“猜想”和“证明”作为人类探索世界的两大工具，在人类认识世界的发展史上占据着重要地位。早在公元前三百年，古希腊数学家将前人的成果和自己的发现写成《几何原本》，这部经典的数学名著通过大胆的假设和缜密的推导，使一个又一个几何发现（定理）得到证明，为后世数学特别是几何学的发展奠定了重要的基础。而这种从“猜想”到“证明”的数学逻辑演绎手法，也得到了广泛的认同和推广并在各个领域发挥着作用。
　　一、定义
　　数学猜想，是对研究对象或问题现象经过反复观察、验证、类比、归纳、概括等提出来的，是从特殊到一般，从个性到共性的数学研究方法。
　　数学证明，是在一个特定的公理系统中，根据一定的规则或标准，由公理和定理推导出命题的过程。
　　《数学课程标准》指出：“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜想、计算、推理、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。”可见，猜想和证明在小学数学教学过程中具有非常重要的作用。猜想是培养学生学习兴趣、发展学生逻辑推理的重要环节。经过有效引导的猜想，可以提升学生的学习水平。证明是猜想的验证，它是锻炼学生逻辑推理能力的重要环节，又是对前期猜想的有效修正。通過客观的求证和有效的总结，达到对数学知识认识的再升华。
　　二、猜想与证明在小学数学教学中的应用
　　1.激发学生大胆、有效、主动的猜想。
　　要在数学教学中充分发挥猜想的作用，首先要创设良好的教学情境，让学生敢猜、想猜，这就要求教师在教学活动中激发学生的兴趣，调动他们的积极性，进行数学思考，培养学生创造性思维。特别是在教学内容的选择环节，要善于提供生动活泼、丰富多彩、富有挑战性的学习内容，让学生各抒己见，大胆猜想和推理。对于不能作出猜想的学生，除了积极引导外，也要鼓励其他学生一起对他进行帮助。有效正确的猜想是对证明的支持，并在求证过程中得到证实。在教学过程中，教师要帮助学生去发现个性背后的共性规律，从而进行有效的猜想。
　　例如，在“长方形和正方形”的教学中，教师充分引导学生观察长方形和正方形的对边及对角，找出边与边、角与角之间的关系。在学习完长方形和正方形的基本知识后，找出两者之间深层次的关系，即“正方形”就是特殊意义上的“长方形”，真正达到对规律的掌握，形成有效猜想。
　　2.引导学生谨慎、深入、多维、丰富的证明。
　　证明是猜想的后续环节，是完成认知、构建新知识的最终环节。证明首先需要有谨慎的态度，用科学和事实来证明最初的猜想，达到真理的认知。其次，证明需要深入规律的内部，切忌浅尝辄止。
　　例如，在教学“长方形的认识”时，数学猜想是长方形的对边相等，四个角也都相等。在进行数学证明的过程中，通过量一量、折一折、剪一剪、比一比等数学活动，充分验证了之前的猜想即对边相等。而为什么四个角也都相等呢，因为四个角都是直角，直角都是90度，因此，这四个角都是相等的。在层层证明的过程中，培养了学生的逻辑推导能力，为后面更高难度的学习奠定基础。证明需要借助丰富的手段，从多角度、多层次来进行求证。在教学过程中，教师要引导学生善于利用身边的工具、学具，借助多种学习媒介，用丰富的手段来完成求证过程。
　　总之，善用“猜想”与“证明”，能提升学生的学习水平，让学生在数学千变万化的秘境中自由呼吸。
　　（作者单位：江苏省苏州国际外语学校）
　　（责任编辑 岳 舒）