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中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：（2020）-061
数列是一种特殊的函数，本质上是一种离散函数。数列相关的函数是一次、二次和指数函数。连续函数又是数列的普遍化。数列和函数既有联系又有区别。各种各样的数列在实际生活中实用性特别好，比如说在社会中人口的增长与衰减、生物的细胞分裂、汽车的销售量与经济周期年份等等都要用到。取整函数是离散函数通往连续函数的桥梁。而回归分析又是离散数据通往连续函数的桥梁。离散数据既能变为连续函数，连续函数又能通过取整函数化为离散数据。这就是数学的神奇之处，又是数学好玩的地方，这种逆推的游戏使数学既能各自发展，又能左右逢源，合理圆润进取。
函数思想是中学数学中的重要思想，而数列本身就是特殊的函数，故许多数列问题均可以从函数的角度去分析，去思考。从近几高年的新课改地区的高考题中，如2016年全国2卷17题
17.等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6.
（Ⅰ）求{an}的通项公式;
（Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2.
我们可以看出，新课标下对于数列的考察不再侧重于数列变数变形的技巧，而在于应用，用函数的思想去解决学数列中的问题就是其一。在上述17题中就运用了分段函数的思想，有点高数中取整函数的意思。y=[x]取整函数又叫高斯函数，高斯函数就像一座桥梁，它在数列与函数加起了一座桥梁。和给定实数x，我们可以对它进行一种特殊的运算-取整运算，即取出不超过x的最大整数部分，通常记为[x]，[x]满足下面三个条件：
（1）[x]是整数，（2）[x]<x （3）x<[x]+1，
这就是说，整数[x]是不超过x，而由（3）可知，大于[x]的整数[x]+1，[x]+2，……都大于x，即[x]是不超过x的最大整数。
x与[x]之间适合x-1≤[x]≤x≤[x]+1
例如：[6]=6，[3.2]=3，[3]=1，[-4]=-4，[-0.1]=-1，[-3.5]=-4
對于较小的x，我们不难求[x]，对于较大的x，求[x]的基本方法还是回到试题本身。
这是高斯函数在高数中的描述，值得注意的是现在的高考题有一部分是和高数相联系的知识点，有高数知识点下移的趋势。例如高数中的符号函数、狄利克雷函数。
函数的应用是广泛的，中学数学中的初等函数，三角函数，数列以及解析几何都可以归结为函数，尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具。因此在教学中注重函数思想是相当的重要，而且高考中对函数思想的考察力度也是比较大的。
（1）数列中an与n之间的关系
等差数列通向公式an=a1+（n-1）d=nd+a1-d=pn+q 即是一个以n为自变量an为应变量的特殊的一元一次函数。例1 已知等差数列an，其前n项和为Sn，是否存在常数k，使得ka2n-1=S2n-Sn+1成立。
分析：将an看成是n的一次函数，设出函数解析式并代入进行求解.
解：设存在常数k，使得ka2n-1=S2n-Sn+1成立，
令an=pn+q（p、q为常数），
则k（pn+q）2-1=S2n-Sn+1.①
又∵Sn=p（1+2+…+n）+nq=p2n（n+1）+nq，，
代入①式变为kp2n2+2kpqn+kq2-1=32·pn2+-12p+qn-（p+q），
∴kp2=32p， ②2kpq=-12p+q， ③kq2-1=-（p+q）， ④
由②，得p=0或kp=32.
将p=0代入③、④不成立.
将kp=代入③，得 q=-p4，
代入④，得kp216-1=-p+p4，即3p32-1=-34p，
∴p=3227，从而得出k=8164.
∴存在常数k，使得ka2n-1=S2n-Sn+1成立.
备注：存在型探索性问题，是指判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）不确定的问题。这类问题常常出现“是否存在”“是否有”等形式的疑问句，以示结论有待于确定。解答此类问题的思路是：通常假设题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设;否则，给出肯定结论的证明。（2）构造一次函数模型，利用一次函数图象性质解题
例2 等差数列an的前n项和为30，前2n项和为100，则它的前3n项和为（ ）。
（A）30 （B）170 （C）210 （D）260
分析：运用等差数列求和公式，先对Sn=na1+n（n-1）2d进行变形，Snn=d2n+a1-d2，则Snn=d2n+a1-d2可以看成是关于n的一次函数，再利用点共线的性质求解。
解：由Sn=na1+n（n-1）2d，可得Snn=d2n+a1-d2，
由此可知数列Snn成等差数列，
∴n，Snn，2n，S2n2n，3n，S3n3n三点共线.
∴1002n-30n2n-n=S3n3n-30n3n-n，
∴S3n=210。
备注：①Snn可以看成是关于n的一次函数，其图象是直线上的离散点，本题是利用点共线的条件建立方程求解S3n的。运用该法还可以推得在等差数列中若Sp=q，Sq=p（p≠q），则Sp+q=-p+q。②等差数列的通项公式an也可以看成是关于n的一次函数，利用该性质可推知等差数列中若ap=q，aq=p（p≠q），则ap+q=0 高中数学中等差数列前n项和公式sn=na1+12n（n-1）d=12n2+（a1-d2）n这样的变形也直接构成了一个特殊的离散的一元二次类函数。
例3 已知等差数列an，首项a1，且S3=S10，问此数列前几项的和最大？最大值是多少？
分析：等差数列前n项和Sn为特殊的二次函数，所以可采用配方法求其最值.
解：设等差数列公差为d，前n项和为Sn，
∵S3=S10，即d=-16a1，
∴Sn=na1+12n（n-1）d=na1+12n（n-1）-16a1=-112a1n-1322+16948a1，
∴当n=6或n=7时，S6=S7=72a1为最大.
备注：关于等差数列前n项和最大（小）问题，可转化为二次函数问题，再结合二次函数的最值问题加以分析，但应特别注意，当对称轴不是正自然数时，应将与对称轴最接近的两个自然数代入函数关
系式，再求值比较，以便确定n取何值时，Sn最大（最小）.
什么是函数思想？简单地说，就是學会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数的性质做工具进行分析
，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题。函数是数学中最基本、最重要的概念。著名数学家笛卡尔说过：“函数是近现代数学思想之花”。如果一个学生只学习了函数的基本知识
，那么他永远的是被动解决函数之知识，而如果拥有了函数的思想，那么就能主动用函数去解决其他问题。从以下几个方面举例加以阐述
例4 已知函数f（x）=2x-2-x，数列an满足f（log2an）=-2n.
（1）求数列an的通项公式;
（2）求证数列an是递减数列.
分析：①本题已知函数关系式，并给出了an的关系式，将其看作关于an的方程解出即可.②数列是特殊的函数，借助函数的增减性的方法来证明数列的增减性.
（1）解：∵f（x）=2x-2-x，f（log2an）=-2n，，
∴2log2an-2-log2an=-2n，即an-1an=-2n..
∴a2n+2nan-1=0，（※）
解得 an=-n±n2+1
又∵an>0，∴an=n2+1-n;
（2）证明：由an+1an=（n+1）2+1-（n+1）n2+1-n=n2+1+n（n+1）2+1+（n+1）<1.
又∵an>0，∴an+1<an..
∴数列an是递减数列.
备注：本题主要应用函数与方程的思想解题，（※）式可看成是关于an的方程;而求出的通项公式又反映了an是关于n的函数.解题过程中an>0这个细节要注意.
在高中数学中，有很多有趣的知识，在实际生活中也有很多应用，数列与函数只是讲了其中一个很细微的方面。很有趣的部分还有很多，如想知道请看下回分解。
数列是一种特殊的函数，本质上是一种离散函数。数列相关的函数是一次、二次和指数函数。连续函数又是数列的普遍化。数列和函数既有联系又有区别。各种各样的数列在实际生活中实用性特别好，比如说在社会中人口的增长与衰减、生物的细胞分裂、汽车的销售量与经济周期年份等等都要用到。取整函数是离散函数通往连续函数的桥梁。而回归分析又是离散数据通往连续函数的桥梁。离散数据既能变为连续函数，连续函数又能通过取整函数化为离散数据。这就是数学的神奇之处，又是数学好玩的地方，这种逆推的游戏使数学既能各自发展，又能左右逢源，合理圆润进取。
函数思想是中学数学中的重要思想，而数列本身就是特殊的函数，故许多数列问题均可以从函数的角度去分析，去思考。从近几高年的新课改地区的高考题中，如2016年全国2卷17题
17.等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6.
（Ⅰ）求{an}的通项公式;
（Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2.
我们可以看出，新课标下对于数列的考察不再侧重于数列变数变形的技巧，而在于应用，用函数的思想去解决学数列中的问题就是其一。在上述17题中就运用了分段函数的思想，有点高数中取整函数的意思。y=[x]取整函数又叫高斯函数，高斯函数就像一座桥梁，它在数列与函数加起了一座桥梁。和给定实数x，我们可以对它进行一种特殊的运算-取整运算，即取出不超过x的最大整数部分，通常记为[x]，[x]满足下面三个条件：
（1）[x]是整数，（2）[x]<x （3）x<[x]+1，
这就是说，整数[x]是不超过x，而由（3）可知，大于[x]的整数[x]+1，[x]+2，……都大于x，即[x]是不超过x的最大整数。
x与[x]之间适合x-1≤[x]≤x≤[x]+1
例如：[6]=6，[3.2]=3，[3]=1，[-4]=-4，[-0.1]=-1，[-3.5]=-4
對于较小的x，我们不难求[x]，对于较大的x，求[x]的基本方法还是回到试题本身。
这是高斯函数在高数中的描述，值得注意的是现在的高考题有一部分是和高数相联系的知识点，有高数知识点下移的趋势。例如高数中的符号函数、狄利克雷函数。
函数的应用是广泛的，中学数学中的初等函数，三角函数，数列以及解析几何都可以归结为函数，尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具。因此在教学中注重函数思想是相当的重要，而且高考中对函数思想的考察力度也是比较大的。
（1）数列中an与n之间的关系
等差数列通向公式an=a1+（n-1）d=nd+a1-d=pn+q 即是一个以n为自变量an为应变量的特殊的一元一次函数。例1 已知等差数列an，其前n项和为Sn，是否存在常数k，使得ka2n-1=S2n-Sn+1成立。
分析：将an看成是n的一次函数，设出函数解析式并代入进行求解.
解：设存在常数k，使得ka2n-1=S2n-Sn+1成立，
令an=pn+q（p、q为常数），
则k（pn+q）2-1=S2n-Sn+1.①
又∵Sn=p（1+2+…+n）+nq=p2n（n+1）+nq，，
代入①式变为kp2n2+2kpqn+kq2-1=32·pn2+-12p+qn-（p+q），
∴kp2=32p， ②2kpq=-12p+q， ③kq2-1=-（p+q）， ④
由②，得p=0或kp=32.
将p=0代入③、④不成立.
将kp=代入③，得 q=-p4，
代入④，得kp216-1=-p+p4，即3p32-1=-34p，
∴p=3227，从而得出k=8164.
∴存在常数k，使得ka2n-1=S2n-Sn+1成立.
备注：存在型探索性问题，是指判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）不确定的问题。这类问题常常出现“是否存在”“是否有”等形式的疑问句，以示结论有待于确定。解答此类问题的思路是：通常假设题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设;否则，给出肯定结论的证明。（2）构造一次函数模型，利用一次函数图象性质解题
例2 等差数列an的前n项和为30，前2n项和为100，则它的前3n项和为（ ）。
（A）30 （B）170 （C）210 （D）260
分析：运用等差数列求和公式，先对Sn=na1+n（n-1）2d进行变形，Snn=d2n+a1-d2，则Snn=d2n+a1-d2可以看成是关于n的一次函数，再利用点共线的性质求解。
解：由Sn=na1+n（n-1）2d，可得Snn=d2n+a1-d2，
由此可知数列Snn成等差数列，
∴n，Snn，2n，S2n2n，3n，S3n3n三点共线.
∴1002n-30n2n-n=S3n3n-30n3n-n，
∴S3n=210。
备注：①Snn可以看成是关于n的一次函数，其图象是直线上的离散点，本题是利用点共线的条件建立方程求解S3n的。运用该法还可以推得在等差数列中若Sp=q，Sq=p（p≠q），则Sp+q=-p+q。②等差数列的通项公式an也可以看成是关于n的一次函数，利用该性质可推知等差数列中若ap=q，aq=p（p≠q），则ap+q=0 高中数学中等差数列前n项和公式sn=na1+12n（n-1）d=12n2+（a1-d2）n这样的变形也直接构成了一个特殊的离散的一元二次类函数。
例3 已知等差数列an，首项a1，且S3=S10，问此数列前几项的和最大？最大值是多少？
分析：等差数列前n项和Sn为特殊的二次函数，所以可采用配方法求其最值.
解：设等差数列公差为d，前n项和为Sn，
∵S3=S10，即d=-16a1，
∴Sn=na1+12n（n-1）d=na1+12n（n-1）-16a1=-112a1n-1322+16948a1，
∴当n=6或n=7时，S6=S7=72a1为最大.
备注：关于等差数列前n项和最大（小）问题，可转化为二次函数问题，再结合二次函数的最值问题加以分析，但应特别注意，当对称轴不是正自然数时，应将与对称轴最接近的两个自然数代入函数关
系式，再求值比较，以便确定n取何值时，Sn最大（最小）.
什么是函数思想？简单地说，就是學会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数的性质做工具进行分析
，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题。函数是数学中最基本、最重要的概念。著名数学家笛卡尔说过：“函数是近现代数学思想之花”。如果一个学生只学习了函数的基本知识
，那么他永远的是被动解决函数之知识，而如果拥有了函数的思想，那么就能主动用函数去解决其他问题。从以下几个方面举例加以阐述
例4 已知函数f（x）=2x-2-x，数列an满足f（log2an）=-2n.
（1）求数列an的通项公式;
（2）求证数列an是递减数列.
分析：①本题已知函数关系式，并给出了an的关系式，将其看作关于an的方程解出即可.②数列是特殊的函数，借助函数的增减性的方法来证明数列的增减性.
（1）解：∵f（x）=2x-2-x，f（log2an）=-2n，，
∴2log2an-2-log2an=-2n，即an-1an=-2n..
∴a2n+2nan-1=0，（※）
解得 an=-n±n2+1
又∵an>0，∴an=n2+1-n;
（2）证明：由an+1an=（n+1）2+1-（n+1）n2+1-n=n2+1+n（n+1）2+1+（n+1）<1.
又∵an>0，∴an+1<an..
∴数列an是递减数列.
备注：本题主要应用函数与方程的思想解题，（※）式可看成是关于an的方程;而求出的通项公式又反映了an是关于n的函数.解题过程中an>0这个细节要注意.
在高中数学中，有很多有趣的知识，在实际生活中也有很多应用，数列与函数只是讲了其中一个很细微的方面。很有趣的部分还有很多，如想知道请看下回分解。