠BAI+∠IBA，∠EBI=∠IBC+∠DBE，∠DBE=∠CAI，∴∠BIE=∠EBI，∴BE=IE.∵∠BAE=∠CAE，∴∴BE=CE，∴IE=BE=CE。
　　变式1（2017年山东省临沂市中考）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径。
　　分析：第（1）等价交换条件，把习题中点E是△ABC的内心等价变换为∠BAC的平分线交∠ABC的平分线交于点E，降低了难度：（2）实际是把BC改变为特殊的弦直径，利用三角形内心的性质和圆周角定理的推论进行计算，演变出的一道中考题变式2（2017年湖北省黄石市中考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE.
　　（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为⊙O的切线.
　　保持引例的条件不变，添加BC为⊙O的直径，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE.在证明DB=DE基础上又求证直线CF为⊙O的切线，演绎成一道2017年湖北省黄石市中考题，在考查三角形内心的性质，圆周角定理的推论、三角形外角性质的基础上，又考查了三角形中位线定理，圆的切线的判定定理等重要知识点，综合性进一步加强！
　　分析：（1）欲證明DB=DE，同习题3一样只需证明∠DBE=∠DEB，（2）欲证明直线CF为⊙O的切线，只要证明BC⊥CF即可；
　　（2）解析：连接OD，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵点E为△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD= 45°，∴∠BOD=90°，∵BD=DF，OB=OC，∴OD是△BCF的中位线，∴OD∥CF，∴∠BOD=∠OCF=90°，∴直线CF为⊙O的切线
　　变式3（2017年山东省滨州市中考）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC.
　　（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）求证：DE2=DF·DA.
　　本题是圆的有关性质和相似三角形判定与性质的综合应用，对习题进行了拓广和延伸。解题时需注意：DE2=DF·DA中的三条线段DE、DF、DA共线，不能直接利用相似三角形的判定与性质证明，需先证BD=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF·DA，据此可得DE2=DF·DA.这就需要学生学会从复杂的图形分离出我们熟悉的基本图形或课本中解决过的例题、习题的图形，进而借助其思考问题的思路，探究新的问题。
　　在数学教学中，既要重视例题的教学，也要注重习题的推广、拓展。这样有利于发展学生的思维能力，形成良好的思维品质。