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培养学生的运算能力是中学数学教学目的之一，也是高考重点考查的对象，在培养学生的运算能力这一问题上，不能简单地理解为培养学生数值的计算上，更应该培养学生在运算过程中的正确严谨、准确灵活、简洁快速的能力的养成.在实施新课以来，经过一段时间的教学实践，在教学中产生了一些可喜的变化.比如学生的学习态度变得主动了，学生的学习兴趣变得浓厚了，学生的分析问题和解决问题的能力提高了，等等.但是笔者发现学生的运算能力在逐步走向弱势，让我们初次实施新课的老师有些“担忧”.为此笔者认为不能放松对学生运算能力的培养.下面笔者谈谈体会与想法.
一、从概念、性质、公式和法则的理解入手，培养学生运算能力的严谨性
正确地理解概念是掌握数学基础知识的前提，也是准确迅速运算的依据，运算不准确在很大程度上是由于对基本概念理解得不透彻，运算的正确性来自对知识的正确理解和掌握.错误的原因不能简单地归于学生解题时的“粗心大意”，而真正的原因在于对相关知识的理解肤浅所置，只有切实掌握有关知识，才能使运算明确方向，使运算过程准确严谨.比如，如果对子集、真子集，非空真子集的概念理解不清，就会出现对解一类判断集合个数题目的错误.例如：已知集合M=｛2，5，7｝，求它的子集、真子集、非空真子集的个数.比如对确定平面的条件概念的理解不清，就会得出“任何三点能确定一个平面”的错误.因此，准确理解数学概念、性质、公式和法则是培养运算能力的前提.
二、从正确进行推理入手，培养学生运算能力的准确性
运算离不开逻辑推理，运算过程是应用三段论法的过程.提高学生的运算能力，必须提高其推理能力.在教学时既要使学生了解“怎样运算”，还要明确“为什么要这样运算”，这样才能保证运算的合理性.在教学中许多数学教师对这一点不够重视，表现在对于学生不合理的运算推理不给予评价、纠正.常以答案是否正确作为评价的唯一标准，甚至在课堂上经常出现这样的说法“下面是消去x,y，便可得到结果……”“下面是具体运算，同学们课后计算吧”等等，事实上学生课后如何消元x,y，是否会具体运算，教师根本不了解.这样正好给学生养成了对复杂的运算不感兴趣，热衷于对答案的习惯，久而久之学生就形成了对运算的畏难情绪，造成运算上的不少薄弱环节，直接影响了运算能力的提高.
三、从一题多变入手，培养学生运算能力的灵活性
数学运算的熟练性主要表现在能迅速合理地进行运算，有些学生往往只会机械地死记公式，生搬法则，其结果是既花费了大量时间，又不能求得准确的结果.
例1 （必修2，P127例题1）
已知直线l:3x+y-6=0和圆C:x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆C的位置关系.
分析 课本中运用了圆心到直线的距离与圆的半径进行比较和判别式法这两种方法解答，并形成了对比，体现了一题多解的重要思想，但如果我们从一题多解的思维方法入手，通过一题多变就能变换出更多的解题方法，实现了对课本的理解与提升.下面通过对上述题目进行变换，目的是为了得到更多的解题方法.
变1 证明不论k为何值，直线l:y=kx+1和圆C:x2+y2=4总相交.
分析 如果用例题的两种方法来解会显得繁琐，因为本题中从直线l:y=kx+1的方程来看，直线l恒过点（0，1），而点（0，1）在圆C:x2+y2=4的内部，很显然直线l:y=kx+1和圆C:x2+y2=4总相交.
变2 讨论b取不同值时，直线l:y=x+b和圆C:x2+y2=1的位置关系.
分析 本题如果用数形结合思想来解，不仅使问题求解简捷直观，更有利于杜绝对含有条件的题目用例题中的方法求解错误的发生.由直线l:y=x+b得直线l在b的变化时是一组平行线，容易知道当直线l与圆C相切时b=±2，即容易得到当b=±2时直线l与圆C相切，当-22或b<-2时直线l与圆C相离.
变3 讨论b为何值时，方程组y=x+b,
y=1-x2有一组解.
分析 本题如果基于用例1中的判别式法，消去y，两边同时平方得到关于x的一元二次方程，然后用Δ=0求解b是错误的，原因在于本解法在消去y后，两边同时平方上.由y=1-x2的几何意义知，对它两边同时平方结果为圆x2+y2=1，但由于y≥0，所以y=1-x2的几何图形是一个半圆，这就是上述解法的错误所在.若用数形结合思想来解，易知b=2或b=-1时方程组y=x+b,
y=1-x2有一组解.
四、从一题多解入手，培养学生运算能力的熟练性
学生思维的灵活性主要表现在是否善于迅速地引起联系、建立联想，是否善于迅速地调整原有的思维过程.一些学生之所以在运算中采用较为繁琐的方法，是因为他们不善于联想，不能根据实际问题的条件与结论选择最恰当的运算方法，为此从一题多解入手培养学生运算能力的熟练性是必要的.
例2 在椭圆x2100+y236=1上一点Ｐ到左焦点的距离为６，求点Ｐ到两条准线的距离.
分析1 设点Ｐ的坐标为（ｘ,ｙ）,由题意易知ａ=10，ｂ=6，ｃ=8，所以椭圆的左焦点为（-8,0）.
于是由x2100+y236=１，(x+8)2+y2=６，消去ｙ，可以解得x1=-5,x2=-20（舍去）,即点P（-5，±33）.又因为椭圆的两条准线方程为x=±252，所以点Ｐ到两条准线的距离分别为152，352.
分析2 依题意知ａ=10，ｂ=6，ｃ=8，所以离心率e=45，于是由椭圆的第二定义得点Ｐ到左焦点的距离为152，同理可得点Ｐ到右焦点的距离为352.
评析 显然上述两种解法中较简捷的是解法2，解法１较为繁琐，但多数学生往往选择解法1.为了训练学生运算能力的熟练性，除了引导学生熟练掌握概念、定义及其内涵与外延外，还必须教会学生不但能“正用”公式、法则，而且能“逆用”或“变用”公式、法则.不仅如此，还能通过一题多解，引导学生掌握类比联想、对比联想等数学思想与方法，使学生的解题能力逐步形成.
总之，数学是一门逻辑性很强的学科，概念、法则、公式、定理之间是相互依赖与转化的，因此通过有目的、有步骤、分层次的培养学生的运算能力，不仅能优化学生的思维品质，更能使所学知识、方法得到系统的整理，实现教学效果的最优化.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、从概念、性质、公式和法则的理解入手，培养学生运算能力的严谨性
正确地理解概念是掌握数学基础知识的前提，也是准确迅速运算的依据，运算不准确在很大程度上是由于对基本概念理解得不透彻，运算的正确性来自对知识的正确理解和掌握.错误的原因不能简单地归于学生解题时的“粗心大意”，而真正的原因在于对相关知识的理解肤浅所置，只有切实掌握有关知识，才能使运算明确方向，使运算过程准确严谨.比如，如果对子集、真子集，非空真子集的概念理解不清，就会出现对解一类判断集合个数题目的错误.例如：已知集合M=｛2，5，7｝，求它的子集、真子集、非空真子集的个数.比如对确定平面的条件概念的理解不清，就会得出“任何三点能确定一个平面”的错误.因此，准确理解数学概念、性质、公式和法则是培养运算能力的前提.
二、从正确进行推理入手，培养学生运算能力的准确性
运算离不开逻辑推理，运算过程是应用三段论法的过程.提高学生的运算能力，必须提高其推理能力.在教学时既要使学生了解“怎样运算”，还要明确“为什么要这样运算”，这样才能保证运算的合理性.在教学中许多数学教师对这一点不够重视，表现在对于学生不合理的运算推理不给予评价、纠正.常以答案是否正确作为评价的唯一标准，甚至在课堂上经常出现这样的说法“下面是消去x,y，便可得到结果……”“下面是具体运算，同学们课后计算吧”等等，事实上学生课后如何消元x,y，是否会具体运算，教师根本不了解.这样正好给学生养成了对复杂的运算不感兴趣，热衷于对答案的习惯，久而久之学生就形成了对运算的畏难情绪，造成运算上的不少薄弱环节，直接影响了运算能力的提高.
三、从一题多变入手，培养学生运算能力的灵活性
数学运算的熟练性主要表现在能迅速合理地进行运算，有些学生往往只会机械地死记公式，生搬法则，其结果是既花费了大量时间，又不能求得准确的结果.
例1 （必修2，P127例题1）
已知直线l:3x+y-6=0和圆C:x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆C的位置关系.
分析 课本中运用了圆心到直线的距离与圆的半径进行比较和判别式法这两种方法解答，并形成了对比，体现了一题多解的重要思想，但如果我们从一题多解的思维方法入手，通过一题多变就能变换出更多的解题方法，实现了对课本的理解与提升.下面通过对上述题目进行变换，目的是为了得到更多的解题方法.
变1 证明不论k为何值，直线l:y=kx+1和圆C:x2+y2=4总相交.
分析 如果用例题的两种方法来解会显得繁琐，因为本题中从直线l:y=kx+1的方程来看，直线l恒过点（0，1），而点（0，1）在圆C:x2+y2=4的内部，很显然直线l:y=kx+1和圆C:x2+y2=4总相交.
变2 讨论b取不同值时，直线l:y=x+b和圆C:x2+y2=1的位置关系.
分析 本题如果用数形结合思想来解，不仅使问题求解简捷直观，更有利于杜绝对含有条件的题目用例题中的方法求解错误的发生.由直线l:y=x+b得直线l在b的变化时是一组平行线，容易知道当直线l与圆C相切时b=±2，即容易得到当b=±2时直线l与圆C相切，当-2
变3 讨论b为何值时，方程组y=x+b,
y=1-x2有一组解.
分析 本题如果基于用例1中的判别式法，消去y，两边同时平方得到关于x的一元二次方程，然后用Δ=0求解b是错误的，原因在于本解法在消去y后，两边同时平方上.由y=1-x2的几何意义知，对它两边同时平方结果为圆x2+y2=1，但由于y≥0，所以y=1-x2的几何图形是一个半圆，这就是上述解法的错误所在.若用数形结合思想来解，易知b=2或b=-1时方程组y=x+b,
y=1-x2有一组解.
四、从一题多解入手，培养学生运算能力的熟练性
学生思维的灵活性主要表现在是否善于迅速地引起联系、建立联想，是否善于迅速地调整原有的思维过程.一些学生之所以在运算中采用较为繁琐的方法，是因为他们不善于联想，不能根据实际问题的条件与结论选择最恰当的运算方法，为此从一题多解入手培养学生运算能力的熟练性是必要的.
例2 在椭圆x2100+y236=1上一点Ｐ到左焦点的距离为６，求点Ｐ到两条准线的距离.
分析1 设点Ｐ的坐标为（ｘ,ｙ）,由题意易知ａ=10，ｂ=6，ｃ=8，所以椭圆的左焦点为（-8,0）.
于是由x2100+y236=１，(x+8)2+y2=６，消去ｙ，可以解得x1=-5,x2=-20（舍去）,即点P（-5，±33）.又因为椭圆的两条准线方程为x=±252，所以点Ｐ到两条准线的距离分别为152，352.
分析2 依题意知ａ=10，ｂ=6，ｃ=8，所以离心率e=45，于是由椭圆的第二定义得点Ｐ到左焦点的距离为152，同理可得点Ｐ到右焦点的距离为352.
评析 显然上述两种解法中较简捷的是解法2，解法１较为繁琐，但多数学生往往选择解法1.为了训练学生运算能力的熟练性，除了引导学生熟练掌握概念、定义及其内涵与外延外，还必须教会学生不但能“正用”公式、法则，而且能“逆用”或“变用”公式、法则.不仅如此，还能通过一题多解，引导学生掌握类比联想、对比联想等数学思想与方法，使学生的解题能力逐步形成.
总之，数学是一门逻辑性很强的学科，概念、法则、公式、定理之间是相互依赖与转化的，因此通过有目的、有步骤、分层次的培养学生的运算能力，不仅能优化学生的思维品质，更能使所学知识、方法得到系统的整理，实现教学效果的最优化.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文