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题目已知 1 a 、 2 a 、 1 b 、 2 b () 0 ∈+∞ , ,求证: 33 312 1222 212 12()()aa aabb bb++≥+. 这是我校高三数学讲义上的一道习题,其证明并不难(过程略) ,令人感兴趣的是,对进一步推广该不等式可以得出很多结论. 1.指数由 2推广到n命题 1 已知 1 a 、 2 a 、 1 b 、 2 b () 0 ∈+∞ , ,n∈ *N ,则11 112 1212 12()()nn nnn naa aabb bb+ ++++≥+…(ⅰ) 证明当 1 n = 时,22 212 1212 12() aa aabb bb++≥+ 2222 2112 2 212 1 1 2 12 ()()() abb b abb b a a bb ⇔+++≥+22 2212 21 1212 2 ab ab aabb ⇔+≥ …① 由均值不等式知①成立(当且仅当 12 21 ab ab = 即1212aabb= 时,“=”成立) ,从而不等式(ⅰ)成立. 假设当nk = (k ∈ *N 且 2 k ≥ )时(ⅰ)式成立,即11 112 1212 12()()kk kkk kaa aabb bb++ +++≥+(当且仅当 1212aabb= 时, “=”成立).